พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 2 m/s² ตามทางวิ่ง จงหาอัตราเร็ว v หลังวิ่งไป 1300 m

v₀ = 0a = 2 m/s²s = 1300 m

v = m/s

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 16 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 35 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 16 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

เลื่อนหนัก 15 kg ถูกดึงไปบนหิมะราบด้วยเชือกที่ทำมุม 35° เหนือแนวนอนด้วยแรง 140 N สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของเลื่อน

m = 15 kgF = 140 Nθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 6 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 2 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 6 kgm₂ = 2 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบที่มุม 35° เหนือแนวนอนและตกห่างออกไป 145 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต้น v₀

θ = 35°R = 145 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 30° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 15 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 29 m/sθ = 30°h = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 25 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 25 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 1.9 kg บนเชือกเบายาว 0.9 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดอัตราเร็วของมันคือ 9.5 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T_top ในเชือกที่จุดสูงสุด

m = 1.9 kgr = 0.9 mv_bottom = 9.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 45° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.35 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 13 m

θ = 45°μ = 0.35d = 13 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.งานและพลังงานยาก

สปริงที่มีค่าคงตัว 5000 N/m ที่ฐานของเนินลาด 20° ถูกกด 15 cm กับก้อนวัตถุ 5 kg แล้วปล่อย สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับเนินคือ 0.1 ก้อนวัตถุเคลื่อนที่ขึ้นเนินจากจุดปล่อยไกลเท่าใด d ก่อนหยุด (ไม่ต้องคิดระยะสั้น ๆ ที่สปริงดัน คือให้คิดแรงเสียดทานและแรงโน้มถ่วงตลอดระยะ d)

m = 5 kgk = 5000 N/mx = 15 cmθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุนปืนมวล 9 kg เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 33 m/s ระเบิดเป็นสองเศษที่เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงเดียวกัน เศษมวล 2 kg เคลื่อนที่ต่อไปข้างหน้าด้วย 75 m/s จงหาความเร็ว v′₂ ของเศษมวล 7 kg (ทิศทางเดิมเป็นบวก)

M = 9 kgu = 33 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 75 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.35 kg กระทบผนังด้วย 9 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 5 m/s การสัมผัสใช้เวลา 20 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.35 kgv_in = 9 m/sv_out = 5 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 5.5 kg ยาว 1.2 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ลูกบอลเล็กมวล 4 kg ติดอยู่ที่ปลายอิสระของมัน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของปลายอิสระขณะแท่งแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 5.5 kgL = 1.2 mm_ball = 4 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมกลวง เริ่มจากหยุดนิ่งและกลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 15° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² รัศมีของมันคือ 0.3 m จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของมันหลังกลิ้งไปตามทางลาด 7.5 m

θ = 15°s = 7.5 mI = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.3 m

ω = rad/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

พูลเลย์ 150 mm ที่ 2880 rpm ขับพูลเลย์ 250 mm ด้วยสายพานที่ลื่น 1.5 % จงหาความเร็ว n₂ ของพูลเลย์ตาม

n₁ = 2880 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 250 mms = 1.5 %

n₂ = rpm

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

มอเตอร์ 4 kW ที่ 2900 rpm ขับเฟือง A (24 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (72 ฟัน) เฟือง C (18 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (40 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 96% จงหาแรงบิดขาออก T_out

P = 4 kWn_in = 2900 rpmA = 24B = 72C = 18D = 40η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 2.8 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 2.8 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 1 kg บนสปริงที่ k = 270 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 4 cm แล้วปล่อย หาอัตราเร็วสูงสุด v_max

m = 1 kgk = 270 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 10 mm ตามด้วยยอด 1.5 mm หลังจากนั้น 2 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 10 mmx₂ = 1.5 mmn = 2

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 40 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 5 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 100 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 40 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: v = 72.11 m/s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

อัตราเร็วหลังเคลื่อนที่ไปตามระยะทาง

v = √(2·a·s) = √(2·2·1300) = 72.11 m/s

คำตอบ

v = 72.11 m/s

(259.6 km/h)

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 4.761 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−35 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 35 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (16 + √(16² + 2·9.81·35))/9.81 = 4.761 s

คำตอบ

t = 4.761 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 7.2 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตั้งฉาก

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 140·sin 35° = 66.85 N

แรงในแนวนอน

m·a = F·cos θ − μ·N = 114.7 − 6.685

a = 108/15 = 7.2 m/s²

คำตอบ

a = 7.2 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 1.717 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 5.886)/8 = 1.717 m/s²

คำตอบ

a = 1.717 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v₀ = 38.91 m/s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แก้สูตรพิสัยหา v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·145/sin 70°) = 38.91 m/s

คำตอบ

v₀ = 38.91 m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 3.768 s

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 30° = 25.11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 30° = 14.5 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 15 + 14.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.5 + √(210.2 + 294.3))/9.81 = 3.768 s

คำตอบ

t = 3.768 s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 8.578 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·25) = 8.578 m/s

คำตอบ

v_max = 8.578 m/s (30.88 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T_top = 97.33 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

พลังงานจลน์แปลงเป็นพลังงานศักย์ตลอดความสูง 2r

v_top² = 9.5² − 4·9.81·0.9 = 54.93 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

แรงตึงและแรงโน้มถ่วงชี้ลงทั้งคู่ เข้าหาศูนย์กลาง

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.9·54.93/0.9 − 1.9·9.81 = 97.33 N

คำตอบ

T_top = 97.33 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 10.83 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·13·(0.7071 − 0.35·0.7071)) = 10.83 m/s

คำตอบ

v = 10.83 m/s

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 2.63 m

พลังงานสปริง

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·5000·0.15² = 56.25 J

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 56.25/(49.05·(0.342 + 0.1·0.9397)) = 2.63 m

คำตอบ

d = 2.63 m

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 21 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

โมเมนตัมก่อนชน

p = M·u = 9·33 = 297 kg·m/s

โมเมนตัมหลังชน

297 = 2·75 + 7·v′₂

v′₂ = (297 − 150)/7 = 21 m/s

คำตอบ

v′₂ = 21 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 4.9 N·s

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.35·(5 + 9) = 4.9 N·s

คำตอบ

J = 4.9 N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: v = 5.22 m/s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 5.5·9.81·0.6 + 4·9.81·1.2 = 79.46 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 2.64 + 5.76 = 8.4 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 79.46 → ω = √(2·79.46/8.4) = 4.35 rad/s

v = ω·L = 4.35·1.2 = 5.22 m/s

คำตอบ

v = 5.22 m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 15.93 rad/s

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

ความสูงที่ตก

h = s·sin θ = 7.5·sin 15° = 1.941 m

สมดุลพลังงานกับการกลิ้ง

กลิ้งโดยไม่ไถล: ω = v/r และแรงเสียดทานไม่ทำงานที่จุดสัมผัส

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.6667)

v = √(2·9.81·1.941/1.667) = 4.78 m/s

ω = v/r = 4.78/0.3 = 15.93 rad/s

คำตอบ

ω = 15.93 rad/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n₂ = 1702 rpm

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วเมื่อไม่มีการลื่น

2880·150/250 = 1728 rpm

เมื่อมีการลื่น

n₂ = 1728·0.985 = 1702 rpm

คำตอบ

n₂ = 1702 rpm

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_out = 80.93 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ความเร็วรอบขาออก

n_out = 2900·(24/72)·(18/40) = 435 rpm

ω_out = 2π·435/60 = 45.55 rad/s

กำลังและแรงบิดขาออก

P_out = 4000·0.96² = 3686 W

T_out = P_out/ω_out = 3686/45.55 = 80.93 N·m

คำตอบ

T_out = 80.93 N·m

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 1.948 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.8/2π)² = 1.948 m

คำตอบ

L = 1.948 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v_max = 0.6573 m/s

ความถี่เชิงมุม

ω = √(270/1) = 16.43 rad/s

อัตราเร็วสูงสุด

v_max = A·ω = 0.04·16.43 = 0.6573 m/s

คำตอบ

v_max = 0.6573 m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1493

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/2)·ln(10/1.5) = 0.9486

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9486/√(39.48 + 0.8998) = 0.1493

คำตอบ

ζ = 0.1493

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 4.762 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/5 + 1/100 → k_eq = 5·100/(5 + 100) = 4.762 kN/m

คำตอบ

k_eq = 4.762 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics