พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 120 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 4.5 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 120 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

ลูกบอล A ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 25 m ขณะเดียวกันลูกบอล B ถูกขว้างขึ้นตรง ๆ จากพื้นด้านล่างโดยตรงด้วย 19 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลพบกันที่ความสูง y เหนือพื้นเท่าใด

H = 25 mv_0B = 19 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องไถลไปบนพื้นราบด้วยอัตราเร็วต้น 6 m/s และหยุดหลังไป 18 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ μ

v₀ = 6 m/sd = 18 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุสองก้อนบนพื้นราบเชื่อมด้วยเชือกเบาในแนวนอน แรงในแนวนอน 45 N ดึงก้อนหน้าที่หนัก 2 kg ก้อนที่หนัก 10 kg ถูกลากตามหลัง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.25 สำหรับทั้งสองก้อน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T ในเชือกที่เชื่อม

m₁ = 10 kgm₂ = 2 kgF = 45 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบด้วย 16 m/s และต้องตกห่างออกไป 20 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมยิง θ ที่น้อยกว่าในสองค่าที่เป็นไปได้

v₀ = 16 m/sR = 20 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 30 m/s ที่มุม 30° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 45 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 30 m/sθ = 30°h = 45 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 35 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 35 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

รถเข็นมวล 0.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 10.15 m บนรางไร้แรงเสียดทาน และวิ่งผ่านลูปแนวดิ่งรัศมี 3.5 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก N_bottom ของรางที่กระทำต่อรถเข็นที่จุดต่ำสุดของลูป

m = 0.5 kgh = 10.15 mR = 3.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ลูกบอล 5 kg แขวนบนเชือกเบายาว 0.8 m ดึงไปด้านข้างจนเชือกทำมุม 70° กับแนวดิ่งแล้วปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาแรงตึง T ในเชือกเมื่อลูกบอลผ่านจุดต่ำสุด

m = 5 kgL = 0.8 mθ = 70°g = 9.81 m/s²

T = N

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 1 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 3.5 m (μ = 0.1) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 4000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุเมื่อถึงสปริง

m = 1 kgh = 4 mL = 3.5 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 1.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 10 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 2.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 1.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

รถมวล 1000 kg ชนรถที่จอดอยู่มวล 900 kg ซากรถติดกันและไถลไป 16 m ก่อนหยุด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.8 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v₁ ของรถคันแรกก่อนชน

m₁ = 1000 kgm₂ = 900 kgd = 16 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ล้อช่วยแรงที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย 40 kg·m² หมุนที่ 2700 rpm เบรกให้แรงบิดเสียดทานคงที่ 45 N·m ล้อช่วยแรงหมุนกี่รอบ N ก่อนหยุด

I = 40 kg·m²n = 2700 rpmT_b = 45 N·m

N = rev

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 3 kg ยาว 0.6 m ห้อยนิ่งจากจุดหมุนไร้แรงเสียดทานที่ปลายบน กระสุน 10 g เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 600 m/s ชนแท่งที่ตำแหน่งต่ำกว่าจุดหมุน 0.59 m และฝังอยู่ในนั้น จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งทันทีหลังการชน

M = 3 kgL = 0.6 mm = 10 gv = 600 m/sd = 0.59 m

ω = rad/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 3 kW หมุนที่ 1440 rpm ขับเฟืองขนาดเล็กที่มี 24 ฟันและโมดูล 5 mm จงหาแรงสัมผัส F_t ที่ฟันของเฟืองขนาดเล็ก

P = 3 kWn = 1440 rpmN₁ = 24m = 5 mm

F_t = N

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในขบวนเฟืองผสม เฟือง A (18 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1500 rpm และขับเฟือง B (36 ฟัน) เฟือง C (20 ฟัน) ยึดติดกับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D บนเพลาขาออก เพลาขาออกต้องหมุนที่ 500 rpm เฟือง D ต้องมีกี่ฟัน N_D

n_in = 1500 rpmA = 18B = 36C = 20n_out = 500 rpm

N_D =

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 2 kg บนสปริง k = 350 N/m แกว่งบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทานด้วยแอมพลิจูด 19 cm จงหาอัตราเร็ว v ของมันเมื่ออยู่ห่างจากตำแหน่งสมดุล 13 cm

m = 2 kgk = 350 N/mA = 19 cmx = 13 cm

v = m/s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

กระสุน 12 g เคลื่อนที่ด้วย 250 m/s พุ่งชนและฝังอยู่ในก้อนวัตถุมวล 1 kg ที่วางบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทาน ก้อนวัตถุติดกับสปริงแนวนอนที่มี k = 1400 N/m จงหาแอมพลิจูด A ของการแกว่งที่เกิดขึ้นใน cm

m = 12 gv = 250 m/sM = 1 kgk = 1400 N/m

A = cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 250 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 40 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 1900 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 250 kgk = 40 kN/mc = 1900 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 80 kN/m และ k₂ = 20 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 123.5 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·4.5) = 123.5 m

คำตอบ

s = 123.5 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: y = 16.51 m

เวลาที่พบกัน

ทิศขึ้นเป็นบวก พื้นคือ y = 0

25 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 25/19 = 1.316 s

ความสูงที่พบกัน

y = 19·1.316 − ½·9.81·1.316² = 16.51 m

คำตอบ

y = 16.51 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: μ = 0.1019

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความหน่วง

a = v₀²/(2d) = 6²/(2·18) = 1 m/s²

สัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1/9.81 = 0.1019

คำตอบ

μ = 0.1019

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 37.5 N

ระบบทั้งหมด

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (45 − 29.43)/12 = 1.297 m/s²

ก้อนหลังเพียงก้อนเดียว

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(1.297 + 2.453) = 37.5 N

คำตอบ

T = 37.5 N

เมื่อ μ เท่ากันทั้งสองก้อน แรงเสียดทานหักล้างกัน: T = F·m₁/(m₁ + m₂)

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: θ = 25.02 °

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

สูตรพิสัย

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·20/16² = 0.7664

มุม

2θ = 50.03° → θ = 25.02°

คำตอบ

θ = 25.02°

คำตอบอีกค่าหนึ่งคือ 90° − θ = 64.98°

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 56.47 m

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 30·sin 30° = 15 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 15²/(2·9.81) = 11.47 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 45 + 11.47 = 56.47 m

คำตอบ

H = 56.47 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 10.15 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·35) = 10.15 m/s

คำตอบ

v_max = 10.15 m/s (36.54 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: N_bottom = 33.35 N

อัตราเร็วจากการอนุรักษ์พลังงาน

v² = 2·9.81·10.15 = 199.1 m²/s²

แรง

ทิศเข้าหาศูนย์กลางเป็นบวก

N = m·v²/R + m·g = 0.5·199.1/3.5 + 4.905 = 33.35 N

คำตอบ

N_bottom = 33.35 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: T = 113.6 N

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) บนทางโค้งวงกลม แรงลัพธ์ในทิศทางสู่ศูนย์กลางต้องเท่ากับ mv²/r

อัตราเร็วที่ด้านล่าง

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 70°) = 10.33 m²/s²

แรงที่ด้านล่าง

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·10.33/0.8 = 113.6 N

คำตอบ

T = 113.6 N

ตรวจสอบ: T = mg(3 − 2cos θ) = 113.6 N

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 8.462 m/s

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 9.81·(4 − 0.1·3.5) = 35.81 J

อัตราเร็วที่สปริง

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.65) = 8.462 m/s

คำตอบ

v = 8.462 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 7.5 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (1.5 − 2.5)/(1.5 + 2.5)·10 = −2.5 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 2.5)·10 = 7.5 m/s

คำตอบ

v′₂ = 7.5 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v₁ = 30.11 m/s

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·16) = 15.85 m/s

โมเมนตัมในการชน

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 1900·15.85/1000 = 30.11 m/s

คำตอบ

v₁ = 30.11 m/s

(108.4 km/h)

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: N = 5655 rev

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·2700/60 = 282.7 rad/s

งานของเบรกเท่ากับพลังงานจลน์

½·I·ω² = ½·40·282.7² = 1.599 × 10⁶ J

θ = 1.599 × 10⁶/45 = 35531 rad

จำนวนรอบ

N = θ/2π = 5655 rev

คำตอบ

N = 5655 rev

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 9.739 rad/s

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อยหลังการชน

I = M·L²/3 + m·d² = 3·0.6²/3 + 0.01·0.59² = 0.3635 kg·m²

โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดหมุน

แรงที่จุดหมุนผ่านจุดหมุน จึงไม่มีโมเมนต์ที่นั่นระหว่างการชน

m·v·d = I·ω → ω = 0.01·600·0.59/0.3635 = 9.739 rad/s

คำตอบ

ω = 9.739 rad/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: F_t = 331.6 N

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

แรงบิดที่เฟืองขนาดเล็ก

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 3000/150.8 = 19.89 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์

d = m·N = 5·24 = 120 mm

แรงสัมผัส

F_t = 2T/d = 2·19.89/0.12 = 331.6 N

คำตอบ

F_t = 331.6 N

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N_D = 30

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ความเร็วของเพลากลาง

n_B = n_C = 1500·18/36 = 750 rpm

จำนวนฟันของเฟือง D

N_D = C·n_C/n_out = 20·750/500 = 30

คำตอบ

N_D = 30

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v = 1.833 m/s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(350/2) = 13.23 rad/s

อัตราเร็วที่ x

v = ω·√(A² − x²) = 13.23·√(0.19² − 0.13²) = 1.833 m/s

คำตอบ

v = 1.833 m/s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: A = 7.97 cm

อัตราเร็วหลังการชน

V = m·v/(m + M) = 0.012·250/1.012 = 2.964 m/s

ความถี่เชิงมุม

ω = √(k/(m + M)) = √(1400/1.012) = 37.19 rad/s

แอมพลิจูด

A = V/ω = 2.964/37.19 = 0.0797 m = 7.97 cm

คำตอบ

A = 7.97 cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.3004

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·250) = 6325 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 1900/6325 = 0.3004

คำตอบ

ζ = 0.3004

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 15.92 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 80 + 20 = 100 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(100000/10) = 100 rad/s

f_n = 100/(2π) = 15.92 Hz

คำตอบ

f_n = 15.92 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics