พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 120 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 3 m/s² จนหยุด การเบรกใช้เวลานานเท่าใด หา t

v₀ = 120 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

ปล่อยหินจากหยุดนิ่งลงบ่อน้ำ ได้ยินเสียงน้ำกระเซ็น 3.1 s หลังปล่อยหิน อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความลึก d ของบ่อ

t_total = 3.1 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 20 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 20 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 1.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 3.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 36 m/s ที่มุม 30° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 80 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 36 m/sθ = 30°x = 80 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 30 m/s ที่มุม 50° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 60 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 30 m/sθ = 50°h = 60 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถมวล 1800 kg ขับข้ามยอดเนินบนถนนด้วย 8 m/s ยอดเนินเป็นส่วนโค้งวงกลมรัศมี 100 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก N ของถนนที่กระทำต่อรถที่จุดสูงสุด

m = 1800 kgv = 8 m/sr = 100 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 0.7 kg ผูกกับเชือกยาว 0.8 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 6.5 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 0.7 kgr = 0.8 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.25 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 11 m

θ = 35°μ = 0.25d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.งานและพลังงานยาก

สปริงที่มีค่าคงตัว 800 N/m ที่ฐานของเนินลาด 20° ถูกกด 20 cm กับก้อนวัตถุ 3 kg แล้วปล่อย สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับเนินคือ 0.1 ก้อนวัตถุเคลื่อนที่ขึ้นเนินจากจุดปล่อยไกลเท่าใด d ก่อนหยุด (ไม่ต้องคิดระยะสั้น ๆ ที่สปริงดัน คือให้คิดแรงเสียดทานและแรงโน้มถ่วงตลอดระยะ d)

m = 3 kgk = 800 N/mx = 20 cmθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 4.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 10 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 3 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 4.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.45 kg กระทบผนังด้วย 22 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 10 m/s การสัมผัสใช้เวลา 50 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.45 kgv_in = 22 m/sv_out = 10 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ล้อช่วยแรงที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย 27 kg·m² หมุนที่ 600 rpm เบรกให้แรงบิดเสียดทานคงที่ 115 N·m ใช้เวลานานเท่าใด t จึงหยุด

I = 27 kg·m²n = 600 rpmT_b = 115 N·m

t = s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

คนหนึ่งยืนบนแท่นหมุนไร้แรงเสียดทานและถือดัมเบลล์มวล 6 kg มือละอัน ห่างจากแกน 0.65 m ตัวคนกับแท่นหมุนเพียงอย่างเดียวมีโมเมนต์ความเฉื่อย 3 kg·m² รอบแกน พวกเขาหมุนที่ 20 rpm จากนั้นดึงดัมเบลล์เข้ามาที่ระยะ 0.15 m จากแกน ให้ถือดัมเบลล์เป็นมวลจุด จงหาอัตราเร็วใหม่ n₂ ใน rpm

I₀ = 3 kg·m²m = 2 × 6 kgr₁ = 0.65 mr₂ = 0.15 mn₁ = 20 rpm

n₂ = rpm

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 1.5 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 25 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 48 ฟัน ไม่คิดการสูญเสีย หาแรงบิดขาออก T₂ บนเพลาของเฟือง

P = 1.5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 25N₂ = 48η = 100%

T₂ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 150 mm กับพูลเลย์ 200 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 800 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา

d₁ = 150 mmd₂ = 200 mmC = 800 mm

θ = °

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 0.3 m ใช้ g = 9.81 m/s² หาคาบ T สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ

L = 0.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 1.3 kg บนสปริงที่ k = 110 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 5 cm แล้วปล่อย หาอัตราเร็วสูงสุด v_max

m = 1.3 kgk = 110 N/mA = 5 cm

v_max = m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 25 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 25 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 950 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 25 kgk = 25 kN/mc = 950 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 40 kg แขวนจากสปริง k₃ = 25 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 15 kN/m และ k₂ = 12 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 11.11 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

เวลาเบรก

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/3 = 11.11 s

คำตอบ

t = 11.11 s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 43.37 m

เวลาสองส่วน

½·9.81·t₁² = 343·(3.1 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1063 = 0

เวลาที่ตก

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1063))/(2·4.905) = 2.974 s

ความลึก

d = ½·9.81·2.974² = 43.37 m

คำตอบ

d = 43.37 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 3.618 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

คำตอบ

a = 3.618 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 5.984 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 4.414)/5 = 5.984 m/s²

คำตอบ

a = 5.984 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 13.89 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 36·cos 30° = 31.18 m/s

t = x/v_x = 80/31.18 = 2.566 s

ความสูงขณะนั้น

y = 18·2.566 − ½·9.81·2.566² = 13.89 m

คำตอบ

y = 13.89 m

ลูกบอลกำลังตกลงมาแล้วที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 86.92 m

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 30·sin 50° = 22.98 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 22.98²/(2·9.81) = 26.92 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 60 + 26.92 = 86.92 m

คำตอบ

H = 86.92 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: N = 16506 N

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงที่จุดสูงสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ลง) เป็นบวก

m·g − N = m·v²/r

N = 1800·9.81 − 1800·8²/100 = 17658 − 1152 = 16506 N

คำตอบ

N = 16506 N

รถรู้สึกเบาลง: ถนนดันขึ้นน้อยกว่าน้ำหนักของรถ

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 43.84 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 0.7·9.81 + 0.7·6.5²/0.8 = 6.867 + 36.97 = 43.84 N

คำตอบ

T = 43.84 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 8.921 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.5736 − 0.25·0.8192)) = 8.921 m/s

คำตอบ

v = 8.921 m/s

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 1.247 m

พลังงานสปริง

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·800·0.2² = 16 J

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 16/(29.43·(0.342 + 0.1·0.9397)) = 1.247 m

คำตอบ

d = 1.247 m

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 12 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (4.5 − 3)/(4.5 + 3)·10 = 2 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 3)·10 = 12 m/s

คำตอบ

v′₂ = 12 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 288 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.45·(10 + 22) = 14.4 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 14.4/0.05 = 288 N

คำตอบ

F_avg = 288 N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: t = 14.75 s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

ความหน่วงและเวลา

α = T_b/I = 115/27 = 4.259 rad/s²

t = ω/α = 62.83/4.259 = 14.75 s

คำตอบ

t = 14.75 s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: n₂ = 49.36 rpm

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อย

I₁ = 3 + 2·6·0.65² = 8.07 kg·m²

I₂ = 3 + 2·6·0.15² = 3.27 kg·m²

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 20·8.07/3.27 = 49.36 rpm

คำตอบ

n₂ = 49.36 rpm

พลังงานจลน์เพิ่มขึ้น: พลังงานส่วนเพิ่มมาจากงานที่คนทำในการดึงดัมเบลล์เข้ามา

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₂ = 28.65 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/100.5 = 14.92 N·m

แรงบิดขาออก

T₂ = 14.92·48/25·1 = 28.65 N·m

คำตอบ

T₂ = 28.65 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: θ = 176.4 °

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมของสายพาน

asin(0.03125) = 1.791°

มุมโอบ

θ = 180 − 2·1.791 = 176.4°

คำตอบ

θ = 176.4°

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: T = 1.099 s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

คาบของลูกตุ้ม

T = 2π·√(0.3/9.81) = 1.099 s

คำตอบ

T = 1.099 s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v_max = 0.4599 m/s

ความถี่เชิงมุม

ω = √(110/1.3) = 9.199 rad/s

อัตราเร็วสูงสุด

v_max = A·ω = 0.05·9.199 = 0.4599 m/s

คำตอบ

v_max = 0.4599 m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.6008

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·25) = 1581 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 950/1581 = 0.6008

คำตอบ

ζ = 0.6008

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 2.867 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 15 + 12 = 27 kN/m

k_eq = 27·25/(27 + 25) = 12.98 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(12981/40) = 18.01 rad/s

f_n = 18.01/(2π) = 2.867 Hz

คำตอบ

f_n = 2.867 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics