พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 35 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 5.5 m/s² รถตำรวจใช้เวลานานเท่าใดจึงจะตามทัน จงหา t

v_car = 35 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 12 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 40 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 12 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 17 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 20° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 17 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 9.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 4 kg โต๊ะไร้แรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 9.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 60° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 16 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 22 m/s ที่มุม 50° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 3 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 22 m/sθ = 50°h_roof = 3 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ทางโค้งรัศมี 100 m เอียง 10° รถผ่านได้ด้วยอัตราเร็ว v เท่าใดโดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทานเลย ใช้ g = 9.81 m/s²

r = 100 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

รถเข็นมวล 5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 20.7 m บนรางไร้แรงเสียดทาน และวิ่งผ่านลูปแนวดิ่งรัศมี 4.5 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก N_top ของรางที่กระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 5 kgh = 20.7 mR = 4.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ลูกบอล 10 kg แขวนบนเชือกเบายาว 2 m ดึงไปด้านข้างจนเชือกทำมุม 45° กับแนวดิ่งแล้วปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาแรงตึง T ในเชือกเมื่อลูกบอลผ่านจุดต่ำสุด

m = 10 kgL = 2 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 10 kg เริ่มจากหยุดนิ่งที่ฐานของเนินลาด 15° และถูกดึงขึ้นเนินด้วยแรงคงที่ 65 N ขนานกับเนิน สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.15 จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุหลังเคลื่อนที่ขึ้นเนินไป 2 m

m = 10 kgF = 65 Nθ = 15°μ = 0.15d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุนปืนมวล 16 kg เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 31 m/s ระเบิดเป็นสองเศษที่เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงเดียวกัน เศษมวล 7 kg เคลื่อนที่ต่อไปข้างหน้าด้วย 84 m/s จงหาความเร็ว v′₂ ของเศษมวล 9 kg (ทิศทางเดิมเป็นบวก)

M = 16 kgu = 31 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 84 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.25 kg กระทบผนังด้วย 18 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 15 m/s การสัมผัสใช้เวลา 25 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.25 kgv_in = 18 m/sv_out = 15 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 8.5 kg ยาว 0.7 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและจับให้อยู่ในแนวนอน ปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a_tip ของปลายอิสระทันทีหลังปล่อย

m = 8.5 kgL = 0.7 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกระบอกตัน เริ่มจากหยุดนิ่งและกลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 20° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของมันหลังกลิ้งไปตามทางลาด 2.5 m

θ = 20°s = 2.5 mI = ½·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 160 mm ที่ 2880 rpm แรงตึงคือ 400 N ที่ด้านตึงและ 100 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d₁ = 160 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 400 NT₂ = 100 N

P = kW

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 15 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 18 ฟัน เฟืองวงแหวนถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 1200 rpm จงหาความเร็ว n_c ของโครงพาเฟืองดาวเคราะห์

N_s = 15N_p = 18n_s = 1200 rpm

n_c = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 1.8 kg บนสปริง k = 320 N/m ถูกดึงไป 14 cm ในทิศบวกและปล่อยจากหยุดนิ่งที่ t = 0 จงหาการกระจัด x จากตำแหน่งสมดุลที่ t = 0.65 s (พร้อมเครื่องหมาย)

m = 1.8 kgk = 320 N/mA = 14 cmt = 0.65 s

x = cm

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 1.3 kg ถูกติดที่ปลายล่างของสปริงแนวดิ่งที่ไม่ยืดซึ่งมี k = 380 N/m และปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะยืดมากที่สุด x_max ของสปริงใน cm

m = 1.3 kgk = 380 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 500 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 200 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 1000 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 500 kgk = 200 kN/mc = 1000 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 10 kg แขวนจากสปริง k₃ = 20 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 10 kN/m และ k₂ = 50 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 12.73 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·35/5.5 = 12.73 s

คำตอบ

t = 12.73 s

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 70 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 4.33 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−40 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 40 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (12 + √(12² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.33 s

คำตอบ

t = 4.33 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 0.5897 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²

คำตอบ

a = 0.5897 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 2.907 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 0)/13.5 = 2.907 m/s²

คำตอบ

a = 2.907 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 22.6 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 60° = 8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 60° = 13.86 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·13.86/9.81 = 2.825 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 8·2.825 = 22.6 m

คำตอบ

x = 22.6 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 45.92 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แยกความเร็วต้น

v_x = 14.14 m/s, v_y = 16.85 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

3 = 16.85·t − 4.905·t²

t = (16.85 + √(16.85² − 2·9.81·3))/9.81 = 3.248 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 14.14·3.248 = 45.92 m

คำตอบ

x = 45.92 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v = 13.15 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

สมดุลแรง

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

อัตราเร็ว

v = √(r·g·tan θ) = √(100·9.81·tan 10°) = 13.15 m/s

คำตอบ

v = 13.15 m/s

(47.35 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: N_top = 206 N

อัตราเร็วจากการอนุรักษ์พลังงาน

v² = 2·9.81·(20.7 − 2·4.5) = 229.6 m²/s²

แรง

ทิศเข้าหาศูนย์กลางเป็นบวก

N = m·v²/R − m·g = 5·229.6/4.5 − 49.05 = 206 N

คำตอบ

N_top = 206 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: T = 155.6 N

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) บนทางโค้งวงกลม แรงลัพธ์ในทิศทางสู่ศูนย์กลางต้องเท่ากับ mv²/r

อัตราเร็วที่ด้านล่าง

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 45°) = 11.49 m²/s²

แรงที่ด้านล่าง

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·11.49/2 = 155.6 N

คำตอบ

T = 155.6 N

ตรวจสอบ: T = mg(3 − 2cos θ) = 155.6 N

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 3.187 m/s

แรงตามแนวพื้นเอียง

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 25.39 N

μ·mg·cos θ = 14.21 N

งาน–พลังงาน

½mv² = (65 − 39.6)·2 = 50.79 J

v = √(2·50.79/10) = 3.187 m/s

คำตอบ

v = 3.187 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = −10.22 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

โมเมนตัมก่อนชน

p = M·u = 16·31 = 496 kg·m/s

โมเมนตัมหลังชน

496 = 7·84 + 9·v′₂

v′₂ = (496 − 588)/9 = −10.22 m/s

คำตอบ

v′₂ = −10.22 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเศษที่สองกระเด็นถอยหลัง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 8.25 N·s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.25·(15 + 18) = 8.25 N·s

คำตอบ

J = 8.25 N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: a_tip = 14.71 m/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

โมเมนต์รอบหมุด

ขณะปล่อย ω = 0 จึงไม่มีความเร่งสู่ศูนย์กลาง และจุดศูนย์กลางเร่งลงตรง ๆ

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·0.7) = 21.02 rad/s²

ความเร่งของปลายอิสระ

a_tip = α·L = 21.02·0.7 = 14.71 m/s²

คำตอบ

a_tip = 14.71 m/s²

a_tip = 1.5·g สำหรับความยาวใด ๆ: ปลายอิสระตกเร็วกว่าก้อนหินที่ปล่อยตก

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: v = 3.344 m/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

ความสูงที่ตก

h = s·sin θ = 2.5·sin 20° = 0.8551 m

สมดุลพลังงานกับการกลิ้ง

กลิ้งโดยไม่ไถล: ω = v/r และแรงเสียดทานไม่ทำงานที่จุดสัมผัส

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.5)

v = √(2·9.81·0.8551/1.5) = 3.344 m/s

คำตอบ

v = 3.344 m/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 7.238 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 24.13 m/s

กำลัง

P = (400 − 100)·24.13 = 7238 W = 7.238 kW

คำตอบ

P = 7.238 kW

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_c = 272.7 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·18 = 51

สมการวิลลิสเมื่อยึดเฟืองวงแหวน

ตั้ง n_r = 0 แล้วแก้หาความเร็วของโครงพา

(1200 − n_c)/(0 − n_c) = −51/15

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1200·15/66 = 272.7 rpm

คำตอบ

n_c = 272.7 rpm

โครงพาหมุนในทิศทางเดียวกับเฟืองดวงอาทิตย์

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: x = −10.17 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

ความถี่เชิงมุม

ω = √(320/1.8) = 13.33 rad/s

ω·t = 13.33·0.65 = 8.667 rad

การกระจัด

x = A·cos(ω·t) = 14·cos(8.667) = −10.17 cm

คำตอบ

x = −10.17 cm

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: x_max = 6.712 cm

ตำแหน่งสมดุลและแอมพลิจูด

x₀ = m·g/k = 1.3·9.81/380 = 0.03356 m = A

จุดต่ำสุด

x_max = 2A = 0.06712 m = 6.712 cm

คำตอบ

x_max = 6.712 cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.05

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·500) = 20000 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 1000/20000 = 0.05

คำตอบ

ζ = 0.05

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 6.164 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 10 + 50 = 60 kN/m

k_eq = 60·20/(60 + 20) = 15 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(15000/10) = 38.73 rad/s

f_n = 38.73/(2π) = 6.164 Hz

คำตอบ

f_n = 6.164 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics