พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 45 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 5.5 m/s² จนหยุด การเบรกใช้เวลานานเท่าใด หา t

v₀ = 45 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 8 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 25 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² หาความสูงสูงสุด h_max เหนือพื้น

v₀ = 8 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 18 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 40° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.15 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 18 kgθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 4.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 3.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 4.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบที่มุม 15° เหนือแนวนอนและตกห่างออกไป 20 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต้น v₀

θ = 15°R = 20 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 28 m/s ที่มุม 45° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 40 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 28 m/sθ = 45°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

วิศวกรถนนต้องการให้รถผ่านทางโค้งรัศมี 380 m ด้วย 100 km/h โดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมเอียง θ

r = 380 mv = 100 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 1.3 kg บนเชือกเบายาว 1.2 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดอัตราเร็วของมันคือ 10 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T_top ในเชือกที่จุดสูงสุด

m = 1.3 kgr = 1.2 mv_bottom = 10 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 1 kg เลื่อนลงไป 20 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 40° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.25 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 1 kgθ = 40°μ = 0.25d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 2 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 3.5 m (μ = 0.3) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 1000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 2 kgh = 5 mL = 3.5 mμ = 0.3k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 12 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 4 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

รถมวล 1100 kg ชนรถที่จอดอยู่มวล 1700 kg ซากรถติดกันและไถลไป 15.5 m ก่อนหยุด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.8 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v₁ ของรถคันแรกก่อนชน

m₁ = 1100 kgm₂ = 1700 kgd = 15.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 7 kg ยาว 1.4 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ลูกบอลเล็กมวล 5 kg ติดอยู่ที่ปลายอิสระของมัน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของปลายอิสระขณะแท่งแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 7 kgL = 1.4 mm_ball = 5 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกระบอกตัน กลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 15° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตที่น้อยที่สุด μ_s ที่ป้องกันไม่ให้มันไถล

θ = 15°I = ½·m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

พูลเลย์ 80 mm ที่ 1440 rpm ขับพูลเลย์ 450 mm ด้วยสายพานที่ลื่น 4 % จงหาความเร็ว n₂ ของพูลเลย์ตาม

n₁ = 1440 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 450 mms = 4 %

n₂ = rpm

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในขบวนเฟืองผสม เฟือง A (15 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 2880 rpm และขับเฟือง B (20 ฟัน) เฟือง C (12 ฟัน) ยึดติดกับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D บนเพลาขาออก เพลาขาออกต้องหมุนที่ 648 rpm เฟือง D ต้องมีกี่ฟัน N_D

n_in = 2880 rpmA = 15B = 20C = 12n_out = 648 rpm

N_D =

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 2.1 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 2.1 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 3.4 kg บนสปริงที่ k = 460 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 6 cm แล้วปล่อย หาอัตราเร็วสูงสุด v_max

m = 3.4 kgk = 460 N/mA = 6 cm

v_max = m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 200 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 40 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.6 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 200 kgk = 40 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 40 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 25 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 100 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 40 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 2.273 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

เวลาเบรก

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12.5/5.5 = 2.273 s

คำตอบ

t = 2.273 s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 28.26 m

ระยะที่ขึ้นเหนือหลังคา

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 8²/(2·9.81) = 3.262 m

ความสูงเหนือพื้น

h_max = 25 + 3.262 = 28.26 m

คำตอบ

h_max = 28.26 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 5.179 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 40° − 0.15·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1149) = 5.179 m/s²

คำตอบ

a = 5.179 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 2.636 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 13.24)/8 = 2.636 m/s²

คำตอบ

a = 2.636 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v₀ = 19.81 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แก้สูตรพิสัยหา v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·20/sin 30°) = 19.81 m/s

คำตอบ

v₀ = 19.81 m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 59.98 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 28·sin 45° = 19.8 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 19.8²/(2·9.81) = 19.98 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 40 + 19.98 = 59.98 m

คำตอบ

H = 59.98 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: θ = 11.69 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

หน่วย

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

มุมเอียง

tan θ = v²/(r·g) = 27.78²/(380·9.81) = 0.207

θ = 11.69°

คำตอบ

θ = 11.69°

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T_top = 44.57 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

พลังงานจลน์แปลงเป็นพลังงานศักย์ตลอดความสูง 2r

v_top² = 10² − 4·9.81·1.2 = 52.91 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

แรงตึงและแรงโน้มถ่วงชี้ลงทั้งคู่ เข้าหาศูนย์กลาง

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.3·52.91/1.2 − 1.3·9.81 = 44.57 N

คำตอบ

T_top = 44.57 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 37.57 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 9.81·0.766 = 7.515 N

F = μN = 0.25·7.515 = 1.879 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 1.879·20 = 37.57 J

คำตอบ

W_f = 37.57 J

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 39.37 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.3·3.5) = 77.5 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 77.5 → x = √(2·77.5/1000) = 0.3937 m = 39.37 cm

คำตอบ

x = 39.37 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = −0.8 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3.5 − 4)/(3.5 + 4)·12 = −0.8 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4)·12 = 11.2 m/s

คำตอบ

v′₁ = −0.8 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเลื่อนตัวแรกกระดอนกลับ

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v₁ = 39.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·15.5) = 15.6 m/s

โมเมนตัมในการชน

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·15.6/1100 = 39.7 m/s

คำตอบ

v₁ = 39.7 m/s

(142.9 km/h)

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: v = 5.643 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 7·9.81·0.7 + 5·9.81·1.4 = 116.7 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 4.573 + 9.8 = 14.37 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 116.7 → ω = √(2·116.7/14.37) = 4.03 rad/s

v = ω·L = 4.03·1.4 = 5.643 m/s

คำตอบ

v = 5.643 m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: μ_s = 0.08932

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

สมการการเคลื่อนที่

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.5·m·r²·(a/r) → f = 0.5·m·a

ความเร่ง

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 15°/1.5 = 1.693 m/s²

แรงเสียดทานที่ต้องใช้

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0.5·tan 15°/1.5 = 0.08932

คำตอบ

μ_s = 0.08932

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n₂ = 245.8 rpm

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วเมื่อไม่มีการลื่น

1440·80/450 = 256 rpm

เมื่อมีการลื่น

n₂ = 256·0.96 = 245.8 rpm

คำตอบ

n₂ = 245.8 rpm

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N_D = 40

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

ความเร็วของเพลากลาง

n_B = n_C = 2880·15/20 = 2160 rpm

จำนวนฟันของเฟือง D

N_D = C·n_C/n_out = 12·2160/648 = 40

คำตอบ

N_D = 40

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 1.096 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.1/2π)² = 1.096 m

คำตอบ

L = 1.096 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v_max = 0.6979 m/s

ความถี่เชิงมุม

ω = √(460/3.4) = 11.63 rad/s

อัตราเร็วสูงสุด

v_max = A·ω = 0.06·11.63 = 0.6979 m/s

คำตอบ

v_max = 0.6979 m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 1.801 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(40000/200) = 14.14 rad/s

f_n = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.6²) = 1.801 Hz

คำตอบ

f_d = 1.801 Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 20 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/25 + 1/100 → k_eq = 25·100/(25 + 100) = 20 kN/m

คำตอบ

k_eq = 20 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics