คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

สองเซต: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
สามเซต: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
ผลต่างและคอมพลีเมนต์: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
เพาเวอร์เซตและผลคูณคาร์ทีเซียน: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
เซตย่อยขนาด k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
ฟังก์ชัน A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
ความสัมพันธ์บน n สมาชิก: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
ฟังก์ชันประกอบ: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

วิธีการ

วาดแผนภาพเวนน์แล้วพิจารณาทีละบริเวณว่าบริเวณใดเป็นของนิพจน์เซต
สำหรับโจทย์การนับ ให้เติมบริเวณจากตรงกลางออกไป คือทุกเซตก่อน แล้วเป็นคู่ จากนั้นเป็นเซตเดี่ยว และสุดท้ายคือด้านนอก
ใช้หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกเพื่อตรวจสอบ: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
สำหรับความสัมพันธ์ ให้ทดสอบสมบัติแต่ละข้อกับทุกคู่ และยกตัวอย่างค้านหนึ่งตัวอย่างเมื่อสมบัตินั้นไม่เป็นจริง
สำหรับฟังก์ชัน ให้นับลูกศรที่ชี้เข้าแต่ละสมาชิกของ B ถ้ามากที่สุดหนึ่งลูกคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าอย่างน้อยหนึ่งลูกคือฟังก์ชันทั่วถึง

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

2โจทย์ฝึก

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ r ↔ p ให้คลิกสูตรนั้น

r ↔ p

1(r → p) ∨ (p → r)
2r ∧ p
3(r → p) ∧ (p → r)
4(r → p) ∧ (¬p → ¬r)

2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ตารางค่าความจริง 16 แถวมีกี่แถวที่ทำให้ (p ∧ (¬s ∧ r)) ∨ (¬q → p) เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

(p ∧ (¬s ∧ r)) ∨ (¬q → p)

N =

3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันปานกลาง

ในกลุ่มนักเรียน 53 คน มี 25 คนพูดภาษาฝรั่งเศส (F) 32 คนพูดภาษาเยอรมัน (G) และ 9 คนพูดทั้งสองภาษา มีกี่คนที่ไม่อยู่ในทั้งสองเซต

|U| = 53|F| = 25|G| = 32|F ∩ G| = 9

|(F ∪ G)′| =

4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันยาก

มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง f: A → B กี่ฟังก์ชัน ถ้า |A| = |B| = 6 เรียกจำนวนนี้ว่า N

|A| = 6|B| = 6

N =

5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3, 4 จุดยอดดีกรี 4, 3 จุดยอดดีกรี 5, 3 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 34 × deg 43 × deg 53 × deg 2

L =

6.ทฤษฎีกราฟยาก

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 9

W =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาตัวผกผันของ 21 มอดูโล 23: จำนวน x ที่ 0 < x < 23 และ 21·x ≡ 1 (mod 23)

a = 21n = 23

21⁻¹ mod 23 =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

กุญแจ RSA ใช้จำนวนเฉพาะ p = 19 และ q = 31 และเลขชี้กำลังสาธารณะ e = 7 จงหาเลขชี้กำลังส่วนตัว d (0 < d < φ(n))

p = 19q = 31e = 7

d =

3สารละลาย

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: (r → p) ∧ (p → r)

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

กฎ

a ↔ b หมายความว่านัยเป็นจริงทั้งสองทิศทาง: (a → b) ∧ (b → a)

r ↔ p ≡ (r → p) ∧ (p → r)

ตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริง

p = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, r = 0: 0 | 1 0 0 1

p = 0, r = 1: 0 | 1 0 0 0

p = 0, r = 0: 1 | 1 0 1 1

คำตอบ

(r → p) ∧ (p → r)

คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง

2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 12

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

คอลัมน์

¬s; ¬s ∧ r; p ∧ (¬s ∧ r); ¬q; ¬q → p; (p ∧ (¬s ∧ r)) ∨ (¬q → p)

แยกตาม p

p = 1: 8

p = 0: 4

N = 8 + 4 = 12

คำตอบ

N = 12

3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: |(F ∪ G)′| = 5

เซตและแผนภาพเวนน์: A ∪ B มีสมาชิกใน A หรือ B (หรือทั้งสอง) A ∩ B มีสมาชิกในทั้งสอง A − B มีสมาชิกของ A ที่ไม่อยู่ใน B และคอมพลีเมนต์ A′ คือทุกอย่างใน U ที่ไม่อยู่ใน A ในแผนภาพเวนน์ นิพจน์เซตทุกนิพจน์คือยูเนียนของบริเวณ จึงนับทีละบริเวณได้ หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| และ |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

บริเวณ

F ∩ G: 9

F − G: 25 − 9 = 16

G − F: 32 − 9 = 23

(F ∪ G)′: 53 − (16 + 23 + 9) = 5

คำตอบ

|(F ∪ G)′| = 5

คำตอบ

|(F ∪ G)′| = 5

4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: N = 720

ฟังก์ชันและการนับ: ฟังก์ชัน f: A → B ให้สมาชิกทุกตัวของ A มีภาพใน B เพียงหนึ่งตัวพอดี f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) เมื่อสมาชิกต่างกันมีภาพต่างกัน ทั่วถึง (surjective) เมื่อสมาชิกทุกตัวของ B เป็นภาพ และหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) เมื่อเป็นจริงทั้งสองอย่าง เมื่อ |A| = m และ |B| = n มี nᵐ ฟังก์ชัน ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง n!/(n − m)! ฟังก์ชัน (m ≤ n) และฟังก์ชันทั่วถึง Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ ฟังก์ชันโดยหลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก |𝒫(A)| = 2ᵐ และ |A × B| = m·n

นับ

N = 6!/(6 − 6)! = 720

คำตอบ

N = 720

5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 23

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว K_n มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 49 = 2(L + 14) − 2

L = 23

คำตอบ

L = 23

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 60

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

BC (5): เลือก

DF (7): เลือก

AC (9): เลือก

GC (10): เลือก

EF (12): เลือก

DE (13): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร

AB (15): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร

CE (17): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 5 + 7 + 9 + 10 + 12 + 17 = 60

คำตอบ

W = 60

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 21⁻¹ mod 23 = 11

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·21 (mod 23)

r = 23, t = 0

r = 21, q = 1, t = 1

r = 2, q = 10, t = −1

r = 1, q = 2, t = 11

อินเวอร์ส

1 ≡ 11·21 (mod 23)

x = 11

ตรวจสอบ: 21·11 = 231 = 10·23 + 1

คำตอบ

21⁻¹ mod 23 = 11

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: d = 463

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

มอดูลัสและโทเทียนต์

n = 19·31 = 589

φ(n) = 18·30 = 540

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

r = 540, t = 0

r = 7, q = 77, t = 1

r = 1, q = 7, t = −77

เลขชี้กำลังส่วนตัว

d = 463

ตรวจสอบ: 7·463 = 3241 = 6·540 + 1

คำตอบ

d = 463

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics