พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

สำคัญ: ใช้เพื่อการเรียนรู้เท่านั้น

ใช้เพื่อการเรียนรู้เท่านั้น ห้ามนำผลลัพธ์เหล่านี้ไปใช้ออกแบบ สร้าง หรือตรวจสอบโครงสร้าง เครื่องจักร ระบบแรงดัน หรืออุปกรณ์ยกจริง การออกแบบจริงต้องจัดทำและตรวจสอบโดยวิศวกรที่มีคุณวุฒิ โดยใช้มาตรฐานและค่าความปลอดภัยที่เกี่ยวข้อง ข้อกำหนดการใช้งาน

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

คนขับที่ขับด้วย 36 km/h เห็นสิ่งกีดขวาง เวลาตอบสนองของเธอคือ 0.6 s หลังจากนั้นรถเบรกด้วยความหน่วงคงที่ 6 m/s² จงหาระยะหยุดทั้งหมด d นับจากขณะที่เธอเห็นสิ่งกีดขวาง

v₀ = 36 km/ht_r = 0.6 sa = −6 m/s²

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

รถรางเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งด้วย 3 m/s² เป็นเวลา 4 s จากนั้นวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ 26 s และสุดท้ายเบรกด้วย 5 m/s² จนหยุด จงหาระยะทางรวม s ระหว่างสองป้ายหยุด

a₁ = 3 m/s²t₁ = 4 st₂ = 26 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องไถลไปบนพื้นราบด้วยอัตราเร็วต้น 4 m/s และหยุดหลังไป 2.7 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ μ

v₀ = 4 m/sd = 2.7 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 1 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 3 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 65° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 12 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 40° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 50 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 12 m/sθ = 40°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ในเครื่องเล่นโรเตอร์ในงานรื่นเริง ผู้เล่นยืนพิงผนังของกระบอกแนวดิ่งรัศมี 3.9 m เมื่อหมุนเร็วพอ พื้นจะเลื่อนลงและแรงเสียดทานพยุงผู้เล่นไว้ สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตคือ 0.5 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วเชิงมุมที่น้อยที่สุด ω ในหน่วย rad/s

r = 3.9 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

รถเข็นมวล 4 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 6 m บนรางไร้แรงเสียดทาน และวิ่งผ่านลูปแนวดิ่งรัศมี 2 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก N_bottom ของรางที่กระทำต่อรถเข็นที่จุดต่ำสุดของลูป

m = 4 kgh = 6 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 5 kg เลื่อนลงไป 11 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 20° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.2 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 5 kgθ = 20°μ = 0.2d = 11 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 4 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 4 m (μ = 0.25) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 1500 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 4 kgh = 5 mL = 4 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุนปืนมวล 10 kg เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 40 m/s ระเบิดเป็นสองเศษที่เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงเดียวกัน เศษมวล 3 kg เคลื่อนที่ต่อไปข้างหน้าด้วย 64 m/s จงหาความเร็ว v′₂ ของเศษมวล 7 kg (ทิศทางเดิมเป็นบวก)

M = 10 kgu = 40 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 64 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ที่ทางแยก รถมวล 800 kg ที่แล่นไปทางตะวันออกด้วย 19 m/s ชนกับรถมวล 1900 kg ที่แล่นไปทางเหนือด้วย 21 m/s รถทั้งสองคันติดกัน จงหาอัตราเร็ว v′ ของซากรถทันทีหลังการชน

m₁ = 800 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 21 m/s (N)

v′ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 4 kg ยาว 0.6 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งขณะแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 4 kgL = 0.6 mg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 9.5 kg ยาว 0.8 m ห้อยนิ่งจากจุดหมุนไร้แรงเสียดทานที่ปลายบน กระสุน 25 g เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 540 m/s ชนแท่งที่ตำแหน่งต่ำกว่าจุดหมุน 0.77 m และฝังอยู่ในนั้น จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งทันทีหลังการชน

M = 9.5 kgL = 0.8 mm = 25 gv = 540 m/sd = 0.77 m

ω = rad/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 2.2 kW หมุนที่ 2900 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 20 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 24 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 96% หาแรงบิดขาออก T₂ บนเพลาของเฟือง

P = 2.2 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 20N₂ = 24η = 96%

T₂ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในขบวนเฟืองผสม เฟือง A (40 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1440 rpm และขับเฟือง B (48 ฟัน) เฟือง C (45 ฟัน) ยึดติดกับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D บนเพลาขาออก เพลาขาออกต้องหมุนที่ 675 rpm เฟือง D ต้องมีกี่ฟัน N_D

n_in = 1440 rpmA = 40B = 48C = 45n_out = 675 rpm

N_D =

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

นักบินอวกาศบนดาวดวงอื่นพบว่าลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 1 m มีคาบ 3.26 s สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ จงหาความเร่งโน้มถ่วง g บนดาวดวงนั้น

L = 1 mT = 3.26 s

g = m/s²

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 3.1 kg บนสปริงที่ k = 330 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 6 cm แล้วปล่อย หาอัตราเร็วสูงสุด v_max

m = 3.1 kgk = 330 N/mA = 6 cm

v_max = m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 12 mm ตามด้วยยอด 1.8 mm หลังจากนั้น 3 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 12 mmx₃ = 1.8 mmn = 3

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 100 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 20 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 10 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 14.33 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

หน่วย

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

ระยะตอบสนอง

d₁ = v₀·t_r = 10·0.6 = 6 m

ระยะเบรก

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·6) = 8.333 m

รวม

d = 6 + 8.333 = 14.33 m

คำตอบ

d = 14.33 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 350.4 m

อัตราเร็วสูงสุด

v = a₁·t₁ = 3·4 = 12 m/s

ระยะทางของแต่ละช่วง

s₁ = ½·3·4² = 24 m

s₂ = 12·26 = 312 m

s₃ = 12²/(2·5) = 14.4 m

ระยะทางรวม

s = 24 + 312 + 14.4 = 350.4 m

คำตอบ

s = 350.4 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: μ = 0.302

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ความหน่วง

a = v₀²/(2d) = 4²/(2·2.7) = 2.963 m/s²

สัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.963/9.81 = 0.302

คำตอบ

μ = 0.302

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 6.622 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 2.943)/4 = 6.622 m/s²

คำตอบ

a = 6.622 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 6.029 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 65° = 5.071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 65° = 10.88 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 10.88²/(2·9.81) = 6.029 m

คำตอบ

H = 6.029 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 37.45 m

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 40° = 9.193 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 40° = 7.713 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 50 + 7.713·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.713 + √(59.5 + 981))/9.81 = 4.074 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 9.193·4.074 = 37.45 m

คำตอบ

x = 37.45 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: ω = 2.243 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

แรงที่กระทำต่อผู้เล่น

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

อัตราเร็วเชิงมุม

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.5·3.9)) = 2.243 rad/s

คำตอบ

ω = 2.243 rad/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: N_bottom = 274.7 N

อัตราเร็วจากการอนุรักษ์พลังงาน

v² = 2·9.81·6 = 117.7 m²/s²

แรง

ทิศเข้าหาศูนย์กลางเป็นบวก

N = m·v²/R + m·g = 4·117.7/2 + 39.24 = 274.7 N

คำตอบ

N_bottom = 274.7 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 101.4 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 49.05·0.9397 = 46.09 N

F = μN = 0.2·46.09 = 9.218 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 9.218·11 = 101.4 J

คำตอบ

W_f = 101.4 J

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 45.75 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 39.24·(5 − 0.25·4) = 157 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 157 → x = √(2·157/1500) = 0.4575 m = 45.75 cm

คำตอบ

x = 45.75 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 29.71 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

โมเมนตัมก่อนชน

p = M·u = 10·40 = 400 kg·m/s

โมเมนตัมหลังชน

400 = 3·64 + 7·v′₂

v′₂ = (400 − 192)/7 = 29.71 m/s

คำตอบ

v′₂ = 29.71 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′ = 15.81 m/s

องค์ประกอบของโมเมนตัม

p_x = 800·19 = 15200 kg·m/s

p_y = 1900·21 = 39900 kg·m/s

อัตราเร็วของซากรถ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 42697/2700 = 15.81 m/s

คำตอบ

v′ = 15.81 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 7.004 rad/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 = 4·9.81·0.3 = 11.77 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 = 4·0.6²/3 = 0.48 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 11.77 → ω = √(2·11.77/0.48) = 7.004 rad/s

คำตอบ

ω = 7.004 rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 5.092 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

โมเมนต์ความเฉื่อยหลังการชน

I = M·L²/3 + m·d² = 9.5·0.8²/3 + 0.025·0.77² = 2.041 kg·m²

โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดหมุน

แรงที่จุดหมุนผ่านจุดหมุน จึงไม่มีโมเมนต์ที่นั่นระหว่างการชน

m·v·d = I·ω → ω = 0.025·540·0.77/2.041 = 5.092 rad/s

คำตอบ

ω = 5.092 rad/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₂ = 8.345 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/303.7 = 7.244 N·m

แรงบิดขาออก

T₂ = 7.244·24/20·0.96 = 8.345 N·m

คำตอบ

T₂ = 8.345 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

ความเร็วของเพลากลาง

n_B = n_C = 1440·40/48 = 1200 rpm

จำนวนฟันของเฟือง D

N_D = C·n_C/n_out = 45·1200/675 = 80

คำตอบ

N_D = 80

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: g = 3.715 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

แก้หา g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/3.26² = 3.715 m/s²

คำตอบ

g = 3.715 m/s²

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v_max = 0.6191 m/s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(330/3.1) = 10.32 rad/s

อัตราเร็วสูงสุด

v_max = A·ω = 0.06·10.32 = 0.6191 m/s

คำตอบ

v_max = 0.6191 m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1001

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/3)·ln(12/1.8) = 0.6324

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6324/√(39.48 + 0.3999) = 0.1001

คำตอบ

ζ = 0.1001

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 1.299 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/20 + 1/10 → k_eq = 20·10/(20 + 10) = 6.667 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(6667/100) = 8.165 rad/s

f_n = 8.165/(2π) = 1.299 Hz

คำตอบ

f_n = 1.299 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics