พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 28 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 4.5 m/s² รถตำรวจใช้เวลานานเท่าใดจึงจะตามทัน จงหา t

v_car = 28 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

รถรางเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งด้วย 1 m/s² เป็นเวลา 7 s จากนั้นวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ 21 s และสุดท้ายเบรกด้วย 4 m/s² จนหยุด จงหาระยะทางรวม s ระหว่างสองป้ายหยุด

a₁ = 1 m/s²t₁ = 7 st₂ = 21 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 18 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 20° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 18 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 7 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 3 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 7 kgm₂ = 3 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 40° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 24 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 11 m/s ที่มุม 70° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 35 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 11 m/sθ = 70°h = 35 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 30 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.8 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 30 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 0.9 kg บนเชือกเบายาว 0.5 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดอัตราเร็วของมันคือ 8.5 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T_top ในเชือกที่จุดสูงสุด

m = 0.9 kgr = 0.5 mv_bottom = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

รถที่แล่นด้วย 100 km/h บนถนนราบเบรกอย่างแรงและไถลหยุดโดยล้อล็อก สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.8 จงหาระยะหยุด d

v = 100 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

10.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 0.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 7.5 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 2.5 m จงหาอัตราเร็ว v ของรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 0.5 kgh = 7.5 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 0.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 5 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 1 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 0.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 8 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 1 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 2 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 20° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 8 gM = 1 kgL = 2 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 1.5 kg ยาว 1.2 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและจับให้อยู่ในแนวนอน ปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่งเชิงมุม α ทันทีหลังปล่อย

m = 1.5 kgL = 1.2 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ห่วงบาง เริ่มจากหยุดนิ่งและกลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 15° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² รัศมีของมันคือ 0.3 m จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของมันหลังกลิ้งไปตามทางลาด 7.5 m

θ = 15°s = 7.5 mI = m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.3 m

ω = rad/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 7.5 kW หมุนที่ 1450 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 24 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 60 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 96% หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 7.5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 24N₂ = 60η = 96%

T₁ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (15 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 2900 rpm ขับเฟือง B (50 ฟัน) เฟือง C (20 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (50 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 2900 rpmA = 15B = 50C = 20D = 50

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

นักบินอวกาศบนดาวดวงอื่นพบว่าลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 2 m มีคาบ 2.98 s สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ จงหาความเร่งโน้มถ่วง g บนดาวดวงนั้น

L = 2 mT = 2.98 s

g = m/s²

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 1.5 kg ถูกติดที่ปลายล่างของสปริงแนวดิ่งที่ไม่ยืดซึ่งมี k = 230 N/m และปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะยืดมากที่สุด x_max ของสปริงใน cm

m = 1.5 kgk = 230 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 20 mm ตามด้วยยอด 3 mm หลังจากนั้น 5 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 20 mmx₅ = 3 mmn = 5

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 100 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 12 kN/m และ k₂ = 25 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 12.44 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/4.5 = 12.44 s

คำตอบ

t = 12.44 s

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 56 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 177.6 m

อัตราเร็วสูงสุด

v = a₁·t₁ = 1·7 = 7 m/s

ระยะทางของแต่ละช่วง

s₁ = ½·1·7² = 24.5 m

s₂ = 7·21 = 147 m

s₃ = 7²/(2·4) = 6.125 m

ระยะทางรวม

s = 24.5 + 147 + 6.125 = 177.6 m

คำตอบ

s = 177.6 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 2.433 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

คำตอบ

a = 2.433 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 1.226 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 17.17)/10 = 1.226 m/s²

คำตอบ

a = 1.226 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 12.13 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 40° = 18.39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 40° = 15.43 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 15.43²/(2·9.81) = 12.13 m

คำตอบ

H = 12.13 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 40.45 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 11·sin 70° = 10.34 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 10.34²/(2·9.81) = 5.446 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 35 + 5.446 = 40.45 m

คำตอบ

H = 40.45 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 15.34 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·30) = 15.34 m/s

คำตอบ

v_max = 15.34 m/s (55.24 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T_top = 85.9 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

พลังงานจลน์แปลงเป็นพลังงานศักย์ตลอดความสูง 2r

v_top² = 8.5² − 4·9.81·0.5 = 52.63 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

แรงตึงและแรงโน้มถ่วงชี้ลงทั้งคู่ เข้าหาศูนย์กลาง

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.9·52.63/0.5 − 0.9·9.81 = 85.9 N

คำตอบ

T_top = 85.9 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 49.16 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

อัตราเร็วในหน่วยฐาน

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

สมดุลพลังงาน

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.8·9.81) = 49.16 m

คำตอบ

d = 49.16 m

การเพิ่มอัตราเร็วเป็นสองเท่าทำให้ระยะหยุดยาวขึ้นสี่เท่า

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 7.004 m/s

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(7.5 − 5) = 49.05 m²/s²

v = 7.004 m/s

คำตอบ

v = 7.004 m/s

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 3.333 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (0.5 − 1)/(0.5 + 1)·5 = −1.667 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 1)·5 = 3.333 m/s

คำตอบ

v′₂ = 3.333 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 193.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 2·(1 − cos 20°) = 0.1206 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.1206) = 1.538 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 1.008·1.538/0.008 = 193.8 m/s

คำตอบ

v = 193.8 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: α = 12.26 rad/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

โมเมนต์รอบหมุด

ขณะปล่อย ω = 0 จึงไม่มีความเร่งสู่ศูนย์กลาง และจุดศูนย์กลางเร่งลงตรง ๆ

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.2) = 12.26 rad/s²

คำตอบ

α = 12.26 rad/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 14.55 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

ความสูงที่ตก

h = s·sin θ = 7.5·sin 15° = 1.941 m

สมดุลพลังงานกับการกลิ้ง

กลิ้งโดยไม่ไถล: ω = v/r และแรงเสียดทานไม่ทำงานที่จุดสัมผัส

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·1.941/2) = 4.364 m/s

ω = v/r = 4.364/0.3 = 14.55 rad/s

คำตอบ

ω = 14.55 rad/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 49.39 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/151.8 = 49.39 N·m

คำตอบ

T₁ = 49.39 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 348 rpm

ขั้นแรก

n_B = 2900·15/50 = 870 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 870·20/50 = 348 rpm

คำตอบ

n_out = 348 rpm

อัตราทดรวม = 8.333 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: g = 8.891 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

แก้หา g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/2.98² = 8.891 m/s²

คำตอบ

g = 8.891 m/s²

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: x_max = 12.8 cm

ตำแหน่งสมดุลและแอมพลิจูด

x₀ = m·g/k = 1.5·9.81/230 = 0.06398 m = A

จุดต่ำสุด

x_max = 2A = 0.128 m = 12.8 cm

คำตอบ

x_max = 12.8 cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.06028

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/5)·ln(20/3) = 0.3794

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3794/√(39.48 + 0.144) = 0.06028

คำตอบ

ζ = 0.06028

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 3.061 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 12 + 25 = 37 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(37000/100) = 19.24 rad/s

f_n = 19.24/(2π) = 3.061 Hz

คำตอบ

f_n = 3.061 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics