พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 25 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 3.5 m/s² รถตำรวจตามทันที่ห่างจากจุดเริ่มต้นเท่าใด จงหา d

v_car = 25 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

จรวดจำลองถูกยิงขึ้นตรง ๆ จากหยุดนิ่ง เครื่องยนต์ให้ความเร่งขึ้นคงที่ 22 m/s² เป็นเวลา 1 s หลังจากนั้นเครื่องยนต์หยุดและจรวดเคลื่อนที่อย่างอิสระ ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² หลังยิงนานเท่าใดจึงตกถึงพื้น จงหา t

a = 22 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

มวล 8.5 kg และ 4 kg แขวนสองข้างของรอกเบาไร้แรงเสียดทาน เชื่อมด้วยเชือกเบา ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของมวลทั้งสอง

m₁ = 8.5 kgm₂ = 4 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 3.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 4.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 55° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 16 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 27 m/s ที่มุม 35° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 55 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ที่ลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 27 m/sθ = 35°h = 55 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 65 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.4 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 65 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 2 kg บนเชือกเบายาว 0.5 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดอัตราเร็วของมันคือ 12 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T_top ในเชือกที่จุดสูงสุด

m = 2 kgr = 0.5 mv_bottom = 12 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

รถ 1800 kg ขึ้นเนินลาด 8° ด้วย 72 km/h คงที่ แรงต้านอากาศและแรงต้านการหมุนของล้อรวมกันเป็น 700 N จงหากำลัง P ที่ล้อต้องส่ง ในหน่วย kW

m = 1800 kgθ = 8°F_r = 700 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.งานและพลังงานยาก

สปริงที่มีค่าคงตัว 2000 N/m ที่ฐานของเนินลาด 40° ถูกกด 8 cm กับก้อนวัตถุ 0.5 kg แล้วปล่อย สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับเนินคือ 0.2 ก้อนวัตถุเคลื่อนที่ขึ้นเนินจากจุดปล่อยไกลเท่าใด d ก่อนหยุด (ไม่ต้องคิดระยะสั้น ๆ ที่สปริงดัน คือให้คิดแรงเสียดทานและแรงโน้มถ่วงตลอดระยะ d)

m = 0.5 kgk = 2000 N/mx = 8 cmθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุน 12 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 3.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบา และฝังอยู่ในนั้น ก้อนไม้แกว่งขึ้นจนสูงกว่าตอนเริ่มต้น 6 cm ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 12 gM = 3.5 kgh = 6 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.2 kg กระทบผนังด้วย 26 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 15 m/s การสัมผัสใช้เวลา 5 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.2 kgv_in = 26 m/sv_out = 15 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 4.5 kg ยาว 1.6 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งขณะแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 4.5 kgL = 1.6 mg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 2.5 kg ยาว 1.9 m ห้อยนิ่งจากจุดหมุนไร้แรงเสียดทานที่ปลายบน กระสุน 5 g เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 580 m/s ชนแท่งที่ตำแหน่งต่ำกว่าจุดหมุน 1.46 m และฝังอยู่ในนั้น จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งทันทีหลังการชน

M = 2.5 kgL = 1.9 mm = 5 gv = 580 m/sd = 1.46 m

ω = rad/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 11 kW หมุนที่ 1450 rpm ขับเฟืองขนาดเล็กที่มี 20 ฟันและโมดูล 4 mm จงหาแรงสัมผัส F_t ที่ฟันของเฟืองขนาดเล็ก

P = 11 kWn = 1450 rpmN₁ = 20m = 4 mm

F_t = N

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (32 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 2900 rpm ขับเฟือง B (80 ฟัน) เฟือง C (18 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (45 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 2900 rpmA = 32B = 80C = 18D = 45

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 2.1 m ใช้ g = 9.81 m/s² หาคาบ T สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ

L = 2.1 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

กระสุน 8 g เคลื่อนที่ด้วย 500 m/s พุ่งชนและฝังอยู่ในก้อนวัตถุมวล 1 kg ที่วางบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทาน ก้อนวัตถุติดกับสปริงแนวนอนที่มี k = 1700 N/m จงหาแอมพลิจูด A ของการแกว่งที่เกิดขึ้นใน cm

m = 8 gv = 500 m/sM = 1 kgk = 1700 N/m

A = cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 40 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 200 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.45 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 40 kgk = 200 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 50 kg แขวนจากสปริง k₃ = 25 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 12 kN/m และ k₂ = 50 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 357.1 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·25/3.5 = 14.29 s

ระยะทาง

d = v·t = 25·14.29 = 357.1 m

คำตอบ

d = 357.1 m

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 50 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 5.939 s

ช่วงที่มีแรงขับ

v₁ = 22·1 = 22 m/s

h₁ = ½·22·1² = 11 m

บินอิสระลงสู่พื้น

แก้ −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² หารากที่เป็นบวก

t₂ = (22 + √(22² + 2·9.81·11))/9.81 = 4.939 s

t = 1 + 4.939 = 5.939 s

คำตอบ

t = 5.939 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 3.532 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความเร่ง

แรงขับสุทธิคือผลต่างของน้ำหนัก ซึ่งทำให้มวลรวมเคลื่อนที่

a = (8.5 − 4)·9.81/(8.5 + 4) = 3.532 m/s²

คำตอบ

a = 3.532 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 21.24 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 3.434)/8 = 5.089 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·5.089 + 3.434 = 21.24 N

คำตอบ

T = 21.24 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 24.52 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 55° = 9.177 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 55° = 13.11 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·13.11/9.81 = 2.672 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 9.177·2.672 = 24.52 m

คำตอบ

x = 24.52 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v = 42.52 m/s

แยกความเร็วต้น

v_x = 27·cos 35° = 22.12 m/s

v_y0 = 27·sin 35° = 15.49 m/s

อัตราเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบ

พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง

v_y = √(15.49² + 2·9.81·55) = 36.32 m/s

อัตราเร็วขณะกระทบ

v = √(22.12² + 36.32²) = 42.52 m/s

คำตอบ

v = 42.52 m/s

ตรวจสอบด้วยพลังงาน: v² = v₀² + 2gh

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 15.97 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·65) = 15.97 m/s

คำตอบ

v_max = 15.97 m/s (57.49 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T_top = 477.9 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

พลังงานจลน์แปลงเป็นพลังงานศักย์ตลอดความสูง 2r

v_top² = 12² − 4·9.81·0.5 = 124.4 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

แรงตึงและแรงโน้มถ่วงชี้ลงทั้งคู่ เข้าหาศูนย์กลาง

T + m·g = m·v_top²/r

T = 2·124.4/0.5 − 2·9.81 = 477.9 N

คำตอบ

T_top = 477.9 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: P = 63.15 kW

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) กำลังคือแรงคูณอัตราเร็ว: P = F·v

แรงขับ

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 8° = 2458 N

F = 2458 + 700 = 3158 N

กำลัง

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 3158·20 = 63150 W = 63.15 kW

คำตอบ

P = 63.15 kW

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 1.639 m

พลังงานสปริง

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·2000·0.08² = 6.4 J

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 6.4/(4.905·(0.6428 + 0.2·0.766)) = 1.639 m

คำตอบ

d = 1.639 m

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 317.5 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การแกว่งหลังการชน

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.06) = 1.085 m/s

การชน

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 3.5)·1.085/0.012 = 317.5 m/s

คำตอบ

v = 317.5 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 8.2 N·s

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.2·(15 + 26) = 8.2 N·s

คำตอบ

J = 8.2 N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 4.289 rad/s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 = 4.5·9.81·0.8 = 35.32 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 = 4.5·1.6²/3 = 3.84 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 35.32 → ω = √(2·35.32/3.84) = 4.289 rad/s

คำตอบ

ω = 4.289 rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 1.402 rad/s

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อยหลังการชน

I = M·L²/3 + m·d² = 2.5·1.9²/3 + 0.005·1.46² = 3.019 kg·m²

โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดหมุน

แรงที่จุดหมุนผ่านจุดหมุน จึงไม่มีโมเมนต์ที่นั่นระหว่างการชน

m·v·d = I·ω → ω = 0.005·580·1.46/3.019 = 1.402 rad/s

คำตอบ

ω = 1.402 rad/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: F_t = 1811 N

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

แรงบิดที่เฟืองขนาดเล็ก

ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 11000/151.8 = 72.44 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์

d = m·N = 4·20 = 80 mm

แรงสัมผัส

F_t = 2T/d = 2·72.44/0.08 = 1811 N

คำตอบ

F_t = 1811 N

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 464 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

n_B = 2900·32/80 = 1160 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 1160·18/45 = 464 rpm

คำตอบ

n_out = 464 rpm

อัตราทดรวม = 6.25 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: T = 2.907 s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

คาบของลูกตุ้ม

T = 2π·√(2.1/9.81) = 2.907 s

คำตอบ

T = 2.907 s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: A = 9.663 cm

อัตราเร็วหลังการชน

V = m·v/(m + M) = 0.008·500/1.008 = 3.968 m/s

ความถี่เชิงมุม

ω = √(k/(m + M)) = √(1700/1.008) = 41.07 rad/s

แอมพลิจูด

A = V/ω = 3.968/41.07 = 0.09663 m = 9.663 cm

คำตอบ

A = 9.663 cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 10.05 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(200000/40) = 70.71 rad/s

f_n = 70.71/(2π) = 11.25 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 11.25·√(1 − 0.45²) = 10.05 Hz

คำตอบ

f_d = 10.05 Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 3.004 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 12 + 50 = 62 kN/m

k_eq = 62·25/(62 + 25) = 17.82 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(17816/50) = 18.88 rad/s

f_n = 18.88/(2π) = 3.004 Hz

คำตอบ

f_n = 3.004 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics