พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 2.25 m/s² ตามทางวิ่ง จงหาอัตราเร็ว v หลังวิ่งไป 1800 m

v₀ = 0a = 2.25 m/s²s = 1800 m

v = m/s

2.จลนศาสตร์ยาก

รถรางเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งด้วย 3 m/s² เป็นเวลา 4 s จากนั้นวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ 17 s และสุดท้ายเบรกด้วย 3 m/s² จนหยุด จงหาเวลาเดินทางรวม t

a₁ = 3 m/s²t₁ = 4 st₂ = 17 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 15 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 15 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 3.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 5.5 kg โต๊ะไร้แรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 3.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 22 m/s ที่มุม 60° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 17 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 22 m/sθ = 60°x = 17 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 11 m/s ที่มุม 20° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 40 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 11 m/sθ = 20°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถขับข้ามยอดเนินบนถนนซึ่งเป็นส่วนโค้งวงกลมรัศมี 20 m ใช้ g = 9.81 m/s² ที่อัตราเร็วเกินเท่าใด v_max ล้อจะลอยพ้นถนนที่จุดสูงสุด

r = 20 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 1.2 kg ผูกกับเชือกยาว 0.7 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 3.5 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 1.2 kgr = 0.7 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

เครื่องยิงของเล่นมีสปริงแนวดิ่งที่มีค่าคงตัว 500 N/m วางลูกบอล 0.1 kg บนสปริงและกดสปริงลง 4 cm แล้วปล่อย ไม่คิดแรงต้านอากาศและมวลของสปริง จงหาความสูง h ที่ลูกบอลขึ้นไป วัดจากตำแหน่งของมันเมื่อสปริงถูกกด

m = 0.1 kgk = 500 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 1 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 2 m (μ = 0.15) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 1000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 1 kgh = 5 mL = 2 mμ = 0.15k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุนปืนมวล 4 kg เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 27 m/s ระเบิดเป็นสองเศษที่เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงเดียวกัน เศษมวล 2 kg เคลื่อนที่ต่อไปข้างหน้าด้วย 53 m/s จงหาความเร็ว v′₂ ของเศษมวล 2 kg (ทิศทางเดิมเป็นบวก)

M = 4 kgu = 27 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 53 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.6 kg กระทบผนังด้วย 26 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 13 m/s การสัมผัสใช้เวลา 50 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.6 kgv_in = 26 m/sv_out = 13 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ก้อนมวล 6 kg ห้อยจากเชือกเบาที่พันรอบรอก ซึ่งเป็นจานตันสม่ำเสมอมวล 7.5 kg รัศมี 0.3 m ที่หมุนบนแกนนอนไร้แรงเสียดทาน ปล่อยก้อนมวลจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนมวลหลังตกลงมา 0.5 m

m = 6 kgM = 7.5 kgR = 0.3 mg = 9.81 m/s²h = 0.5 m

v = m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมกลวง กลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 25° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของจุดศูนย์กลางของมัน

θ = 25°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 200 mm ที่ 2880 rpm แรงตึงคือ 600 N ที่ด้านตึงและ 240 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d₁ = 200 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 600 NT₂ = 240 N

P = kW

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ขับ 100 mm ที่ 2880 rpm กับพูลเลย์ 200 mm ศูนย์กลางห่างกัน 1200 mm สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานคือ 0.35 และแรงตึงด้านตึงต้องไม่เกิน 1200 N จงหากำลังสูงสุด P ที่สายพานส่งได้โดยไม่ลื่น ในหน่วย kW (ไม่คิดผลของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์)

d₁ = 100 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 200 mmC = 1200 mmμ = 0.35T₁ = 1200 N

P = kW

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 2.2 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 2.2 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 3.7 kg บนสปริงที่ k = 390 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 16 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด a_max

m = 3.7 kgk = 390 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 20 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 40 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.4 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 20 kgk = 40 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 10 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 25 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: v = 90 m/s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

อัตราเร็วหลังเคลื่อนที่ไปตามระยะทาง

v = √(2·a·s) = √(2·2.25·1800) = 90 m/s

คำตอบ

v = 90 m/s

(324 km/h)

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 25 s

อัตราเร็วสูงสุด

v = a₁·t₁ = 3·4 = 12 m/s

เวลาเบรก

t₃ = v/a₃ = 12/3 = 4 s

เวลารวม

t = 4 + 17 + 4 = 25 s

คำตอบ

t = 25 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 3.618 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

คำตอบ

a = 3.618 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 5.995 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 0)/9 = 5.995 m/s²

คำตอบ

a = 5.995 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 17.73 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 22·cos 60° = 11 m/s

t = x/v_x = 17/11 = 1.545 s

ความสูงขณะนั้น

y = 19.05·1.545 − ½·9.81·1.545² = 17.73 m

คำตอบ

y = 17.73 m

ลูกบอลยังกำลังขึ้นอยู่ที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 40.72 m

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 11·sin 20° = 3.762 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 3.762²/(2·9.81) = 0.7214 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 40 + 0.7214 = 40.72 m

คำตอบ

H = 40.72 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 14.01 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงตั้งฉากเป็นศูนย์

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·20) = 14.01 m/s

คำตอบ

v_max = 14.01 m/s

(50.43 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 32.77 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·3.5²/0.7 = 11.77 + 21 = 32.77 N

คำตอบ

T = 32.77 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: h = 0.4077 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

พลังงานสปริง

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·500·0.04² = 0.4 J

ความสูง

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 0.4/0.981 = 0.4077 m

คำตอบ

h = 0.4077 m

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 30.37 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 9.81·(5 − 0.15·2) = 46.11 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 46.11 → x = √(2·46.11/1000) = 0.3037 m = 30.37 cm

คำตอบ

x = 30.37 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 1 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

โมเมนตัมก่อนชน

p = M·u = 4·27 = 108 kg·m/s

โมเมนตัมหลังชน

108 = 2·53 + 2·v′₂

v′₂ = (108 − 106)/2 = 1 m/s

คำตอบ

v′₂ = 1 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 468 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.6·(13 + 26) = 23.4 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 23.4/0.05 = 468 N

คำตอบ

F_avg = 468 N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: v = 2.457 m/s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ก้อนมวลและรอก

ก้อนวัตถุ: m·g − T = m·a

รอก: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

ความเร่ง

a = m·g/(m + M/2) = 6·9.81/(6 + 3.75) = 6.037 m/s²

อัตราเร็วหลังตก

v = √(2·a·h) = √(2·6.037·0.5) = 2.457 m/s

คำตอบ

v = 2.457 m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: a = 2.488 m/s²

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

สมการการเคลื่อนที่

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

ความเร่ง

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 25°/1.667 = 2.488 m/s²

คำตอบ

a = 2.488 m/s²

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 10.86 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 30.16 m/s

กำลัง

P = (600 − 240)·30.16 = 10857 W = 10.86 kW

คำตอบ

P = 10.86 kW

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 11.89 kW

มุมโอบ

θ = 3.058 rad

แรงตึงด้านหย่อน

e^μθ = e^1.07 = 2.916, T₂ = 1200/2.916 = 411.5 N

กำลัง

P = (1200 − 411.5)·15.08 = 11.89 kW

คำตอบ

P = 11.89 kW

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 1.203 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.2/2π)² = 1.203 m

คำตอบ

L = 1.203 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: a_max = 16.86 m/s²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(390/3.7) = 10.27 rad/s

ความเร่งสูงสุด

a_max = A·ω² = 0.16·10.27² = 16.86 m/s²

คำตอบ

a_max = 16.86 m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 6.523 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(40000/20) = 44.72 rad/s

f_n = 44.72/(2π) = 7.118 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7.118·√(1 − 0.4²) = 6.523 Hz

คำตอบ

f_d = 6.523 Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 7.143 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/10 + 1/25 → k_eq = 10·25/(10 + 25) = 7.143 kN/m

คำตอบ

k_eq = 7.143 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics