พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 1.75 m/s² ตามทางวิ่ง จงหาอัตราเร็ว v หลังวิ่งไป 900 m

v₀ = 0a = 1.75 m/s²s = 900 m

v = m/s

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 15 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 5 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 15 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องหนัก 5 kg ถูกดันขึ้นทางลาดที่ทำมุม 20° กับแนวนอนด้วยอัตราเร็วคงที่ โดยแรงขนานกับทางลาด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.4 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงดัน F

m = 5 kgθ = 20°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 7.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 1 kg โต๊ะไร้แรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 7.5 kgm₂ = 1 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 35° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 30 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

t = s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 25 m/s ที่มุม 65° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 55 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 25 m/sθ = 65°h = 55 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถขับข้ามยอดเนินบนถนนซึ่งเป็นส่วนโค้งวงกลมรัศมี 100 m ใช้ g = 9.81 m/s² ที่อัตราเร็วเกินเท่าใด v_max ล้อจะลอยพ้นถนนที่จุดสูงสุด

r = 100 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 0.4 kg ผูกกับเชือกยาว 1.4 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 8.5 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 0.4 kgr = 1.4 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 1 kg เลื่อนลงไป 4 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 45° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.4 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 1 kgθ = 45°μ = 0.4d = 4 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 10 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 3 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 1.5 m (μ = 0.15) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 1500 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 10 kgh = 3 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 1400 kg เคลื่อนที่ด้วย 5 m/s ชนรถมวล 1000 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์สูญเสียไปเท่าใด ΔK ในการชน

m₁ = 1400 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 10 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 1 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 1.8 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 25° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 10 gM = 1 kgL = 1.8 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ล้อช่วยแรงที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย 36.5 kg·m² หมุนที่ 2100 rpm เบรกให้แรงบิดเสียดทานคงที่ 200 N·m ล้อช่วยแรงหมุนกี่รอบ N ก่อนหยุด

I = 36.5 kg·m²n = 2100 rpmT_b = 200 N·m

N = rev

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกระบอกตัน กลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 40° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² มันเริ่มจากหยุดนิ่ง ใช้เวลานานเท่าใด t จึงกลิ้งลงทางลาด 9 m

θ = 40°I = ½·m·r²g = 9.81 m/s²s = 9 m

t = s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

เพลาขนานสองเพลาห่างกัน 157.5 mm ต้องต่อกันด้วยเฟืองตรงคู่หนึ่งที่มีโมดูล 3 mm และอัตราทดความเร็ว 2.5 : 1 เฟืองขนาดเล็กต้องมีกี่ฟัน N₁

a = 157.5 mmm = 3 mmi = 2.5

N₁ =

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

มอเตอร์ 2.2 kW ที่ 1440 rpm ขับเฟือง A (32 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (48 ฟัน) เฟือง C (12 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (80 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 98% จงหาแรงบิดขาออก T_out

P = 2.2 kWn_in = 1440 rpmA = 32B = 48C = 12D = 80η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 1 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 1 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 0.7 kg บนสปริงที่ k = 60 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 7 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด a_max

m = 0.7 kgk = 60 N/mA = 7 cm

a_max = m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 25 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 15 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 120 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 25 kgk = 15 kN/mc = 120 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 50 kN/m และ k₂ = 50 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: v = 56.12 m/s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

อัตราเร็วหลังเคลื่อนที่ไปตามระยะทาง

v = √(2·a·s) = √(2·1.75·900) = 56.12 m/s

คำตอบ

v = 56.12 m/s

(202 km/h)

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 3.361 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−5 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 5 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (15 + √(15² + 2·9.81·5))/9.81 = 3.361 s

คำตอบ

t = 3.361 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: F = 35.21 N

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

อัตราเร็วคงที่: แรงสมดุลกัน

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

แรงดัน

F = 16.78 + 18.44 = 35.21 N

คำตอบ

F = 35.21 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 8.656 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 0)/8.5 = 1.154 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7.5·1.154 + 0 = 8.656 N

คำตอบ

T = 8.656 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 3.508 s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 35° = 24.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 35° = 17.21 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·17.21/9.81 = 3.508 s

คำตอบ

t = 3.508 s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 81.17 m

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 25·sin 65° = 22.66 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 22.66²/(2·9.81) = 26.17 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 55 + 26.17 = 81.17 m

คำตอบ

H = 81.17 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 31.32 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงตั้งฉากเป็นศูนย์

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·100) = 31.32 m/s

คำตอบ

v_max = 31.32 m/s

(112.8 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 24.57 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 0.4·9.81 + 0.4·8.5²/1.4 = 3.924 + 20.64 = 24.57 N

คำตอบ

T = 24.57 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 11.1 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 9.81·0.7071 = 6.937 N

F = μN = 0.4·6.937 = 2.775 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 2.775·4 = 11.1 J

คำตอบ

W_f = 11.1 J

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 60.25 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 98.1·(3 − 0.15·1.5) = 272.2 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 272.2 → x = √(2·272.2/1500) = 0.6025 m = 60.25 cm

คำตอบ

x = 60.25 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK = 7292 J

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·5/2400 = 2.917 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·1400·5² = 17500 J

K_after = ½·2400·2.917² = 10208 J

พลังงานที่สูญเสีย

ΔK = 17500 − 10208 = 7292 J

คำตอบ

ΔK = 7292 J

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 183.7 m/s

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 1.8·(1 − cos 25°) = 0.1686 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.1686) = 1.819 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 1.01·1.819/0.01 = 183.7 m/s

คำตอบ

v = 183.7 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: N = 702.3 rev

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·2100/60 = 219.9 rad/s

งานของเบรกเท่ากับพลังงานจลน์

½·I·ω² = ½·36.5·219.9² = 882589 J

θ = 882589/200 = 4413 rad

จำนวนรอบ

N = θ/2π = 702.3 rev

คำตอบ

N = 702.3 rev

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: t = 2.069 s

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

สมการการเคลื่อนที่

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.5·m·r²·(a/r) → f = 0.5·m·a

ความเร่ง

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 40°/1.5 = 4.204 m/s²

เวลา

s = ½·a·t² → t = √(2·9/4.204) = 2.069 s

คำตอบ

t = 2.069 s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N₁ = 30

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

จำนวนฟันทั้งหมด

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·157.5/3 = 105

แบ่งตามอัตราส่วน

N₁ = 105/(1 + 2.5) = 30

คำตอบ

N₁ = 30

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_out = 140.1 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ความเร็วรอบขาออก

n_out = 1440·(32/48)·(12/80) = 144 rpm

ω_out = 2π·144/60 = 15.08 rad/s

กำลังและแรงบิดขาออก

P_out = 2200·0.98² = 2113 W

T_out = P_out/ω_out = 2113/15.08 = 140.1 N·m

คำตอบ

T_out = 140.1 N·m

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 0.2485 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1/2π)² = 0.2485 m

คำตอบ

L = 0.2485 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: a_max = 6 m/s²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(60/0.7) = 9.258 rad/s

ความเร่งสูงสุด

a_max = A·ω² = 0.07·9.258² = 6 m/s²

คำตอบ

a_max = 6 m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.09798

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·25) = 1225 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 120/1225 = 0.09798

คำตอบ

ζ = 0.09798

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 100 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 50 + 50 = 100 kN/m

คำตอบ

k_eq = 100 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics