พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

คนขับที่ขับด้วย 108 km/h เห็นสิ่งกีดขวาง เวลาตอบสนองของเธอคือ 0.5 s หลังจากนั้นรถเบรกด้วยความหน่วงคงที่ 8 m/s² จงหาระยะหยุดทั้งหมด d นับจากขณะที่เธอเห็นสิ่งกีดขวาง

v₀ = 108 km/ht_r = 0.5 sa = −8 m/s²

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 5 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 10 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 5 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 10 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 30° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 10 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุหนัก 2 kg บนทางลาด 35° เชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานที่ยอดทางลาดกับมวล 10 kg ที่แขวนอยู่ มวลที่แขวนเคลื่อนที่ลง ทางลาดไร้แรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 2 kgm₂ = 10 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบด้วย 32 m/s และต้องตกห่างออกไป 50 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมยิง θ ที่น้อยกว่าในสองค่าที่เป็นไปได้

v₀ = 32 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 34 m/s ที่มุม 35° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 8 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 34 m/sθ = 35°h_roof = 8 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ในเครื่องเล่นโรเตอร์ในงานรื่นเริง ผู้เล่นยืนพิงผนังของกระบอกแนวดิ่งรัศมี 4 m เมื่อหมุนเร็วพอ พื้นจะเลื่อนลงและแรงเสียดทานพยุงผู้เล่นไว้ สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตคือ 0.4 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราการหมุนที่น้อยที่สุด n ในหน่วยรอบต่อนาที

r = 4 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 0.6 kg ผูกกับเชือกยาว 0.8 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 4 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 0.6 kgr = 0.8 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 10 kg เลื่อนลงไป 20 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 40° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.2 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.2d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 10 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 3 m (μ = 0.15) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 2000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 10 kgh = 4.5 mL = 3 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 4.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 12 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 3.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 4.5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.6 kg กระทบผนังด้วย 10 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 17 m/s การสัมผัสใช้เวลา 5 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.6 kgv_in = 10 m/sv_out = 17 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ก้อนมวล 13.5 kg ห้อยจากเชือกเบาที่พันรอบรอก ซึ่งเป็นจานตันสม่ำเสมอมวล 13.5 kg รัศมี 0.15 m ที่หมุนบนแกนนอนไร้แรงเสียดทาน ปล่อยก้อนมวลจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของก้อนมวล

m = 13.5 kgM = 13.5 kgR = 0.15 mg = 9.81 m/s²

a = m/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

คนหนึ่งยืนบนแท่นหมุนไร้แรงเสียดทานและถือดัมเบลล์มวล 5 kg มือละอัน ห่างจากแกน 0.8 m ตัวคนกับแท่นหมุนเพียงอย่างเดียวมีโมเมนต์ความเฉื่อย 4.5 kg·m² รอบแกน พวกเขาหมุนที่ 40 rpm จากนั้นดึงดัมเบลล์เข้ามาที่ระยะ 0.25 m จากแกน ให้ถือดัมเบลล์เป็นมวลจุด จงหาอัตราเร็วใหม่ n₂ ใน rpm

I₀ = 4.5 kg·m²m = 2 × 5 kgr₁ = 0.8 mr₂ = 0.25 mn₁ = 40 rpm

n₂ = rpm

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 120 mm ที่ 1450 rpm แรงตึงคือ 600 N ที่ด้านตึงและ 180 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d₁ = 120 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 600 NT₂ = 180 N

P = kW

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 150 mm กับพูลเลย์ 250 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 500 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา

d₁ = 150 mmd₂ = 250 mmC = 500 mm

θ = °

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

นักบินอวกาศบนดาวดวงอื่นพบว่าลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 1.2 m มีคาบ 2.31 s สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ จงหาความเร่งโน้มถ่วง g บนดาวดวงนั้น

L = 1.2 mT = 2.31 s

g = m/s²

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 3.1 kg บนสปริงที่ k = 330 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 10 cm แล้วปล่อย หาอัตราเร็วสูงสุด v_max

m = 3.1 kgk = 330 N/mA = 10 cm

v_max = m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 15 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 2 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 210 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 15 kgk = 2 kN/mc = 210 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริง k₃ = 25 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 100 kN/m และ k₂ = 20 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 71.25 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

ระยะตอบสนอง

d₁ = v₀·t_r = 30·0.5 = 15 m

ระยะเบรก

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·8) = 56.25 m

รวม

d = 15 + 56.25 = 71.25 m

คำตอบ

d = 71.25 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 2.026 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−10 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 10 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (5 + √(5² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.026 s

คำตอบ

t = 2.026 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 3.206 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 30° − 0.2·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1732) = 3.206 m/s²

คำตอบ

a = 3.206 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 25.73 N

แรงตามแนวเชือก

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 11.25 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

ความเร่งของระบบ

a = (98.1 − 11.25 − 0)/12 = 7.237 m/s²

แรงตึงจากมวลที่แขวน

m₂·g − T = m₂·a → T = 10·(9.81 − 7.237) = 25.73 N

คำตอบ

T = 25.73 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: θ = 14.31 °

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

สูตรพิสัย

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/32² = 0.479

มุม

2θ = 28.62° → θ = 14.31°

คำตอบ

θ = 14.31°

คำตอบอีกค่าหนึ่งคือ 90° − θ = 75.69°

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 97.8 m

แยกความเร็วต้น

v_x = 27.85 m/s, v_y = 19.5 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

8 = 19.5·t − 4.905·t²

t = (19.5 + √(19.5² − 2·9.81·8))/9.81 = 3.511 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 27.85·3.511 = 97.8 m

คำตอบ

x = 97.8 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: n = 23.65 rpm

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงที่กระทำต่อผู้เล่น

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

อัตราเร็วเชิงมุม

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·4)) = 2.476 rad/s

อัตราการหมุน

n = ω·60/(2π) = 23.65 rpm

คำตอบ

n = 23.65 rpm

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 17.89 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 0.6·9.81 + 0.6·4²/0.8 = 5.886 + 12 = 17.89 N

คำตอบ

T = 17.89 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 300.6 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 98.1·0.766 = 75.15 N

F = μN = 0.2·75.15 = 15.03 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 15.03·20 = 300.6 J

คำตอบ

W_f = 300.6 J

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 63.03 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 98.1·(4.5 − 0.15·3) = 397.3 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 397.3 → x = √(2·397.3/2000) = 0.6303 m = 63.03 cm

คำตอบ

x = 63.03 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = 1.5 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (4.5 − 3.5)/(4.5 + 3.5)·12 = 1.5 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 3.5)·12 = 13.5 m/s

คำตอบ

v′₁ = 1.5 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 16.2 N·s

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.6·(17 + 10) = 16.2 N·s

คำตอบ

J = 16.2 N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: a = 6.54 m/s²

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ก้อนมวลและรอก

ก้อนวัตถุ: m·g − T = m·a

รอก: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

ความเร่ง

a = m·g/(m + M/2) = 13.5·9.81/(13.5 + 6.75) = 6.54 m/s²

คำตอบ

a = 6.54 m/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: n₂ = 85.07 rpm

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อย

I₁ = 4.5 + 2·5·0.8² = 10.9 kg·m²

I₂ = 4.5 + 2·5·0.25² = 5.125 kg·m²

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 40·10.9/5.125 = 85.07 rpm

คำตอบ

n₂ = 85.07 rpm

พลังงานจลน์เพิ่มขึ้น: พลังงานส่วนเพิ่มมาจากงานที่คนทำในการดึงดัมเบลล์เข้ามา

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 3.826 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 9.111 m/s

กำลัง

P = (600 − 180)·9.111 = 3826 W = 3.826 kW

คำตอบ

P = 3.826 kW

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: θ = 168.5 °

มุมของสายพาน

asin(0.1) = 5.739°

มุมโอบ

θ = 180 − 2·5.739 = 168.5°

คำตอบ

θ = 168.5°

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: g = 8.878 m/s²

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หา g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.2/2.31² = 8.878 m/s²

คำตอบ

g = 8.878 m/s²

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v_max = 1.032 m/s

ความถี่เชิงมุม

ω = √(330/3.1) = 10.32 rad/s

อัตราเร็วสูงสุด

v_max = A·ω = 0.1·10.32 = 1.032 m/s

คำตอบ

v_max = 1.032 m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.6062

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(2000·15) = 346.4 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 210/346.4 = 0.6062

คำตอบ

ζ = 0.6062

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 4.579 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 100 + 20 = 120 kN/m

k_eq = 120·25/(120 + 25) = 20.69 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(20690/25) = 28.77 rad/s

f_n = 28.77/(2π) = 4.579 Hz

คำตอบ

f_n = 4.579 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics