พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 19 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 6 m/s² รถตำรวจตามทันที่ห่างจากจุดเริ่มต้นเท่าใด จงหา d

v_car = 19 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

รถรางเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งด้วย 1 m/s² เป็นเวลา 9 s จากนั้นวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ 26 s และสุดท้ายเบรกด้วย 4 m/s² จนหยุด จงหาระยะทางรวม s ระหว่างสองป้ายหยุด

a₁ = 1 m/s²t₁ = 9 st₂ = 26 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 8 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 40° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 8 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุหนัก 6.5 kg บนทางลาด 20° เชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานที่ยอดทางลาดกับมวล 10 kg ที่แขวนอยู่ มวลที่แขวนเคลื่อนที่ลง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับทางลาดคือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 6.5 kgm₂ = 10 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบที่มุม 45° เหนือแนวนอนและตกห่างออกไป 30 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต้น v₀

θ = 45°R = 30 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 35° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 25 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 30 m/sθ = 35°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 120 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.4 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 120 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ทางโค้งรัศมี 50 m เอียง 12° และสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านทางโค้งได้โดยไม่ไถลขึ้นและออกนอกทาง

r = 50 mθ = 12°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.3 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 4 m

θ = 35°μ = 0.3d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 2 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 17.5 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 5 m จงหาแรงตั้งฉาก N ที่รางกระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 2 kgh = 17.5 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 1000 kg เคลื่อนที่ด้วย 23 m/s ชนรถมวล 1700 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์เดิมสูญเสียไปกี่เปอร์เซ็นต์ ΔK/K

m₁ = 1000 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ที่ทางแยก รถมวล 1300 kg ที่แล่นไปทางตะวันออกด้วย 24 m/s ชนกับรถมวล 1200 kg ที่แล่นไปทางเหนือด้วย 15 m/s รถทั้งสองคันติดกัน จงหาอัตราเร็ว v′ ของซากรถทันทีหลังการชน

m₁ = 1300 kgv₁ = 24 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 15 m/s (N)

v′ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

เพลาส่งกำลัง 68 kW ที่ 2400 rpm จงหาแรงบิด T ในเพลา

P = 68 kWn = 2400 rpm

T = N·m

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 3 kg ยาว 1.6 m ห้อยนิ่งจากจุดหมุนไร้แรงเสียดทานที่ปลายบน กระสุน 10 g เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 260 m/s ชนแท่งที่ตำแหน่งต่ำกว่าจุดหมุน 1.04 m และฝังอยู่ในนั้น ใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมที่มากที่สุด φ จากแนวดิ่งที่แท่งแกว่งไป

M = 3 kgL = 1.6 mm = 10 gv = 260 m/sd = 1.04 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 2.2 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 15 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 40 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 97% หาแรงบิดขาออก T₂ บนเพลาของเฟือง

P = 2.2 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 15N₂ = 40η = 97%

T₂ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

มอเตอร์ 7.5 kW ที่ 2900 rpm ขับเฟือง A (18 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (30 ฟัน) เฟือง C (16 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (25 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 98% จงหาแรงบิดขาออก T_out

P = 7.5 kWn_in = 2900 rpmA = 18B = 30C = 16D = 25η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 0.4 kg บนสปริง k = 130 N/m ถูกดึงไป 11 cm ในทิศบวกและปล่อยจากหยุดนิ่งที่ t = 0 จงหาความเร็ว v ที่ t = 0.85 s (พร้อมเครื่องหมาย)

m = 0.4 kgk = 130 N/mA = 11 cmt = 0.85 s

v = m/s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 3 kg บนสปริงที่ k = 70 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 4 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด a_max

m = 3 kgk = 70 N/mA = 4 cm

a_max = m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 15 mm ตามด้วยยอด 4.3 mm หลังจากนั้น 4 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 15 mmx₄ = 4.3 mmn = 4

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 80 kN/m และ k₂ = 50 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 120.3 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·19/6 = 6.333 s

ระยะทาง

d = v·t = 19·6.333 = 120.3 m

คำตอบ

d = 120.3 m

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 38 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 284.6 m

อัตราเร็วสูงสุด

v = a₁·t₁ = 1·9 = 9 m/s

ระยะทางของแต่ละช่วง

s₁ = ½·1·9² = 40.5 m

s₂ = 9·26 = 234 m

s₃ = 9²/(2·4) = 10.13 m

ระยะทางรวม

s = 40.5 + 234 + 10.13 = 284.6 m

คำตอบ

s = 284.6 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 4.427 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

คำตอบ

a = 4.427 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 60.94 N

แรงตามแนวเชือก

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 21.81 N

μ·m₁·g·cos θ = 14.98 N

ความเร่งของระบบ

a = (98.1 − 21.81 − 14.98)/16.5 = 3.716 m/s²

แรงตึงจากมวลที่แขวน

m₂·g − T = m₂·a → T = 10·(9.81 − 3.716) = 60.94 N

คำตอบ

T = 60.94 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v₀ = 17.16 m/s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แก้สูตรพิสัยหา v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·30/sin 90°) = 17.16 m/s

คำตอบ

v₀ = 17.16 m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 113.4 m

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 35° = 24.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 35° = 17.21 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 25 + 17.21·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17.21 + √(296.1 + 490.5))/9.81 = 4.613 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 24.57·4.613 = 113.4 m

คำตอบ

x = 113.4 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 21.7 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·120) = 21.7 m/s

คำตอบ

v_max = 21.7 m/s (78.12 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 16.39 m/s

สมดุลแรง

แรงเสียดทานชี้ลงตามเนิน

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

อัตราเร็ว

v = √(50·9.81·0.5014/0.9158) = 16.39 m/s

คำตอบ

v_max = 16.39 m/s

(58.99 km/h)

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 5.072 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·4·(0.5736 − 0.3·0.8192)) = 5.072 m/s

คำตอบ

v = 5.072 m/s

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: N = 39.24 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(17.5 − 10) = 147.2 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·147.2/5 − 19.62 = 39.24 N

คำตอบ

N = 39.24 N

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK/K = 62.96 %

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·23/2700 = 8.519 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·1000·23² = 264500 J

K_after = ½·2700·8.519² = 97963 J

สัดส่วนที่สูญเสีย

ΔK/K = 166537/264500 = 62.96 %

คำตอบ

ΔK/K = 62.96 %

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′ = 14.41 m/s

องค์ประกอบของโมเมนตัม

p_x = 1300·24 = 31200 kg·m/s

p_y = 1200·15 = 18000 kg·m/s

อัตราเร็วของซากรถ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 36020/2500 = 14.41 m/s

คำตอบ

v′ = 14.41 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: T = 270.6 N·m

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·2400/60 = 251.3 rad/s

แรงบิด

T = P/ω = 68000/251.3 = 270.6 N·m

คำตอบ

T = 270.6 N·m

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: φ = 19.97 °

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อยหลังการชน

I = M·L²/3 + m·d² = 3·1.6²/3 + 0.01·1.04² = 2.571 kg·m²

โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดหมุน

แรงที่จุดหมุนผ่านจุดหมุน จึงไม่มีโมเมนต์ที่นั่นระหว่างการชน

m·v·d = I·ω → ω = 0.01·260·1.04/2.571 = 1.052 rad/s

พลังงานระหว่างการแกว่ง

½·I·ω² = ½·2.571·1.052² = 1.422 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 23.65·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 1.422/23.65 = 0.9399 → φ = 19.97°

คำตอบ

φ = 19.97°

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₂ = 56.61 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/100.5 = 21.88 N·m

แรงบิดขาออก

T₂ = 21.88·40/15·0.97 = 56.61 N·m

คำตอบ

T₂ = 56.61 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_out = 61.77 N·m

ความเร็วรอบขาออก

n_out = 2900·(18/30)·(16/25) = 1114 rpm

ω_out = 2π·1114/60 = 116.6 rad/s

กำลังและแรงบิดขาออก

P_out = 7500·0.98² = 7203 W

T_out = P_out/ω_out = 7203/116.6 = 61.77 N·m

คำตอบ

T_out = 61.77 N·m

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v = −0.7436 m/s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(130/0.4) = 18.03 rad/s

ω·t = 18.03·0.85 = 15.32 rad

ความเร็ว

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.11·18.03·sin(15.32) = −0.7436 m/s

คำตอบ

v = −0.7436 m/s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: a_max = 0.9333 m/s²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(70/3) = 4.83 rad/s

ความเร่งสูงสุด

a_max = A·ω² = 0.04·4.83² = 0.9333 m/s²

คำตอบ

a_max = 0.9333 m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.04965

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/4)·ln(15/4.3) = 0.3124

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3124/√(39.48 + 0.09757) = 0.04965

คำตอบ

ζ = 0.04965

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 18.15 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 80 + 50 = 130 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(130000/10) = 114 rad/s

f_n = 114/(2π) = 18.15 Hz

คำตอบ

f_n = 18.15 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics