พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 2.75 m/s² ตามทางวิ่ง จงหาอัตราเร็ว v หลังวิ่งไป 900 m

v₀ = 0a = 2.75 m/s²s = 900 m

v = m/s

2.จลนศาสตร์ยาก

ปล่อยหินจากหยุดนิ่งลงบ่อน้ำ ได้ยินเสียงน้ำกระเซ็น 3.6 s หลังปล่อยหิน อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความลึก d ของบ่อ

t_total = 3.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 7 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 7 kgθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุสองก้อนบนพื้นราบเชื่อมด้วยเชือกเบาในแนวนอน แรงในแนวนอน 120 N ดึงก้อนหน้าที่หนัก 4 kg ก้อนที่หนัก 5 kg ถูกลากตามหลัง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.1 สำหรับทั้งสองก้อน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T ในเชือกที่เชื่อม

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgF = 120 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 25° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 28 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 23 m/s ที่มุม 70° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 14 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 23 m/sθ = 70°h_roof = 14 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 40 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 40 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

รถเข็นมวล 3.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 15.5 m บนรางไร้แรงเสียดทาน และวิ่งผ่านลูปแนวดิ่งรัศมี 5 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก N_top ของรางที่กระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 3.5 kgh = 15.5 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

รถที่แล่นด้วย 70 km/h บนถนนราบเบรกอย่างแรงและไถลหยุดโดยล้อล็อก สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.4 จงหาระยะหยุด d

v = 70 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 10 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 3 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 5 m (μ = 0.3) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 5000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 10 kgh = 3 mL = 5 mμ = 0.3k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 2.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 6 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 0.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 2.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 5 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 1.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 1.1 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 25° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 5 gM = 1.5 kgL = 1.1 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 17 kg ยาว 0.7 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและจับให้อยู่ในแนวนอน ปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่งเชิงมุม α ทันทีหลังปล่อย

m = 17 kgL = 0.7 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมตัน กลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 15° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของจุดศูนย์กลางของมัน

θ = 15°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 1.5 kW ที่ 960 rpm ขับเฟืองตัวหนอนที่มี 4 เกลียว เฟืองหนอนมี 30 ฟัน และระบบขับมีประสิทธิภาพ 50% จงหาแรงบิดขาออก T_w ที่เพลาของเฟืองหนอน

z = 4N_w = 30n = 960 rpmP = 1.5 kWη = 50%

T_w = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในขบวนเฟืองผสม เฟือง A (45 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 2880 rpm และขับเฟือง B (80 ฟัน) เฟือง C (32 ฟัน) ยึดติดกับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D บนเพลาขาออก เพลาขาออกต้องหมุนที่ 1296 rpm เฟือง D ต้องมีกี่ฟัน N_D

n_in = 2880 rpmA = 45B = 80C = 32n_out = 1296 rpm

N_D =

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 3 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 3 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 0.8 kg บนสปริงที่ k = 490 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 3 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด a_max

m = 0.8 kgk = 490 N/mA = 3 cm

a_max = m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 10 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 50 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.4 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 40 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 30 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 20 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: v = 70.36 m/s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

อัตราเร็วหลังเคลื่อนที่ไปตามระยะทาง

v = √(2·a·s) = √(2·2.75·900) = 70.36 m/s

คำตอบ

v = 70.36 m/s

(253.3 km/h)

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 57.76 m

เวลาสองส่วน

½·9.81·t₁² = 343·(3.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1235 = 0

เวลาที่ตก

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1235))/(2·4.905) = 3.432 s

ความลึก

d = ½·9.81·3.432² = 57.76 m

คำตอบ

d = 57.76 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 3.216 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 35° − 0.3·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2457) = 3.216 m/s²

คำตอบ

a = 3.216 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 66.67 N

ระบบทั้งหมด

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (120 − 8.829)/9 = 12.35 m/s²

ก้อนหลังเพียงก้อนเดียว

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(12.35 + 0.981) = 66.67 N

คำตอบ

T = 66.67 N

เมื่อ μ เท่ากันทั้งสองก้อน แรงเสียดทานหักล้างกัน: T = F·m₁/(m₁ + m₂)

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 61.22 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 25° = 25.38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 25° = 11.83 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·11.83/9.81 = 2.412 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 25.38·2.412 = 61.22 m

คำตอบ

x = 61.22 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 28.45 m

แยกความเร็วต้น

v_x = 7.866 m/s, v_y = 21.61 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

14 = 21.61·t − 4.905·t²

t = (21.61 + √(21.61² − 2·9.81·14))/9.81 = 3.617 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 7.866·3.617 = 28.45 m

คำตอบ

x = 28.45 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 10.85 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·40) = 10.85 m/s

คำตอบ

v_max = 10.85 m/s (39.06 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: N_top = 41.2 N

อัตราเร็วจากการอนุรักษ์พลังงาน

v² = 2·9.81·(15.5 − 2·5) = 107.9 m²/s²

แรง

ทิศเข้าหาศูนย์กลางเป็นบวก

N = m·v²/R − m·g = 3.5·107.9/5 − 34.34 = 41.2 N

คำตอบ

N_top = 41.2 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 48.18 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

อัตราเร็วในหน่วยฐาน

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

สมดุลพลังงาน

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.4·9.81) = 48.18 m

คำตอบ

d = 48.18 m

การเพิ่มอัตราเร็วเป็นสองเท่าทำให้ระยะหยุดยาวขึ้นสี่เท่า

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 24.26 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 98.1·(3 − 0.3·5) = 147.2 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 147.2 → x = √(2·147.2/5000) = 0.2426 m = 24.26 cm

คำตอบ

x = 24.26 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 10 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (2.5 − 0.5)/(2.5 + 0.5)·6 = 4 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 0.5)·6 = 10 m/s

คำตอบ

v′₂ = 10 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 428 m/s

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 1.1·(1 − cos 25°) = 0.1031 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.1031) = 1.422 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 1.505·1.422/0.005 = 428 m/s

คำตอบ

v = 428 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: α = 21.02 rad/s²

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

โมเมนต์รอบหมุด

ขณะปล่อย ω = 0 จึงไม่มีความเร่งสู่ศูนย์กลาง และจุดศูนย์กลางเร่งลงตรง ๆ

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·0.7) = 21.02 rad/s²

คำตอบ

α = 21.02 rad/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: a = 1.814 m/s²

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

สมการการเคลื่อนที่

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

ความเร่ง

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 15°/1.4 = 1.814 m/s²

คำตอบ

a = 1.814 m/s²

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_w = 55.95 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ความเร็วของเฟืองหนอน

n_w = n·z/N_w = 960·4/30 = 128 rpm

แรงบิดขาออก

ω_w = 2π·128/60 = 13.4 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.5·1500/13.4 = 55.95 N·m

คำตอบ

T_w = 55.95 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N_D = 40

ความเร็วของเพลากลาง

n_B = n_C = 2880·45/80 = 1620 rpm

จำนวนฟันของเฟือง D

N_D = C·n_C/n_out = 32·1620/1296 = 40

คำตอบ

N_D = 40

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 2.236 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(3/2π)² = 2.236 m

คำตอบ

L = 2.236 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: a_max = 18.38 m/s²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(490/0.8) = 24.75 rad/s

ความเร่งสูงสุด

a_max = A·ω² = 0.03·24.75² = 18.38 m/s²

คำตอบ

a_max = 18.38 m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 10.31 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(50000/10) = 70.71 rad/s

f_n = 70.71/(2π) = 11.25 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 11.25·√(1 − 0.4²) = 10.31 Hz

คำตอบ

f_d = 10.31 Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 4.66 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/40 + 1/30 → k_eq = 40·30/(40 + 30) = 17.14 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(17143/20) = 29.28 rad/s

f_n = 29.28/(2π) = 4.66 Hz

คำตอบ

f_n = 4.66 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics