พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 27 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 6 m/s² รถตำรวจตามทันที่ห่างจากจุดเริ่มต้นเท่าใด จงหา d

v_car = 27 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 8 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 20 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 8 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 10 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงไร้แรงเสียดทานที่ทำมุม 45° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 10 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 1.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 6 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 1.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 40 m/s ที่มุม 60° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 113 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 40 m/sθ = 60°x = 113 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 26 m/s ที่มุม 35° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 25 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นที่มุมเท่าใด α ต่ำกว่าแนวนอน

v₀ = 26 m/sθ = 35°h = 25 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ลูกบอลเล็กบนเชือกยาว 1.8 m เคลื่อนที่เป็นวงกลมแนวนอนโดยเชือกทำมุมคงที่ 20° กับแนวดิ่ง (ลูกตุ้มกรวย) ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของลูกบอล

L = 1.8 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลผูกกับเชือกยาว 0.7 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² อัตราเร็วต่ำสุด v_min ที่จุดสูงสุดที่ทำให้เชือกยังตึงอยู่พอดีคือเท่าใด

r = 0.7 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

รถ 1800 kg ขึ้นเนินลาด 5° ด้วย 54 km/h คงที่ แรงต้านอากาศและแรงต้านการหมุนของล้อรวมกันเป็น 450 N จงหากำลัง P ที่ล้อต้องส่ง ในหน่วย kW

m = 1800 kgθ = 5°F_r = 450 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 2 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 1 m (μ = 0.25) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 4000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 2 kgh = 4 mL = 1 mμ = 0.25k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 1900 kg เคลื่อนที่ด้วย 18 m/s ชนรถมวล 1600 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์สูญเสียไปเท่าใด ΔK ในการชน

m₁ = 1900 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 10 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 4 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 1.8 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 40° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 10 gM = 4 kgL = 1.8 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ก้อนมวล 3.5 kg ห้อยจากเชือกเบาที่พันรอบรอก ซึ่งเป็นจานตันสม่ำเสมอมวล 14 kg รัศมี 0.15 m ที่หมุนบนแกนนอนไร้แรงเสียดทาน ปล่อยก้อนมวลจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่งเชิงมุม α ของรอก

m = 3.5 kgM = 14 kgR = 0.15 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกระบอกตัน เริ่มจากหยุดนิ่งและกลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 15° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² รัศมีของมันคือ 0.35 m จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของมันหลังกลิ้งไปตามทางลาด 3 m

θ = 15°s = 3 mI = ½·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.35 m

ω = rad/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 0.75 kW หมุนที่ 1500 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 45 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 50 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 97% หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 0.75 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 45N₂ = 50η = 97%

T₁ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 16 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 18 ฟัน เฟืองวงแหวนถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 1500 rpm จงหาความเร็ว n_c ของโครงพาเฟืองดาวเคราะห์

N_s = 16N_p = 18n_s = 1500 rpm

n_c = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 1.9 m ใช้ g = 9.81 m/s² หาคาบ T สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ

L = 1.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

กระสุน 12 g เคลื่อนที่ด้วย 500 m/s พุ่งชนและฝังอยู่ในก้อนวัตถุมวล 3 kg ที่วางบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทาน ก้อนวัตถุติดกับสปริงแนวนอนที่มี k = 100 N/m จงหาแอมพลิจูด A ของการแกว่งที่เกิดขึ้นใน cm

m = 12 gv = 500 m/sM = 3 kgk = 100 N/m

A = cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 15 mm ตามด้วยยอด 1.2 mm หลังจากนั้น 5 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 15 mmx₅ = 1.2 mmn = 5

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 60 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 10 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 20 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 243 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·27/6 = 9 s

ระยะทาง

d = v·t = 27·9 = 243 m

คำตอบ

d = 243 m

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 54 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 2.993 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−20 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 20 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (8 + √(8² + 2·9.81·20))/9.81 = 2.993 s

คำตอบ

t = 2.993 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 6.937 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

คำตอบ

a = 6.937 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 14.71 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 3.679)/7.5 = 7.358 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·7.358 + 3.679 = 14.71 N

คำตอบ

T = 14.71 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 39.14 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 40·cos 60° = 20 m/s

t = x/v_x = 113/20 = 5.65 s

ความสูงขณะนั้น

y = 34.64·5.65 − ½·9.81·5.65² = 39.14 m

คำตอบ

y = 39.14 m

ลูกบอลกำลังตกลงมาแล้วที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: α = 51.42 °

แยกความเร็วต้น

v_x = 26·cos 35° = 21.3 m/s

v_y0 = 26·sin 35° = 14.91 m/s

อัตราเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบ

พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง

v_y = √(14.91² + 2·9.81·25) = 26.7 m/s

มุมที่กระทบ

tan α = v_y/v_x = 26.7/21.3 → α = 51.42°

คำตอบ

α = 51.42°

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v = 1.483 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

รัศมีของวงกลม

r = L·sin θ = 1.8·sin 20° = 0.6156 m

อัตราเร็ว

แรงตึงและแรงโน้มถ่วงรวมกันให้แรงเข้าด้านใน: tan θ = v²/(r·g)

v = √(r·g·tan θ) = √(0.6156·9.81·tan 20°) = 1.483 m/s

คำตอบ

v = 1.483 m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_min = 2.62 m/s

แรงตึงเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.7) = 2.62 m/s

คำตอบ

v_min = 2.62 m/s

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: P = 29.83 kW

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) กำลังคือแรงคูณอัตราเร็ว: P = F·v

แรงขับ

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 5° = 1539 N

F = 1539 + 450 = 1989 N

กำลัง

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1989·15 = 29835 W = 29.83 kW

คำตอบ

P = 29.83 kW

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 19.18 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 19.62·(4 − 0.25·1) = 73.58 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 73.58 → x = √(2·73.58/4000) = 0.1918 m = 19.18 cm

คำตอบ

x = 19.18 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK = 140709 J

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·18/3500 = 9.771 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·1900·18² = 307800 J

K_after = ½·3500·9.771² = 167091 J

พลังงานที่สูญเสีย

ΔK = 307800 − 167091 = 140709 J

คำตอบ

ΔK = 140709 J

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 1153 m/s

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 1.8·(1 − cos 40°) = 0.4211 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.4211) = 2.874 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 4.01·2.874/0.01 = 1153 m/s

คำตอบ

v = 1153 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: α = 21.8 rad/s²

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ก้อนมวลและรอก

ก้อนวัตถุ: m·g − T = m·a

รอก: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

ความเร่ง

a = m·g/(m + M/2) = 3.5·9.81/(3.5 + 7) = 3.27 m/s²

ความเร่งเชิงมุม

α = a/R = 3.27/0.15 = 21.8 rad/s²

คำตอบ

α = 21.8 rad/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 9.105 rad/s

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

ความสูงที่ตก

h = s·sin θ = 3·sin 15° = 0.7765 m

สมดุลพลังงานกับการกลิ้ง

กลิ้งโดยไม่ไถล: ω = v/r และแรงเสียดทานไม่ทำงานที่จุดสัมผัส

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.5)

v = √(2·9.81·0.7765/1.5) = 3.187 m/s

ω = v/r = 3.187/0.35 = 9.105 rad/s

คำตอบ

ω = 9.105 rad/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 4.775 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/157.1 = 4.775 N·m

คำตอบ

T₁ = 4.775 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_c = 352.9 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·18 = 52

สมการวิลลิสเมื่อยึดเฟืองวงแหวน

ตั้ง n_r = 0 แล้วแก้หาความเร็วของโครงพา

(1500 − n_c)/(0 − n_c) = −52/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1500·16/68 = 352.9 rpm

คำตอบ

n_c = 352.9 rpm

โครงพาหมุนในทิศทางเดียวกับเฟืองดวงอาทิตย์

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: T = 2.765 s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

คาบของลูกตุ้ม

T = 2π·√(1.9/9.81) = 2.765 s

คำตอบ

T = 2.765 s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: A = 34.57 cm

อัตราเร็วหลังการชน

V = m·v/(m + M) = 0.012·500/3.012 = 1.992 m/s

ความถี่เชิงมุม

ω = √(k/(m + M)) = √(100/3.012) = 5.762 rad/s

แอมพลิจูด

A = V/ω = 1.992/5.762 = 0.3457 m = 34.57 cm

คำตอบ

A = 34.57 cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.08014

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/5)·ln(15/1.2) = 0.5051

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5051/√(39.48 + 0.2552) = 0.08014

คำตอบ

ζ = 0.08014

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 8.571 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/60 + 1/10 → k_eq = 60·10/(60 + 10) = 8.571 kN/m

คำตอบ

k_eq = 8.571 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics