พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

คนขับที่ขับด้วย 72 km/h เห็นสิ่งกีดขวาง เวลาตอบสนองของเธอคือ 1.1 s หลังจากนั้นรถเบรกด้วยความหน่วงคงที่ 8 m/s² จงหาระยะหยุดทั้งหมด d นับจากขณะที่เธอเห็นสิ่งกีดขวาง

v₀ = 72 km/ht_r = 1.1 sa = −8 m/s²

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 12 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 40 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 12 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องหนัก 25 kg ถูกดันขึ้นทางลาดที่ทำมุม 35° กับแนวนอนด้วยอัตราเร็วคงที่ โดยแรงขนานกับทางลาด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงดัน F

m = 25 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 3.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 3.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 25° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 34 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 37 m/s ที่มุม 40° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 14 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 37 m/sθ = 40°h_roof = 14 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ในเครื่องเล่นโรเตอร์ในงานรื่นเริง ผู้เล่นยืนพิงผนังของกระบอกแนวดิ่งรัศมี 1.6 m เมื่อหมุนเร็วพอ พื้นจะเลื่อนลงและแรงเสียดทานพยุงผู้เล่นไว้ สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราการหมุนที่น้อยที่สุด n ในหน่วยรอบต่อนาที

r = 1.6 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลผูกกับเชือกยาว 1.1 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² อัตราเร็วต่ำสุด v_min ที่จุดสูงสุดที่ทำให้เชือกยังตึงอยู่พอดีคือเท่าใด

r = 1.1 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

เครื่องยิงของเล่นมีสปริงแนวดิ่งที่มีค่าคงตัว 500 N/m วางลูกบอล 0.25 kg บนสปริงและกดสปริงลง 5 cm แล้วปล่อย ไม่คิดแรงต้านอากาศและมวลของสปริง จงหาความสูง h ที่ลูกบอลขึ้นไป วัดจากตำแหน่งของมันเมื่อสปริงถูกกด

m = 0.25 kgk = 500 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 2 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 4 m (μ = 0.2) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 800 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 2 kgh = 4.5 mL = 4 mμ = 0.2k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุน 20 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 2.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบา และฝังอยู่ในนั้น ก้อนไม้แกว่งขึ้นจนสูงกว่าตอนเริ่มต้น 5 cm ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 20 gM = 2.5 kgh = 5 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

รถมวล 1200 kg ชนรถที่จอดอยู่มวล 1700 kg ซากรถติดกันและไถลไป 13.5 m ก่อนหยุด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.75 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v₁ ของรถคันแรกก่อนชน

m₁ = 1200 kgm₂ = 1700 kgd = 13.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 10 kg ยาว 2.5 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ลูกบอลเล็กมวล 2.5 kg ติดอยู่ที่ปลายอิสระของมัน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งขณะแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 10 kgL = 2.5 mm_ball = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมกลวง มวล 5 kg กลิ้งโดยไม่ไถลที่ 8.5 m/s จงหาพลังงานจลน์รวม E_k ของมัน

m = 5 kgv = 8.5 m/sI = (2/3)·m·r²

E_k = J

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 150 mm ที่ 720 rpm แรงตึงคือ 800 N ที่ด้านตึงและ 200 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d₁ = 150 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 800 NT₂ = 200 N

P = kW

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ขับ 200 mm ที่ 1440 rpm กับพูลเลย์ 250 mm ศูนย์กลางห่างกัน 500 mm สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานคือ 0.35 และแรงตึงด้านตึงต้องไม่เกิน 2000 N จงหากำลังสูงสุด P ที่สายพานส่งได้โดยไม่ลื่น ในหน่วย kW (ไม่คิดผลของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์)

d₁ = 200 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 250 mmC = 500 mmμ = 0.35T₁ = 2000 N

P = kW

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 1.8 m ใช้ g = 9.81 m/s² หาคาบ T สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ

L = 1.8 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 1.4 kg ถูกติดที่ปลายล่างของสปริงแนวดิ่งที่ไม่ยืดซึ่งมี k = 160 N/m และปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วมากที่สุด v_max ของมวล

m = 1.4 kgk = 160 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 10 mm ตามด้วยยอด 1.5 mm หลังจากนั้น 3 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 10 mmx₃ = 1.5 mmn = 3

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริง k₃ = 15 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 25 kN/m และ k₂ = 80 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 47 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

ระยะตอบสนอง

d₁ = v₀·t_r = 20·1.1 = 22 m

ระยะเบรก

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·8) = 25 m

รวม

d = 22 + 25 = 47 m

คำตอบ

d = 47 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 4.33 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−40 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 40 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (12 + √(12² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.33 s

คำตอบ

t = 4.33 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: F = 180.8 N

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

อัตราเร็วคงที่: แรงสมดุลกัน

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

แรงดัน

F = 140.7 + 40.18 = 180.8 N

คำตอบ

F = 180.8 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 24.24 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 6.867)/8.5 = 4.963 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·4.963 + 6.867 = 24.24 N

คำตอบ

T = 24.24 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 10.52 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 25° = 30.81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 25° = 14.37 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 14.37²/(2·9.81) = 10.52 m

คำตอบ

H = 10.52 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 118 m

แยกความเร็วต้น

v_x = 28.34 m/s, v_y = 23.78 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

14 = 23.78·t − 4.905·t²

t = (23.78 + √(23.78² − 2·9.81·14))/9.81 = 4.163 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 28.34·4.163 = 118 m

คำตอบ

x = 118 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: n = 43.17 rpm

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงที่กระทำต่อผู้เล่น

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

อัตราเร็วเชิงมุม

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·1.6)) = 4.521 rad/s

อัตราการหมุน

n = ω·60/(2π) = 43.17 rpm

คำตอบ

n = 43.17 rpm

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_min = 3.285 m/s

แรงตึงเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.1) = 3.285 m/s

คำตอบ

v_min = 3.285 m/s

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: h = 0.2548 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

พลังงานสปริง

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·500·0.05² = 0.625 J

ความสูง

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 0.625/2.453 = 0.2548 m

คำตอบ

h = 0.2548 m

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 42.6 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 19.62·(4.5 − 0.2·4) = 72.59 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 72.59 → x = √(2·72.59/800) = 0.426 m = 42.6 cm

คำตอบ

x = 42.6 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 124.8 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การแกว่งหลังการชน

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.05) = 0.9905 m/s

การชน

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 2.5)·0.9905/0.02 = 124.8 m/s

คำตอบ

v = 124.8 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v₁ = 34.06 m/s

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·13.5) = 14.09 m/s

โมเมนตัมในการชน

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·14.09/1200 = 34.06 m/s

คำตอบ

v₁ = 34.06 m/s

(122.6 km/h)

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 3.177 rad/s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 10·9.81·1.25 + 2.5·9.81·2.5 = 183.9 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 20.83 + 15.63 = 36.46 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 183.9 → ω = √(2·183.9/36.46) = 3.177 rad/s

คำตอบ

ω = 3.177 rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: E_k = 301 J

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

ส่วนการเลื่อนตำแหน่งและส่วนการหมุน

E_trans = ½·m·v² = ½·5·8.5² = 180.6 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·180.6 = 120.4 J

รวม

E_k = 180.6 + 120.4 = 301 J

คำตอบ

E_k = 301 J

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 3.393 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 5.655 m/s

กำลัง

P = (800 − 200)·5.655 = 3393 W = 3.393 kW

คำตอบ

P = 3.393 kW

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 19.76 kW

มุมโอบ

θ = 3.042 rad

แรงตึงด้านหย่อน

e^μθ = e^1.065 = 2.9, T₂ = 2000/2.9 = 689.8 N

กำลัง

P = (2000 − 689.8)·15.08 = 19.76 kW

คำตอบ

P = 19.76 kW

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: T = 2.691 s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

คาบของลูกตุ้ม

T = 2π·√(1.8/9.81) = 2.691 s

คำตอบ

T = 2.691 s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v_max = 0.9176 m/s

ตำแหน่งสมดุลและแอมพลิจูด

x₀ = m·g/k = 1.4·9.81/160 = 0.08584 m = A

อัตราเร็วมากที่สุด

อัตราเร็วมีค่ามากที่สุดที่ตำแหน่งสมดุล

ω = √(160/1.4) = 10.69 rad/s

v_max = A·ω = 0.08584·10.69 = 0.9176 m/s

คำตอบ

v_max = 0.9176 m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1001

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/3)·ln(10/1.5) = 0.6324

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6324/√(39.48 + 0.3999) = 0.1001

คำตอบ

ζ = 0.1001

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 3.647 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 25 + 80 = 105 kN/m

k_eq = 105·15/(105 + 15) = 13.13 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(13125/25) = 22.91 rad/s

f_n = 22.91/(2π) = 3.647 Hz

คำตอบ

f_n = 3.647 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics