พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 36 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 5 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 36 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 16 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 25 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 16 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องไถลไปบนพื้นราบด้วยอัตราเร็วต้น 3 m/s และหยุดหลังไป 9.2 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ μ

v₀ = 3 m/sd = 9.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุสองก้อนบนพื้นราบเชื่อมด้วยเชือกเบาในแนวนอน แรงในแนวนอน 65 N ดึงก้อนหน้าที่หนัก 9 kg ก้อนที่หนัก 3 kg ถูกลากตามหลัง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.25 สำหรับทั้งสองก้อน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T ในเชือกที่เชื่อม

m₁ = 3 kgm₂ = 9 kgF = 65 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบด้วย 38 m/s และต้องตกห่างออกไป 65 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมยิง θ ที่น้อยกว่าในสองค่าที่เป็นไปได้

v₀ = 38 m/sR = 65 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 50° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 20 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 13 m/sθ = 50°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถขับข้ามยอดเนินบนถนนซึ่งเป็นส่วนโค้งวงกลมรัศมี 40 m ใช้ g = 9.81 m/s² ที่อัตราเร็วเกินเท่าใด v_max ล้อจะลอยพ้นถนนที่จุดสูงสุด

r = 40 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 1.2 kg ผูกกับเชือกยาว 0.7 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 7 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 1.2 kgr = 0.7 mv = 7 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

เครื่องยิงของเล่นมีสปริงแนวดิ่งที่มีค่าคงตัว 500 N/m วางลูกบอล 0.1 kg บนสปริงและกดสปริงลง 5 cm แล้วปล่อย ไม่คิดแรงต้านอากาศและมวลของสปริง จงหาความสูง h ที่ลูกบอลขึ้นไป วัดจากตำแหน่งของมันเมื่อสปริงถูกกด

m = 0.1 kgk = 500 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 2.6 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 1 m จงหาแรงตั้งฉาก N ที่รางกระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 5 kgh = 2.6 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 7 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 4.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.5 kg กระทบผนังด้วย 23 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 4 m/s การสัมผัสใช้เวลา 20 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.5 kgv_in = 23 m/sv_out = 4 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

เพลาส่งกำลัง 114 kW ที่ 400 rpm จงหาแรงบิด T ในเพลา

P = 114 kWn = 400 rpm

T = N·m

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกระบอกตัน เริ่มจากหยุดนิ่งและกลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 35° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของมันหลังกลิ้งไปตามทางลาด 7.5 m

θ = 35°s = 7.5 mI = ½·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 3 kW หมุนที่ 2900 rpm ขับเฟืองขนาดเล็กที่มี 16 ฟันและโมดูล 4 mm จงหาแรงสัมผัส F_t ที่ฟันของเฟืองขนาดเล็ก

P = 3 kWn = 2900 rpmN₁ = 16m = 4 mm

F_t = N

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ขับ 160 mm ที่ 2880 rpm กับพูลเลย์ 400 mm ศูนย์กลางห่างกัน 500 mm สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานคือ 0.25 และแรงตึงด้านตึงต้องไม่เกิน 1500 N จงหากำลังสูงสุด P ที่สายพานส่งได้โดยไม่ลื่น ในหน่วย kW (ไม่คิดผลของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์)

d₁ = 160 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 400 mmC = 500 mmμ = 0.25T₁ = 1500 N

P = kW

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 2.4 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 2.4 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 1.5 kg ถูกติดที่ปลายล่างของสปริงแนวดิ่งที่ไม่ยืดซึ่งมี k = 470 N/m และปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วมากที่สุด v_max ของมวล

m = 1.5 kgk = 470 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 5 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 50 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.35 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 5 kgk = 50 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 10 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 25 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 10 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·5) = 10 m

คำตอบ

s = 10 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 4.416 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−25 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 25 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (16 + √(16² + 2·9.81·25))/9.81 = 4.416 s

คำตอบ

t = 4.416 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: μ = 0.04986

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความหน่วง

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·9.2) = 0.4891 m/s²

สัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.4891/9.81 = 0.04986

คำตอบ

μ = 0.04986

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 16.25 N

ระบบทั้งหมด

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (65 − 29.43)/12 = 2.964 m/s²

ก้อนหลังเพียงก้อนเดียว

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(2.964 + 2.453) = 16.25 N

คำตอบ

T = 16.25 N

เมื่อ μ เท่ากันทั้งสองก้อน แรงเสียดทานหักล้างกัน: T = F·m₁/(m₁ + m₂)

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: θ = 13.1 °

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

สูตรพิสัย

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·65/38² = 0.4416

มุม

2θ = 26.21° → θ = 13.1°

คำตอบ

θ = 13.1°

คำตอบอีกค่าหนึ่งคือ 90° − θ = 76.9°

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 27.37 m

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 50° = 8.356 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 50° = 9.959 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 20 + 9.959·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.959 + √(99.17 + 392.4))/9.81 = 3.275 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 8.356·3.275 = 27.37 m

คำตอบ

x = 27.37 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 19.81 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงตั้งฉากเป็นศูนย์

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·40) = 19.81 m/s

คำตอบ

v_max = 19.81 m/s

(71.31 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 95.77 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·7²/0.7 = 11.77 + 84 = 95.77 N

คำตอบ

T = 95.77 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: h = 0.6371 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

พลังงานสปริง

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·500·0.05² = 0.625 J

ความสูง

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 0.625/0.981 = 0.6371 m

คำตอบ

h = 0.6371 m

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: N = 9.81 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(2.6 − 2) = 11.77 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·11.77/1 − 49.05 = 9.81 N

คำตอบ

N = 9.81 N

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = −0.875 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3.5 − 4.5)/(3.5 + 4.5)·7 = −0.875 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4.5)·7 = 6.125 m/s

คำตอบ

v′₁ = −0.875 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเลื่อนตัวแรกกระดอนกลับ

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 675 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.5·(4 + 23) = 13.5 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 13.5/0.02 = 675 N

คำตอบ

F_avg = 675 N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: T = 2722 N·m

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·400/60 = 41.89 rad/s

แรงบิด

T = P/ω = 114000/41.89 = 2722 N·m

คำตอบ

T = 2722 N·m

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: v = 7.501 m/s

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

ความสูงที่ตก

h = s·sin θ = 7.5·sin 35° = 4.302 m

สมดุลพลังงานกับการกลิ้ง

กลิ้งโดยไม่ไถล: ω = v/r และแรงเสียดทานไม่ทำงานที่จุดสัมผัส

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.5)

v = √(2·9.81·4.302/1.5) = 7.501 m/s

คำตอบ

v = 7.501 m/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: F_t = 308.7 N

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

แรงบิดที่เฟืองขนาดเล็ก

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T = P/ω = 3000/303.7 = 9.879 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์

d = m·N = 4·16 = 64 mm

แรงสัมผัส

F_t = 2T/d = 2·9.879/0.064 = 308.7 N

คำตอบ

F_t = 308.7 N

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 17.56 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมโอบ

θ = 2.657 rad

แรงตึงด้านหย่อน

e^μθ = e^0.6642 = 1.943, T₂ = 1500/1.943 = 772 N

กำลัง

P = (1500 − 772)·24.13 = 17.56 kW

คำตอบ

P = 17.56 kW

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 1.431 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.4/2π)² = 1.431 m

คำตอบ

L = 1.431 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v_max = 0.5542 m/s

ตำแหน่งสมดุลและแอมพลิจูด

x₀ = m·g/k = 1.5·9.81/470 = 0.03131 m = A

อัตราเร็วมากที่สุด

อัตราเร็วมีค่ามากที่สุดที่ตำแหน่งสมดุล

ω = √(470/1.5) = 17.7 rad/s

v_max = A·ω = 0.03131·17.7 = 0.5542 m/s

คำตอบ

v_max = 0.5542 m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 14.91 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(50000/5) = 100 rad/s

f_n = 100/(2π) = 15.92 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 15.92·√(1 − 0.35²) = 14.91 Hz

คำตอบ

f_d = 14.91 Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 7.143 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/10 + 1/25 → k_eq = 10·25/(10 + 25) = 7.143 kN/m

คำตอบ

k_eq = 7.143 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics