พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินต้องใช้อัตราเร็ว 250 km/h เพื่อบินขึ้น และทางวิ่งที่ใช้ได้ยาว 1000 m เริ่มจากหยุดนิ่ง ต้องใช้ความเร่งคงที่ a เท่าใด

v₀ = 0v = 250 km/hs = 1000 m

a = m/s²

2.จลนศาสตร์ยาก

ลูกบอล A ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 60 m ขณะเดียวกันลูกบอล B ถูกขว้างขึ้นตรง ๆ จากพื้นด้านล่างโดยตรงด้วย 27 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลพบกันเมื่อใด จงหา t

H = 60 mv_0B = 27 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 2 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 25° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.15 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 2 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุสองก้อนบนพื้นราบเชื่อมด้วยเชือกเบาในแนวนอน แรงในแนวนอน 50 N ดึงก้อนหน้าที่หนัก 10 kg ก้อนที่หนัก 4 kg ถูกลากตามหลัง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.3 สำหรับทั้งสองก้อน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T ในเชือกที่เชื่อม

m₁ = 4 kgm₂ = 10 kgF = 50 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบด้วย 34 m/s และต้องตกห่างออกไป 90 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมยิง θ ที่น้อยกว่าในสองค่าที่เป็นไปได้

v₀ = 34 m/sR = 90 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 45° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 20 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 10 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถมวล 1800 kg ขับข้ามยอดเนินบนถนนด้วย 19 m/s ยอดเนินเป็นส่วนโค้งวงกลมรัศมี 115 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก N ของถนนที่กระทำต่อรถที่จุดสูงสุด

m = 1800 kgv = 19 m/sr = 115 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ทางโค้งรัศมี 120 m เอียง 25° และสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.4 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต่ำสุด v_min ที่รถผ่านทางโค้งได้โดยไม่ไถลลงตามทางเอียง

r = 120 mθ = 25°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

รถ 800 kg ขึ้นเนินลาด 6° ด้วย 54 km/h คงที่ แรงต้านอากาศและแรงต้านการหมุนของล้อรวมกันเป็น 300 N จงหากำลัง P ที่ล้อต้องส่ง ในหน่วย kW

m = 800 kgθ = 6°F_r = 300 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.งานและพลังงานยาก

สปริงที่มีค่าคงตัว 800 N/m ที่ฐานของเนินลาด 25° ถูกกด 10 cm กับก้อนวัตถุ 1 kg แล้วปล่อย สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับเนินคือ 0.2 ก้อนวัตถุเคลื่อนที่ขึ้นเนินจากจุดปล่อยไกลเท่าใด d ก่อนหยุด (ไม่ต้องคิดระยะสั้น ๆ ที่สปริงดัน คือให้คิดแรงเสียดทานและแรงโน้มถ่วงตลอดระยะ d)

m = 1 kgk = 800 N/mx = 10 cmθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุน 8 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 1 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบา และฝังอยู่ในนั้น ก้อนไม้แกว่งขึ้นจนสูงกว่าตอนเริ่มต้น 12 cm ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 8 gM = 1 kgh = 12 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ที่ทางแยก รถมวล 1900 kg ที่แล่นไปทางตะวันออกด้วย 12 m/s ชนกับรถมวล 1400 kg ที่แล่นไปทางเหนือด้วย 13 m/s รถทั้งสองคันติดกัน จงหาทิศทาง θ ของซากรถทันทีหลังการชน วัดจากทิศตะวันออกไปทางเหนือ

m₁ = 1900 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 13 m/s (N)

θ = °

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 7.5 kg ยาว 1.8 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งขณะแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 7.5 kgL = 1.8 mg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

คนหนึ่งยืนบนแท่นหมุนไร้แรงเสียดทานและถือดัมเบลล์มวล 5 kg มือละอัน ห่างจากแกน 0.9 m ตัวคนกับแท่นหมุนเพียงอย่างเดียวมีโมเมนต์ความเฉื่อย 2.5 kg·m² รอบแกน พวกเขาหมุนที่ 20 rpm จากนั้นดึงดัมเบลล์เข้ามาที่ระยะ 0.15 m จากแกน ให้ถือดัมเบลล์เป็นมวลจุด จงหาอัตราเร็วใหม่ n₂ ใน rpm

I₀ = 2.5 kg·m²m = 2 × 5 kgr₁ = 0.9 mr₂ = 0.15 mn₁ = 20 rpm

n₂ = rpm

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 3 kW ที่ 1440 rpm ขับเฟืองตัวหนอนที่มี 4 เกลียว เฟืองหนอนมี 30 ฟัน และระบบขับมีประสิทธิภาพ 75% จงหาแรงบิดขาออก T_w ที่เพลาของเฟืองหนอน

z = 4N_w = 30n = 1440 rpmP = 3 kWη = 75%

T_w = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

มอเตอร์ 1.1 kW ที่ 2900 rpm ขับเฟือง A (30 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (45 ฟัน) เฟือง C (30 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (72 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 97% จงหาแรงบิดขาออก T_out

P = 1.1 kWn_in = 2900 rpmA = 30B = 45C = 30D = 72η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 3.9 kg บนสปริง k = 500 N/m แกว่งบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทานด้วยแอมพลิจูด 17 cm จงหาอัตราเร็ว v ของมันเมื่ออยู่ห่างจากตำแหน่งสมดุล 2 cm

m = 3.9 kgk = 500 N/mA = 17 cmx = 2 cm

v = m/s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

กระสุน 12 g เคลื่อนที่ด้วย 450 m/s พุ่งชนและฝังอยู่ในก้อนวัตถุมวล 3 kg ที่วางบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทาน ก้อนวัตถุติดกับสปริงแนวนอนที่มี k = 1700 N/m จงหาแอมพลิจูด A ของการแกว่งที่เกิดขึ้นใน cm

m = 12 gv = 450 m/sM = 3 kgk = 1700 N/m

A = cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 15 mm ตามด้วยยอด 3.3 mm หลังจากนั้น 2 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 15 mmx₂ = 3.3 mmn = 2

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริง k₃ = 12 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 15 kN/m และ k₂ = 80 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 20 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: a = 2.411 m/s²

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v = 250/3.6 = 69.44 m/s

ความเร่ง

a = v²/(2s) = 69.44²/(2·1000) = 2.411 m/s²

คำตอบ

a = 2.411 m/s²

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 2.222 s

เวลาที่พบกัน

ทิศขึ้นเป็นบวก พื้นคือ y = 0

60 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 60/27 = 2.222 s

คำตอบ

t = 2.222 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 2.812 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 25° − 0.15·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1359) = 2.812 m/s²

คำตอบ

a = 2.812 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 14.29 N

ระบบทั้งหมด

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (50 − 41.2)/14 = 0.6284 m/s²

ก้อนหลังเพียงก้อนเดียว

T = m₁·(a + μ·g) = 4·(0.6284 + 2.943) = 14.29 N

คำตอบ

T = 14.29 N

เมื่อ μ เท่ากันทั้งสองก้อน แรงเสียดทานหักล้างกัน: T = F·m₁/(m₁ + m₂)

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: θ = 24.9 °

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

สูตรพิสัย

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·90/34² = 0.7638

มุม

2θ = 49.8° → θ = 24.9°

คำตอบ

θ = 24.9°

คำตอบอีกค่าหนึ่งคือ 90° − θ = 65.1°

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 2.865 s

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 45° = 7.071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 45° = 7.071 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 20 + 7.071·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.071 + √(50 + 392.4))/9.81 = 2.865 s

คำตอบ

t = 2.865 s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: N = 12008 N

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงที่จุดสูงสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ลง) เป็นบวก

m·g − N = m·v²/r

N = 1800·9.81 − 1800·19²/115 = 17658 − 5650 = 12008 N

คำตอบ

N = 12008 N

รถรู้สึกเบาลง: ถนนดันขึ้นน้อยกว่าน้ำหนักของรถ

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_min = 8.111 m/s

สมดุลแรง

แรงเสียดทานชี้ขึ้นตามเนิน

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

อัตราเร็ว

v = √(120·9.81·0.0601/1.075) = 8.111 m/s

คำตอบ

v_min = 8.111 m/s

(29.2 km/h)

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: P = 16.81 kW

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) กำลังคือแรงคูณอัตราเร็ว: P = F·v

แรงขับ

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 6° = 820.3 N

F = 820.3 + 300 = 1120 N

กำลัง

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1120·15 = 16805 W = 16.81 kW

คำตอบ

P = 16.81 kW

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 0.6752 m

พลังงานสปริง

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·800·0.1² = 4 J

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 4/(9.81·(0.4226 + 0.2·0.9063)) = 0.6752 m

คำตอบ

d = 0.6752 m

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 193.3 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การแกว่งหลังการชน

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.12) = 1.534 m/s

การชน

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 1)·1.534/0.008 = 193.3 m/s

คำตอบ

v = 193.3 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: θ = 38.6 °

องค์ประกอบของโมเมนตัม

p_x = 1900·12 = 22800 kg·m/s

p_y = 1400·13 = 18200 kg·m/s

ทิศทาง

tan θ = p_y/p_x = 0.7982 → θ = 38.6°

คำตอบ

θ = 38.6°

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 4.044 rad/s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 = 7.5·9.81·0.9 = 66.22 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 = 7.5·1.8²/3 = 8.1 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 66.22 → ω = √(2·66.22/8.1) = 4.044 rad/s

คำตอบ

ω = 4.044 rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: n₂ = 77.8 rpm

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อย

I₁ = 2.5 + 2·5·0.9² = 10.6 kg·m²

I₂ = 2.5 + 2·5·0.15² = 2.725 kg·m²

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 20·10.6/2.725 = 77.8 rpm

คำตอบ

n₂ = 77.8 rpm

พลังงานจลน์เพิ่มขึ้น: พลังงานส่วนเพิ่มมาจากงานที่คนทำในการดึงดัมเบลล์เข้ามา

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_w = 111.9 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ความเร็วของเฟืองหนอน

n_w = n·z/N_w = 1440·4/30 = 192 rpm

แรงบิดขาออก

ω_w = 2π·192/60 = 20.11 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.75·3000/20.11 = 111.9 N·m

คำตอบ

T_w = 111.9 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_out = 12.27 N·m

ความเร็วรอบขาออก

n_out = 2900·(30/45)·(30/72) = 805.6 rpm

ω_out = 2π·805.6/60 = 84.36 rad/s

กำลังและแรงบิดขาออก

P_out = 1100·0.97² = 1035 W

T_out = P_out/ω_out = 1035/84.36 = 12.27 N·m

คำตอบ

T_out = 12.27 N·m

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v = 1.912 m/s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(500/3.9) = 11.32 rad/s

อัตราเร็วที่ x

v = ω·√(A² − x²) = 11.32·√(0.17² − 0.02²) = 1.912 m/s

คำตอบ

v = 1.912 m/s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: A = 7.546 cm

อัตราเร็วหลังการชน

V = m·v/(m + M) = 0.012·450/3.012 = 1.793 m/s

ความถี่เชิงมุม

ω = √(k/(m + M)) = √(1700/3.012) = 23.76 rad/s

แอมพลิจูด

A = V/ω = 1.793/23.76 = 0.07546 m = 7.546 cm

คำตอบ

A = 7.546 cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1196

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/2)·ln(15/3.3) = 0.7571

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7571/√(39.48 + 0.5731) = 0.1196

คำตอบ

ζ = 0.1196

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 3.673 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 15 + 80 = 95 kN/m

k_eq = 95·12/(95 + 12) = 10.65 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(10654/20) = 23.08 rad/s

f_n = 23.08/(2π) = 3.673 Hz

คำตอบ

f_n = 3.673 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics