พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว
v = v0 + a·t
การกระจัด
s = v0·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา
v² = v0² + 2·a·s
หน่วย
1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

  1. เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
  2. เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
  3. เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
  4. แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง
ΣF = m·a
น้ำหนัก
W = m·g
แรงเสียดทานจลน์
Ff = μ·N
บนพื้นเอียง
ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
  2. เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
  3. แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
  4. ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
ตำแหน่ง
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
ความสูงสูงสุด
H = h + vy²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ)
R = v0²·sin 2θ/g

วิธีการ

  1. แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: vx = v₀·cos θ และ vy = v₀·sin θ
  2. การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
  3. หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
  4. ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง
a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง
F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม
ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน
vmax = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์
Ek = ½mv²
พลังงานศักย์
Ep = mgh
สมดุลพลังงาน
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
งานของแรงเสียดทาน
W = μ·N·d
กำลัง
P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม
p = m·v
การอนุรักษ์
Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
อิมพัลส์
J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

  1. เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
  2. เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
  3. สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
  4. ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G
แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน
I = IG + m·d²
รัศมีไจเรชัน
I = m·k²
แท่งรอบปลาย
I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่
ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s
ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์
E = ½·I·ω²
งานและกำลัง
W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล
v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม
L = I·ω, I1ω1 = I2ω2
การชนรอบจุดหมุน
m·v·d = I·ω

วิธีการ

  1. เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
  2. หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = IG + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
  3. เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
  4. เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน
n1·N1 = n2·N2
แรงบิด
T2 = T1·(N2/N1)·η
กำลัง
P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ
อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง
T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม
T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม
ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด
vmax = A·ω, amax = A·ω²
พลังงาน
E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต
ωn = √(g/δst)
การหน่วงวิกฤต
cc = 2√(km) = 2mωn
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = c/cc
ความถี่ที่ถูกหน่วง
ωd = ωn√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน
k = k1 + k2
สปริงต่ออนุกรม
1/k = 1/k1 + 1/k2

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง
t (s)v (m/s)5.556 s16.67

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 60 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 3 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 60 km/ha = −3 m/s²v = 0
s = m
2.จลนศาสตร์ยาก
v₀ = 20 m/s10 m

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 20 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 10 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 20 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.กฎของนิวตันปานกลาง
θ = 35°a = ?m = 12 kg

ก้อนวัตถุมวล 12 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 12 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.กฎของนิวตันยาก
θ = 25°ก้อนวัตถุv₀ = 3 m/s

ก้อนวัตถุถูกผลักให้เริ่มไถลขึ้นทางลาด 25° ด้วยอัตราเร็ว 3 m/s สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.15 ใช้ g = 9.81 m/s² ไถลไปตามทางลาดไกลเท่าใด d ก่อนหยุด

v₀ = 3 m/sθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²
d = m
5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง
v0​ = 26 m/s65°พิสัยH = ?

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 65° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v0 = 26 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²
H = m
6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก
h = 40 mv0​ = 33 m/s20°H = ?

ยิงลูกบอลด้วย 33 m/s ที่มุม 20° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 40 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 33 m/sθ = 20°h = 40 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง
r = 2.7 mn = ?

ในเครื่องเล่นโรเตอร์ในงานรื่นเริง ผู้เล่นยืนพิงผนังของกระบอกแนวดิ่งรัศมี 2.7 m เมื่อหมุนเร็วพอ พื้นจะเลื่อนลงและแรงเสียดทานพยุงผู้เล่นไว้ สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตคือ 0.7 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราการหมุนที่น้อยที่สุด n ในหน่วยรอบต่อนาที

r = 2.7 mμs = 0.7g = 9.81 m/s²
n = rpm
8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก
R = 4 mh = ?

รถเข็นเล็กถูกปล่อยจากหยุดนิ่งบนรางไร้แรงเสียดทานและวิ่งเข้าสู่ลูปแนวดิ่งรัศมี 4 m ต้องเริ่มจากความสูงต่ำสุด hmin เหนือฐานของลูปเท่าใดจึงจะอยู่บนรางที่จุดสูงสุดของลูป

R = 4 mv₀ = 0
hmin = m
9.งานและพลังงานปานกลาง
45°d = 9 mμ = 0.3

ก้อนวัตถุมวล 4 kg เลื่อนลงไป 9 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 45° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.3 หางาน Wf ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 4 kgθ = 45°μ = 0.3d = 9 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
10.งานและพลังงานยาก
h = 4.5 mL = 4.5 mμ = 0.3k = 5000 N/m

ก้อนวัตถุมวล 0.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 4.5 m (μ = 0.3) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 5000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุเมื่อถึงสปริง

m = 0.5 kgh = 4.5 mL = 4.5 mμ = 0.3k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง
4 kgv = ?8 gh = 9 cm

กระสุน 8 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 4 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบา และฝังอยู่ในนั้น ก้อนไม้แกว่งขึ้นจนสูงกว่าตอนเริ่มต้น 9 cm ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 8 gM = 4 kgh = 9 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
12.โมเมนตัมและการชนยาก
1.5 kgv = ?12 g40°L = 0.8 m

กระสุน 12 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 1.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 0.8 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 40° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 12 gM = 1.5 kgL = 0.8 mθ = 40°g = 9.81 m/s²
v = m/s
13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง
0 → 800 rpmI = 37 kg·m²

มอเตอร์ทำให้ล้อช่วยแรงที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย 37 kg·m² เร่งจากหยุดนิ่งเป็น 800 rpm ใน 46 s ไม่คิดการสูญเสีย จงหากำลังเฉลี่ย Pavg ที่มันจ่าย ใน kW

I = 37 kg·m²n = 800 rpmt = 46 s
Pavg = kW
14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก
θ = 30°a

ห่วงบาง กลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 30° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของจุดศูนย์กลางของมัน

θ = 30°I = m·r²g = 9.81 m/s²
a = m/s²
15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
d1​ = 125 mmd2​ = 315 mm1440 rpmT1​ = 600 NT2​ = 150 NP = ?

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 125 mm ที่ 1440 rpm แรงตึงคือ 600 N ที่ด้านตึงและ 150 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d1 = 125 mmn1 = 1440 rpmT1 = 600 NT2 = 150 N
P = kW
16.เฟืองและชุดเฟืองยาก
A = 48B = 80C = 20D = 32

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (48 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 3000 rpm ขับเฟือง B (80 ฟัน) เฟือง C (20 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (32 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก nout

nin = 3000 rpmA = 48B = 80C = 20D = 32
nout = rpm
17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง
3.5 kgk = 170 N/mA = 11 cmx = 1 cm

มวล 3.5 kg บนสปริง k = 170 N/m แกว่งบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทานด้วยแอมพลิจูด 11 cm จงหาอัตราเร็ว v ของมันเมื่ออยู่ห่างจากตำแหน่งสมดุล 1 cm

m = 3.5 kgk = 170 N/mA = 11 cmx = 1 cm
v = m/s
18.สปริงและลูกตุ้มยาก
3 kgk = 1500 N/m450 m/s

กระสุน 10 g เคลื่อนที่ด้วย 450 m/s พุ่งชนและฝังอยู่ในก้อนวัตถุมวล 3 kg ที่วางบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทาน ก้อนวัตถุติดกับสปริงแนวนอนที่มี k = 1500 N/m จงหาแอมพลิจูด A ของการแกว่งที่เกิดขึ้นใน cm

m = 10 gv = 450 m/sM = 3 kgk = 1500 N/m
A = cm
19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
tx50 mm4 รอบ4 mm

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 50 mm ตามด้วยยอด 4 mm หลังจากนั้น 4 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x0 = 50 mmx4 = 4 mmn = 4
ζ =
20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
k1​ = 40k2​ = 15m = 5 kg

มวล 5 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 40 kN/m และ k₂ = 15 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 5 kgk1 = 40 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 46.3 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·3) = 46.3 m

คำตอบ

s = 46.3 m
2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 4.528 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−10 = 20·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 20·t − 10 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (20 + √(20² + 2·9.81·10))/9.81 = 4.528 s

คำตอบ

t = 4.528 s
3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 4.823 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 35° − 0.1·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.08192) = 4.823 m/s²

คำตอบ

a = 4.823 m/s²
4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: d = 0.8212 m

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความหน่วง

แรงทั้งสองชี้ลงตามเนิน มวลหักล้างกัน

a = 9.81·(sin 25° + 0.15·cos 25°) = 5.48 m/s²

ระยะทาง

d = v₀²/(2a) = 3²/(2·5.48) = 0.8212 m

คำตอบ

d = 0.8212 m
5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 28.3 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = vxt และ y = h + vyt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

vx = v0·cos θ = 26·cos 65° = 10.99 m/s
vy = v0·sin θ = 26·sin 65° = 23.56 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: vy² = 2gH

H = vy²/(2g) = 23.56²/(2·9.81) = 28.3 m

คำตอบ

H = 28.3 m
6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 46.49 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = vxt และ y = h + vyt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

vy = 33·sin 20° = 11.29 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = vy²/(2g) = 11.29²/(2·9.81) = 6.493 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 40 + 6.493 = 46.49 m

คำตอบ

H = 46.49 m
7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: n = 21.76 rpm

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงที่กระทำต่อผู้เล่น

N = m·ω²·r
μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

อัตราเร็วเชิงมุม

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·2.7)) = 2.278 rad/s

อัตราการหมุน

n = ω·60/(2π) = 21.76 rpm

คำตอบ

n = 21.76 rpm
8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: hmin = 10 m

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

เงื่อนไขที่จุดสูงสุด

m·g = m·v²/R → v² = g·R

การอนุรักษ์พลังงาน

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·4 = 10 m

คำตอบ

hmin = 10 m
9.งานและพลังงาน

คำตอบ: Wf = 74.92 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 39.24·0.7071 = 27.75 N
F = μN = 0.3·27.75 = 8.324 N

งานต้านแรงเสียดทาน

Wf = F·d = 8.324·9 = 74.92 J

คำตอบ

Wf = 74.92 J
10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 7.861 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 4.905·(4.5 − 0.3·4.5) = 15.45 J

อัตราเร็วที่สปริง

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.15) = 7.861 m/s

คำตอบ

v = 7.861 m/s
11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 665.7 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การแกว่งหลังการชน

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.09) = 1.329 m/s

การชน

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 4)·1.329/0.008 = 665.7 m/s

คำตอบ

v = 665.7 m/s
12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 241.5 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 0.8·(1 − cos 40°) = 0.1872 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.1872) = 1.916 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 1.512·1.916/0.012 = 241.5 m/s

คำตอบ

v = 241.5 m/s
13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: Pavg = 2.823 kW

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·800/60 = 83.78 rad/s

พลังงาน

E = ½·I·ω² = ½·37·83.78² = 129840 J

กำลังเฉลี่ย

Pavg = E/t = 129840/46 = 2823 W = 2.823 kW

คำตอบ

Pavg = 2.823 kW
14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: a = 2.452 m/s²

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

สมการการเคลื่อนที่

m·g·sin θ − f = m·a
f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

ความเร่ง

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 30°/2 = 2.452 m/s²

คำตอบ

a = 2.452 m/s²
15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 4.241 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = eμθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 9.425 m/s

กำลัง

P = (600 − 150)·9.425 = 4241 W = 4.241 kW

คำตอบ

P = 4.241 kW
16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: nout = 1125 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

nB = 3000·48/80 = 1800 rpm = nC

ขั้นที่สอง

nout = 1800·20/32 = 1125 rpm

คำตอบ

nout = 1125 rpm

อัตราทดรวม = 2.667 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v = 0.7635 m/s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(170/3.5) = 6.969 rad/s

อัตราเร็วที่ x

v = ω·√(A² − x²) = 6.969·√(0.11² − 0.01²) = 0.7635 m/s

คำตอบ

v = 0.7635 m/s
18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: A = 6.697 cm

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

อัตราเร็วหลังการชน

V = m·v/(m + M) = 0.01·450/3.01 = 1.495 m/s

ความถี่เชิงมุม

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/3.01) = 22.32 rad/s

แอมพลิจูด

A = V/ω = 1.495/22.32 = 0.06697 m = 6.697 cm

คำตอบ

A = 6.697 cm
19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.09999

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/4)·ln(50/4) = 0.6314

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6314/√(39.48 + 0.3987) = 0.09999

คำตอบ

ζ = 0.09999
20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: fn = 16.69 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k1 + k2

keq = 40 + 15 = 55 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ωn = √(55000/5) = 104.9 rad/s
fn = 104.9/(2π) = 16.69 Hz

คำตอบ

fn = 16.69 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics