พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 100 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 4 m/s² จนหยุด การเบรกใช้เวลานานเท่าใด หา t

v₀ = 100 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 12 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 40 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 12 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

เลื่อนหนัก 30 kg ถูกดึงไปบนหิมะราบด้วยเชือกที่ทำมุม 40° เหนือแนวนอนด้วยแรง 140 N สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของเลื่อน

m = 30 kgF = 140 Nθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 4.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 2 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 65° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 22 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 25° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 30 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 26 m/sθ = 25°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถมวล 1500 kg ขับข้ามยอดเนินบนถนนด้วย 9 m/s ยอดเนินเป็นส่วนโค้งวงกลมรัศมี 65 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก N ของถนนที่กระทำต่อรถที่จุดสูงสุด

m = 1500 kgv = 9 m/sr = 65 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 0.9 kg ผูกกับเชือกยาว 1.2 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 7.5 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 0.9 kgr = 1.2 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 25° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.25 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 2 m

θ = 25°μ = 0.25d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 10 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 2 m (μ = 0.15) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 4000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 10 kgh = 4 mL = 2 mμ = 0.15k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 1100 kg เคลื่อนที่ด้วย 23 m/s ชนรถมวล 1200 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์สูญเสียไปเท่าใด ΔK ในการชน

m₁ = 1100 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.2 kg กระทบผนังด้วย 23 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 9 m/s การสัมผัสใช้เวลา 50 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.2 kgv_in = 23 m/sv_out = 9 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ก้อนมวล 4 kg ห้อยจากเชือกเบาที่พันรอบรอก ซึ่งเป็นจานตันสม่ำเสมอมวล 8.5 kg รัศมี 0.1 m ที่หมุนบนแกนนอนไร้แรงเสียดทาน ปล่อยก้อนมวลจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของก้อนมวล

m = 4 kgM = 8.5 kgR = 0.1 mg = 9.81 m/s²

a = m/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ห่วงบาง มวล 12 kg กลิ้งโดยไม่ไถลที่ 8.5 m/s จงหาพลังงานจลน์การหมุน E_rot ของมัน

m = 12 kgv = 8.5 m/sI = m·r²

E_rot = J

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 2.2 kW หมุนที่ 1500 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 25 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 50 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 96% หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 2.2 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 25N₂ = 50η = 96%

T₁ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (18 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1440 rpm ขับเฟือง B (45 ฟัน) เฟือง C (12 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (80 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1440 rpmA = 18B = 45C = 12D = 80

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 1.7 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 1.7 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 2.6 kg บนสปริงที่ k = 190 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 18 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด a_max

m = 2.6 kgk = 190 N/mA = 18 cm

a_max = m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 10 mm ตามด้วยยอด 5.7 mm หลังจากนั้น 3 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 10 mmx₃ = 5.7 mmn = 3

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 40 kg แขวนจากสปริง k₃ = 50 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 80 kN/m และ k₂ = 40 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 40 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 6.944 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

เวลาเบรก

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/4 = 6.944 s

คำตอบ

t = 6.944 s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 4.33 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−40 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 40 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (12 + √(12² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.33 s

คำตอบ

t = 4.33 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 2.213 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

แรงตั้งฉาก

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 140·sin 40° = 204.3 N

แรงในแนวนอน

m·a = F·cos θ − μ·N = 107.2 − 40.86

a = 66.38/30 = 2.213 m/s²

คำตอบ

a = 2.213 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 1.321 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 11.04)/6.5 = 1.321 m/s²

คำตอบ

a = 1.321 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 37.79 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 65° = 9.298 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 65° = 19.94 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·19.94/9.81 = 4.065 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 9.298·4.065 = 37.79 m

คำตอบ

x = 37.79 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 90.37 m

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 25° = 23.56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 25° = 10.99 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 30 + 10.99·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.99 + √(120.7 + 588.6))/9.81 = 3.835 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 23.56·3.835 = 90.37 m

คำตอบ

x = 90.37 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: N = 12846 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

แรงที่จุดสูงสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ลง) เป็นบวก

m·g − N = m·v²/r

N = 1500·9.81 − 1500·9²/65 = 14715 − 1869 = 12846 N

คำตอบ

N = 12846 N

รถรู้สึกเบาลง: ถนนดันขึ้นน้อยกว่าน้ำหนักของรถ

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 51.02 N

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 0.9·9.81 + 0.9·7.5²/1.2 = 8.829 + 42.19 = 51.02 N

คำตอบ

T = 51.02 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 2.774 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·2·(0.4226 − 0.25·0.9063)) = 2.774 m/s

คำตอบ

v = 2.774 m/s

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 42.6 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 98.1·(4 − 0.15·2) = 363 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 363 → x = √(2·363/4000) = 0.426 m = 42.6 cm

คำตอบ

x = 42.6 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK = 151800 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·23/2300 = 11 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·1100·23² = 290950 J

K_after = ½·2300·11² = 139150 J

พลังงานที่สูญเสีย

ΔK = 290950 − 139150 = 151800 J

คำตอบ

ΔK = 151800 J

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 128 N

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.2·(9 + 23) = 6.4 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 6.4/0.05 = 128 N

คำตอบ

F_avg = 128 N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: a = 4.756 m/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

ก้อนมวลและรอก

ก้อนวัตถุ: m·g − T = m·a

รอก: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

ความเร่ง

a = m·g/(m + M/2) = 4·9.81/(4 + 4.25) = 4.756 m/s²

คำตอบ

a = 4.756 m/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: E_rot = 433.5 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

ส่วนการเลื่อนตำแหน่งและส่วนการหมุน

E_trans = ½·m·v² = ½·12·8.5² = 433.5 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·433.5 = 433.5 J

คำตอบ

E_rot = 433.5 J

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 14.01 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/157.1 = 14.01 N·m

คำตอบ

T₁ = 14.01 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 86.4 rpm

ขั้นแรก

n_B = 1440·18/45 = 576 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 576·12/80 = 86.4 rpm

คำตอบ

n_out = 86.4 rpm

อัตราทดรวม = 16.67 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 0.7181 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.7/2π)² = 0.7181 m

คำตอบ

L = 0.7181 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: a_max = 13.15 m/s²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(190/2.6) = 8.549 rad/s

ความเร่งสูงสุด

a_max = A·ω² = 0.18·8.549² = 13.15 m/s²

คำตอบ

a_max = 13.15 m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.02981

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/3)·ln(10/5.7) = 0.1874

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1874/√(39.48 + 0.03511) = 0.02981

คำตอบ

ζ = 0.02981

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 4.728 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 80 + 40 = 120 kN/m

k_eq = 120·50/(120 + 50) = 35.29 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(35294/40) = 29.7 rad/s

f_n = 29.7/(2π) = 4.728 Hz

คำตอบ

f_n = 4.728 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics