พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 17 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 5.5 m/s² รถตำรวจใช้เวลานานเท่าใดจึงจะตามทัน จงหา t

v_car = 17 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 20 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 30 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 20 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 13 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 45° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 13 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุหนัก 3.5 kg บนทางลาด 30° เชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานที่ยอดทางลาดกับมวล 9.5 kg ที่แขวนอยู่ มวลที่แขวนเคลื่อนที่ลง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับทางลาดคือ 0.15 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 3.5 kgm₂ = 9.5 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบด้วย 40 m/s และต้องตกห่างออกไป 95 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมยิง θ ที่น้อยกว่าในสองค่าที่เป็นไปได้

v₀ = 40 m/sR = 95 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 29 m/s ที่มุม 55° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 45 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นที่มุมเท่าใด α ต่ำกว่าแนวนอน

v₀ = 29 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 130 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.5 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 130 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 1.9 kg บนเชือกเบายาว 0.7 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดอัตราเร็วของมันคือ 11 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T_top ในเชือกที่จุดสูงสุด

m = 1.9 kgr = 0.7 mv_bottom = 11 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 40° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.15 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 20 m

θ = 40°μ = 0.15d = 20 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 20 kg เริ่มจากหยุดนิ่งที่ฐานของเนินลาด 25° และถูกดึงขึ้นเนินด้วยแรงคงที่ 155 N ขนานกับเนิน สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.15 จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุหลังเคลื่อนที่ขึ้นเนินไป 4 m

m = 20 kgF = 155 Nθ = 25°μ = 0.15d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 4 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 2 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ที่ทางแยก รถมวล 1700 kg ที่แล่นไปทางตะวันออกด้วย 10 m/s ชนกับรถมวล 2000 kg ที่แล่นไปทางเหนือด้วย 14 m/s รถทั้งสองคันติดกัน จงหาทิศทาง θ ของซากรถทันทีหลังการชน วัดจากทิศตะวันออกไปทางเหนือ

m₁ = 1700 kgv₁ = 10 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 14 m/s (N)

θ = °

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 11 kg ยาว 2.1 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและจับให้อยู่ในแนวนอน ปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงในแนวดิ่ง R ที่หมุดกระทำต่อแท่งทันทีหลังปล่อย

m = 11 kgL = 2.1 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกระบอกตัน มวล 19.5 kg กลิ้งโดยไม่ไถลที่ 3.5 m/s จงหาพลังงานจลน์การหมุน E_rot ของมัน

m = 19.5 kgv = 3.5 m/sI = ½·m·r²

E_rot = J

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

พูลเลย์ 160 mm ที่ 720 rpm ขับพูลเลย์ 400 mm ด้วยสายพานที่ลื่น 2 % จงหาความเร็ว n₂ ของพูลเลย์ตาม

n₁ = 720 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 400 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 125 mm กับพูลเลย์ 300 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 500 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา

d₁ = 125 mmd₂ = 300 mmC = 500 mm

θ = °

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 1.8 kg บนสปริง k = 140 N/m ถูกดึงไป 13 cm ในทิศบวกและปล่อยจากหยุดนิ่งที่ t = 0 จงหาความเร็ว v ที่ t = 0.4 s (พร้อมเครื่องหมาย)

m = 1.8 kgk = 140 N/mA = 13 cmt = 0.4 s

v = m/s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 3.1 kg บนสปริงที่ k = 220 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 5 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด a_max

m = 3.1 kgk = 220 N/mA = 5 cm

a_max = m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 12 mm ตามด้วยยอด 3.4 mm หลังจากนั้น 5 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 12 mmx₅ = 3.4 mmn = 5

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริง k₃ = 50 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 12 kN/m และ k₂ = 20 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 25 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 6.182 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·17/5.5 = 6.182 s

คำตอบ

t = 6.182 s

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 34 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 5.244 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−30 = 20·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 20·t − 30 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (20 + √(20² + 2·9.81·30))/9.81 = 5.244 s

คำตอบ

t = 5.244 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 4.856 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

คำตอบ

a = 4.856 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 5.505 m/s²

แรงตามแนวเชือก

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 17.17 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.46 N

ความเร่งของระบบ

a = (93.2 − 17.17 − 4.46)/13 = 5.505 m/s²

คำตอบ

a = 5.505 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: θ = 17.81 °

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

สูตรพิสัย

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·95/40² = 0.5825

มุม

2θ = 35.62° → θ = 17.81°

คำตอบ

θ = 17.81°

คำตอบอีกค่าหนึ่งคือ 90° − θ = 72.19°

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: α = 66.38 °

แยกความเร็วต้น

v_x = 29·cos 55° = 16.63 m/s

v_y0 = 29·sin 55° = 23.76 m/s

อัตราเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบ

พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง

v_y = √(23.76² + 2·9.81·45) = 38.04 m/s

มุมที่กระทบ

tan α = v_y/v_x = 38.04/16.63 → α = 66.38°

คำตอบ

α = 66.38°

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 25.25 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·130) = 25.25 m/s

คำตอบ

v_max = 25.25 m/s (90.91 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T_top = 235.2 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

พลังงานจลน์แปลงเป็นพลังงานศักย์ตลอดความสูง 2r

v_top² = 11² − 4·9.81·0.7 = 93.53 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

แรงตึงและแรงโน้มถ่วงชี้ลงทั้งคู่ เข้าหาศูนย์กลาง

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.9·93.53/0.7 − 1.9·9.81 = 235.2 N

คำตอบ

T_top = 235.2 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 14.39 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·20·(0.6428 − 0.15·0.766)) = 14.39 m/s

คำตอบ

v = 14.39 m/s

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 4.262 m/s

แรงตามแนวพื้นเอียง

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 82.92 N

μ·mg·cos θ = 26.67 N

งาน–พลังงาน

½mv² = (155 − 109.6)·4 = 181.6 J

v = √(2·181.6/20) = 4.262 m/s

คำตอบ

v = 4.262 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = 1.091 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3.5 − 2)/(3.5 + 2)·4 = 1.091 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 2)·4 = 5.091 m/s

คำตอบ

v′₁ = 1.091 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: θ = 58.74 °

องค์ประกอบของโมเมนตัม

p_x = 1700·10 = 17000 kg·m/s

p_y = 2000·14 = 28000 kg·m/s

ทิศทาง

tan θ = p_y/p_x = 1.647 → θ = 58.74°

คำตอบ

θ = 58.74°

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: R = 26.98 N

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

โมเมนต์รอบหมุด

ขณะปล่อย ω = 0 จึงไม่มีความเร่งสู่ศูนย์กลาง และจุดศูนย์กลางเร่งลงตรง ๆ

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.1) = 7.007 rad/s²

แรงในแนวดิ่ง

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 11·(9.81 − 7.357) = 26.98 N

คำตอบ

R = 26.98 N

R = m·g/4 ไม่ขึ้นกับความยาว

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: E_rot = 59.72 J

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

ส่วนการเลื่อนตำแหน่งและส่วนการหมุน

E_trans = ½·m·v² = ½·19.5·3.5² = 119.4 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.5·m·r²·(v/r)² = 0.5·119.4 = 59.72 J

คำตอบ

E_rot = 59.72 J

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n₂ = 282.2 rpm

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วเมื่อไม่มีการลื่น

720·160/400 = 288 rpm

เมื่อมีการลื่น

n₂ = 288·0.98 = 282.2 rpm

คำตอบ

n₂ = 282.2 rpm

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: θ = 159.8 °

มุมของสายพาน

asin(0.175) = 10.08°

มุมโอบ

θ = 180 − 2·10.08 = 159.8°

คำตอบ

θ = 159.8°

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v = 0.4317 m/s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(140/1.8) = 8.819 rad/s

ω·t = 8.819·0.4 = 3.528 rad

ความเร็ว

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.13·8.819·sin(3.528) = 0.4317 m/s

คำตอบ

v = 0.4317 m/s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: a_max = 3.548 m/s²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(220/3.1) = 8.424 rad/s

ความเร่งสูงสุด

a_max = A·ω² = 0.05·8.424² = 3.548 m/s²

คำตอบ

a_max = 3.548 m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.04011

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/5)·ln(12/3.4) = 0.2522

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2522/√(39.48 + 0.06362) = 0.04011

คำตอบ

ζ = 0.04011

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 4.446 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 12 + 20 = 32 kN/m

k_eq = 32·50/(32 + 50) = 19.51 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(19512/25) = 27.94 rad/s

f_n = 27.94/(2π) = 4.446 Hz

คำตอบ

f_n = 4.446 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics