พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินต้องใช้อัตราเร็ว 240 km/h เพื่อบินขึ้น และทางวิ่งที่ใช้ได้ยาว 900 m เริ่มจากหยุดนิ่ง ต้องใช้ความเร่งคงที่ a เท่าใด

v₀ = 0v = 240 km/hs = 900 m

a = m/s²

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 18 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 30 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² หาความสูงสูงสุด h_max เหนือพื้น

v₀ = 18 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องหนัก 35 kg ถูกดันขึ้นทางลาดที่ทำมุม 25° กับแนวนอนด้วยอัตราเร็วคงที่ โดยแรงขนานกับทางลาด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.4 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงดัน F

m = 35 kgθ = 25°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุสองก้อนบนพื้นราบเชื่อมด้วยเชือกเบาในแนวนอน แรงในแนวนอน 105 N ดึงก้อนหน้าที่หนัก 7 kg ก้อนที่หนัก 10 kg ถูกลากตามหลัง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.3 สำหรับทั้งสองก้อน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T ในเชือกที่เชื่อม

m₁ = 10 kgm₂ = 7 kgF = 105 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 60° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 34 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 28 m/s ที่มุม 50° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 3 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 28 m/sθ = 50°h_roof = 3 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

วิศวกรถนนต้องการให้รถผ่านทางโค้งรัศมี 130 m ด้วย 50 km/h โดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมเอียง θ

r = 130 mv = 50 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 0.2 kg ผูกกับเชือกยาว 1 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 8 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 0.2 kgr = 1 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 4 kg เลื่อนลงไป 16 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.2 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 4 kgθ = 35°μ = 0.2d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 1 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 3.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 4.5 m (μ = 0.2) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 800 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 1 kgh = 3.5 mL = 4.5 mμ = 0.2k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 1100 kg เคลื่อนที่ด้วย 13 m/s ชนรถมวล 1600 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์สูญเสียไปเท่าใด ΔK ในการชน

m₁ = 1100 kgv₁ = 13 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ที่ทางแยก รถมวล 1400 kg ที่แล่นไปทางตะวันออกด้วย 14 m/s ชนกับรถมวล 2000 kg ที่แล่นไปทางเหนือด้วย 15 m/s รถทั้งสองคันติดกัน จงหาอัตราเร็ว v′ ของซากรถทันทีหลังการชน

m₁ = 1400 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 15 m/s (N)

v′ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ล้อช่วยแรงที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย 16 kg·m² หมุนที่ 600 rpm เบรกให้แรงบิดเสียดทานคงที่ 10 N·m ล้อช่วยแรงหมุนกี่รอบ N ก่อนหยุด

I = 16 kg·m²n = 600 rpmT_b = 10 N·m

N = rev

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 5 kg ยาว 1.1 m ห้อยนิ่งจากจุดหมุนไร้แรงเสียดทานที่ปลายบน กระสุน 50 g เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 560 m/s ชนแท่งที่ตำแหน่งต่ำกว่าจุดหมุน 0.74 m และฝังอยู่ในนั้น จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งทันทีหลังการชน

M = 5 kgL = 1.1 mm = 50 gv = 560 m/sd = 0.74 m

ω = rad/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 7.5 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 24 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 72 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 96% หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 7.5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 72η = 96%

T₁ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 80 mm กับพูลเลย์ 250 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 1000 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา

d₁ = 80 mmd₂ = 250 mmC = 1000 mm

θ = °

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 1.9 kg บนสปริง k = 340 N/m แกว่งบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทานด้วยแอมพลิจูด 16 cm จงหาอัตราเร็ว v ของมันเมื่ออยู่ห่างจากตำแหน่งสมดุล 6 cm

m = 1.9 kgk = 340 N/mA = 16 cmx = 6 cm

v = m/s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 0.8 kg บนสปริงที่ k = 280 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 14 cm แล้วปล่อย หาพลังงานรวม E ของการสั่น

m = 0.8 kgk = 280 N/mA = 14 cm

E = J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 10 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 20 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 130 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 10 kgk = 20 kN/mc = 130 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 50 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 80 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 12 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: a = 2.469 m/s²

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v = 240/3.6 = 66.67 m/s

ความเร่ง

a = v²/(2s) = 66.67²/(2·900) = 2.469 m/s²

คำตอบ

a = 2.469 m/s²

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 46.51 m

ระยะที่ขึ้นเหนือหลังคา

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9.81) = 16.51 m

ความสูงเหนือพื้น

h_max = 30 + 16.51 = 46.51 m

คำตอบ

h_max = 46.51 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: F = 269.6 N

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

อัตราเร็วคงที่: แรงสมดุลกัน

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

แรงดัน

F = 145.1 + 124.5 = 269.6 N

คำตอบ

F = 269.6 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 61.76 N

ระบบทั้งหมด

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (105 − 50.03)/17 = 3.233 m/s²

ก้อนหลังเพียงก้อนเดียว

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(3.233 + 2.943) = 61.76 N

คำตอบ

T = 61.76 N

เมื่อ μ เท่ากันทั้งสองก้อน แรงเสียดทานหักล้างกัน: T = F·m₁/(m₁ + m₂)

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 44.19 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 60° = 17 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 60° = 29.44 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 29.44²/(2·9.81) = 44.19 m

คำตอบ

H = 44.19 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 76.1 m

แยกความเร็วต้น

v_x = 18 m/s, v_y = 21.45 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

3 = 21.45·t − 4.905·t²

t = (21.45 + √(21.45² − 2·9.81·3))/9.81 = 4.228 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 18·4.228 = 76.1 m

คำตอบ

x = 76.1 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: θ = 8.601 °

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

หน่วย

v = 50/3.6 = 13.89 m/s

มุมเอียง

tan θ = v²/(r·g) = 13.89²/(130·9.81) = 0.1513

θ = 8.601°

คำตอบ

θ = 8.601°

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 14.76 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 0.2·9.81 + 0.2·8²/1 = 1.962 + 12.8 = 14.76 N

คำตอบ

T = 14.76 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 102.9 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 39.24·0.8192 = 32.14 N

F = μN = 0.2·32.14 = 6.429 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 6.429·16 = 102.9 J

คำตอบ

W_f = 102.9 J

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 25.25 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 9.81·(3.5 − 0.2·4.5) = 25.51 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 25.51 → x = √(2·25.51/800) = 0.2525 m = 25.25 cm

คำตอบ

x = 25.25 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK = 55081 J

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·13/2700 = 5.296 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·1100·13² = 92950 J

K_after = ½·2700·5.296² = 37869 J

พลังงานที่สูญเสีย

ΔK = 92950 − 37869 = 55081 J

คำตอบ

ΔK = 55081 J

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′ = 10.54 m/s

องค์ประกอบของโมเมนตัม

p_x = 1400·14 = 19600 kg·m/s

p_y = 2000·15 = 30000 kg·m/s

อัตราเร็วของซากรถ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 35835/3400 = 10.54 m/s

คำตอบ

v′ = 10.54 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: N = 502.7 rev

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

งานของเบรกเท่ากับพลังงานจลน์

½·I·ω² = ½·16·62.83² = 31583 J

θ = 31583/10 = 3158 rad

จำนวนรอบ

N = θ/2π = 502.7 rev

คำตอบ

N = 502.7 rev

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 10.14 rad/s

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อยหลังการชน

I = M·L²/3 + m·d² = 5·1.1²/3 + 0.05·0.74² = 2.044 kg·m²

โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดหมุน

แรงที่จุดหมุนผ่านจุดหมุน จึงไม่มีโมเมนต์ที่นั่นระหว่างการชน

m·v·d = I·ω → ω = 0.05·560·0.74/2.044 = 10.14 rad/s

คำตอบ

ω = 10.14 rad/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 74.6 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/100.5 = 74.6 N·m

คำตอบ

T₁ = 74.6 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: θ = 170.2 °

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมของสายพาน

asin(0.085) = 4.876°

มุมโอบ

θ = 180 − 2·4.876 = 170.2°

คำตอบ

θ = 170.2°

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v = 1.984 m/s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(340/1.9) = 13.38 rad/s

อัตราเร็วที่ x

v = ω·√(A² − x²) = 13.38·√(0.16² − 0.06²) = 1.984 m/s

คำตอบ

v = 1.984 m/s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: E = 2.744 J

ความถี่เชิงมุม

ω = √(280/0.8) = 18.71 rad/s

พลังงาน

E = ½·k·A² = ½·280·0.14² = 2.744 J

คำตอบ

E = 2.744 J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1453

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·10) = 894.4 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 130/894.4 = 0.1453

คำตอบ

ζ = 0.1453

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 2.299 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/80 + 1/12 → k_eq = 80·12/(80 + 12) = 10.43 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(10435/50) = 14.45 rad/s

f_n = 14.45/(2π) = 2.299 Hz

คำตอบ

f_n = 2.299 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics