พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 90 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 5.5 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 90 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 6 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 5 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² หาความสูงสูงสุด h_max เหนือพื้น

v₀ = 6 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 11 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 45° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 11 kgθ = 45°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุสองก้อนบนพื้นราบเชื่อมด้วยเชือกเบาในแนวนอน แรงในแนวนอน 90 N ดึงก้อนหน้าที่หนัก 4 kg ก้อนที่หนัก 2 kg ถูกลากตามหลัง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.1 สำหรับทั้งสองก้อน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของก้อนวัตถุ

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgF = 90 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 70° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 38 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 32 m/s ที่มุม 50° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 13 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 32 m/sθ = 50°h_roof = 13 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ลูกบอลเล็กบนเชือกยาว 1.4 m เคลื่อนที่เป็นวงกลมแนวนอนโดยเชือกทำมุมคงที่ 60° กับแนวดิ่ง (ลูกตุ้มกรวย) ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของลูกบอล

L = 1.4 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ทางโค้งรัศมี 100 m เอียง 18° และสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.15 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านทางโค้งได้โดยไม่ไถลขึ้นและออกนอกทาง

r = 100 mθ = 18°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

เครื่องยิงของเล่นมีสปริงแนวดิ่งที่มีค่าคงตัว 2000 N/m วางลูกบอล 0.05 kg บนสปริงและกดสปริงลง 8 cm แล้วปล่อย ไม่คิดแรงต้านอากาศและมวลของสปริง จงหาความสูง h ที่ลูกบอลขึ้นไป วัดจากตำแหน่งของมันเมื่อสปริงถูกกด

m = 0.05 kgk = 2000 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 10 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4.2 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 1.5 m จงหาแรงตั้งฉาก N ที่รางกระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 10 kgh = 4.2 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3 kg เคลื่อนที่ด้วย 5 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 0.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 3 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ที่ทางแยก รถมวล 1600 kg ที่แล่นไปทางตะวันออกด้วย 13 m/s ชนกับรถมวล 1100 kg ที่แล่นไปทางเหนือด้วย 17 m/s รถทั้งสองคันติดกัน จงหาทิศทาง θ ของซากรถทันทีหลังการชน วัดจากทิศตะวันออกไปทางเหนือ

m₁ = 1600 kgv₁ = 13 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 17 m/s (N)

θ = °

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 11 kg ยาว 1.8 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและจับให้อยู่ในแนวนอน ปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงในแนวดิ่ง R ที่หมุดกระทำต่อแท่งทันทีหลังปล่อย

m = 11 kgL = 1.8 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมกลวง กลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 30° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตที่น้อยที่สุด μ_s ที่ป้องกันไม่ให้มันไถล

θ = 30°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

พูลเลย์ 100 mm ที่ 1450 rpm ขับพูลเลย์ 300 mm ด้วยสายพานที่ลื่น 2 % จงหาความเร็ว n₂ ของพูลเลย์ตาม

n₁ = 1450 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 300 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 80 mm กับพูลเลย์ 250 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 500 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา

d₁ = 80 mmd₂ = 250 mmC = 500 mm

θ = °

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 1.5 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 1.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 0.5 kg บนสปริงที่ k = 480 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 14 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด a_max

m = 0.5 kgk = 480 N/mA = 14 cm

a_max = m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 50 mm ตามด้วยยอด 11 mm หลังจากนั้น 4 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 50 mmx₄ = 11 mmn = 4

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 50 kN/m และ k₂ = 12 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 56.82 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·5.5) = 56.82 m

คำตอบ

s = 56.82 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 6.835 m

ระยะที่ขึ้นเหนือหลังคา

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9.81) = 1.835 m

ความสูงเหนือพื้น

h_max = 5 + 1.835 = 6.835 m

คำตอบ

h_max = 6.835 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 5.203 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 45° − 0.25·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1768) = 5.203 m/s²

คำตอบ

a = 5.203 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 14.02 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ระบบทั้งหมด

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (90 − 5.886)/6 = 14.02 m/s²

คำตอบ

a = 14.02 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 64.99 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 70° = 13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 70° = 35.71 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 35.71²/(2·9.81) = 64.99 m

คำตอบ

H = 64.99 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 90.39 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แยกความเร็วต้น

v_x = 20.57 m/s, v_y = 24.51 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

13 = 24.51·t − 4.905·t²

t = (24.51 + √(24.51² − 2·9.81·13))/9.81 = 4.395 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 20.57·4.395 = 90.39 m

คำตอบ

x = 90.39 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v = 4.539 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

รัศมีของวงกลม

r = L·sin θ = 1.4·sin 60° = 1.212 m

อัตราเร็ว

แรงตึงและแรงโน้มถ่วงรวมกันให้แรงเข้าด้านใน: tan θ = v²/(r·g)

v = √(r·g·tan θ) = √(1.212·9.81·tan 60°) = 4.539 m/s

คำตอบ

v = 4.539 m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 22.13 m/s

สมดุลแรง

แรงเสียดทานชี้ลงตามเนิน

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

อัตราเร็ว

v = √(100·9.81·0.4517/0.9047) = 22.13 m/s

คำตอบ

v_max = 22.13 m/s

(79.67 km/h)

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: h = 13.05 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

พลังงานสปริง

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·2000·0.08² = 6.4 J

ความสูง

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 6.4/0.4905 = 13.05 m

คำตอบ

h = 13.05 m

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: N = 58.86 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4.2 − 3) = 23.54 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·23.54/1.5 − 98.1 = 58.86 N

คำตอบ

N = 58.86 N

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 8.571 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3 − 0.5)/(3 + 0.5)·5 = 3.571 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 0.5)·5 = 8.571 m/s

คำตอบ

v′₂ = 8.571 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: θ = 41.96 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

องค์ประกอบของโมเมนตัม

p_x = 1600·13 = 20800 kg·m/s

p_y = 1100·17 = 18700 kg·m/s

ทิศทาง

tan θ = p_y/p_x = 0.899 → θ = 41.96°

คำตอบ

θ = 41.96°

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: R = 26.98 N

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

โมเมนต์รอบหมุด

ขณะปล่อย ω = 0 จึงไม่มีความเร่งสู่ศูนย์กลาง และจุดศูนย์กลางเร่งลงตรง ๆ

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.8) = 8.175 rad/s²

แรงในแนวดิ่ง

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 11·(9.81 − 7.357) = 26.98 N

คำตอบ

R = 26.98 N

R = m·g/4 ไม่ขึ้นกับความยาว

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: μ_s = 0.2309

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

สมการการเคลื่อนที่

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

ความเร่ง

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 30°/1.667 = 2.943 m/s²

แรงเสียดทานที่ต้องใช้

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0.6667·tan 30°/1.667 = 0.2309

คำตอบ

μ_s = 0.2309

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n₂ = 473.7 rpm

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วเมื่อไม่มีการลื่น

1450·100/300 = 483.3 rpm

เมื่อมีการลื่น

n₂ = 483.3·0.98 = 473.7 rpm

คำตอบ

n₂ = 473.7 rpm

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: θ = 160.4 °

มุมของสายพาน

asin(0.17) = 9.788°

มุมโอบ

θ = 180 − 2·9.788 = 160.4°

คำตอบ

θ = 160.4°

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 0.5591 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.5/2π)² = 0.5591 m

คำตอบ

L = 0.5591 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: a_max = 134.4 m/s²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(480/0.5) = 30.98 rad/s

ความเร่งสูงสุด

a_max = A·ω² = 0.14·30.98² = 134.4 m/s²

คำตอบ

a_max = 134.4 m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.06014

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/4)·ln(50/11) = 0.3785

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3785/√(39.48 + 0.1433) = 0.06014

คำตอบ

ζ = 0.06014

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 7.926 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 50 + 12 = 62 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(62000/25) = 49.8 rad/s

f_n = 49.8/(2π) = 7.926 Hz

คำตอบ

f_n = 7.926 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics