พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 50 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 8 m/s² จนหยุด การเบรกใช้เวลานานเท่าใด หา t

v₀ = 50 km/ha = −8 m/s²v = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 12 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 40 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 12 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

มวล 5.5 kg และ 2 kg แขวนสองข้างของรอกเบาไร้แรงเสียดทาน เชื่อมด้วยเชือกเบา ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 5.5 kgm₂ = 2 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 4 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 4 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 4 kgm₂ = 4 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 34 m/s ที่มุม 40° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 81 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 34 m/sθ = 40°x = 81 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 29 m/s ที่มุม 45° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 6 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 29 m/sθ = 45°h_roof = 6 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถมวล 800 kg ขับข้ามยอดเนินบนถนนด้วย 5 m/s ยอดเนินเป็นส่วนโค้งวงกลมรัศมี 90 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก N ของถนนที่กระทำต่อรถที่จุดสูงสุด

m = 800 kgv = 5 m/sr = 90 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 1 kg ผูกกับเชือกยาว 0.8 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 7.5 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 1 kgr = 0.8 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

รถ 1800 kg ขึ้นเนินลาด 6° ด้วย 72 km/h คงที่ แรงต้านอากาศและแรงต้านการหมุนของล้อรวมกันเป็น 350 N จงหากำลัง P ที่ล้อต้องส่ง ในหน่วย kW

m = 1800 kgθ = 6°F_r = 350 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 2.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 1 m (μ = 0.2) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 5000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุเมื่อถึงสปริง

m = 5 kgh = 2.5 mL = 1 mμ = 0.2k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 8 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 0.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 3.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ที่ทางแยก รถมวล 1700 kg ที่แล่นไปทางตะวันออกด้วย 19 m/s ชนกับรถมวล 1900 kg ที่แล่นไปทางเหนือด้วย 25 m/s รถทั้งสองคันติดกัน จงหาอัตราเร็ว v′ ของซากรถทันทีหลังการชน

m₁ = 1700 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 25 m/s (N)

v′ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 8 kg ยาว 0.5 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งขณะแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 8 kgL = 0.5 mg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมตัน กลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 25° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของจุดศูนย์กลางของมัน

θ = 25°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 7.5 kW หมุนที่ 2900 rpm ขับเฟืองขนาดเล็กที่มี 18 ฟันและโมดูล 5 mm จงหาแรงสัมผัส F_t ที่ฟันของเฟืองขนาดเล็ก

P = 7.5 kWn = 2900 rpmN₁ = 18m = 5 mm

F_t = N

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (18 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1450 rpm ขับเฟือง B (30 ฟัน) เฟือง C (15 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (18 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1450 rpmA = 18B = 30C = 15D = 18

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

นักบินอวกาศบนดาวดวงอื่นพบว่าลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 0.6 m มีคาบ 3.82 s สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ จงหาความเร่งโน้มถ่วง g บนดาวดวงนั้น

L = 0.6 mT = 3.82 s

g = m/s²

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

วัตถุแกว่งแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายด้วยคาบ 2.1 s และแอมพลิจูด 8 cm ต้องใช้เวลาสั้นที่สุด t เท่าใดในการเคลื่อนที่จากการกระจัดสูงสุด 8 cm ไปยังการกระจัด 2.4 cm

T = 2.1 sA = 8 cmx = 2.4 cm

t = s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 15 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 50 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 260 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 15 kgk = 50 kN/mc = 260 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 25 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 30 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 1.736 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

เวลาเบรก

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/8 = 1.736 s

คำตอบ

t = 1.736 s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 4.33 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−40 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 40 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (12 + √(12² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.33 s

คำตอบ

t = 4.33 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 28.78 N

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความเร่ง

แรงขับสุทธิคือผลต่างของน้ำหนัก ซึ่งทำให้มวลรวมเคลื่อนที่

a = (5.5 − 2)·9.81/(5.5 + 2) = 4.578 m/s²

แรงตึงจากมวลที่เบากว่า

T − m₂·g = m₂·a → T = 2·(9.81 + 4.578) = 28.78 N

คำตอบ

T = 28.78 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 3.679 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 9.81)/8 = 3.679 m/s²

คำตอบ

a = 3.679 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 20.53 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 34·cos 40° = 26.05 m/s

t = x/v_x = 81/26.05 = 3.11 s

ความสูงขณะนั้น

y = 21.85·3.11 − ½·9.81·3.11² = 20.53 m

คำตอบ

y = 20.53 m

ลูกบอลกำลังตกลงมาแล้วที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 79.24 m

แยกความเร็วต้น

v_x = 20.51 m/s, v_y = 20.51 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

6 = 20.51·t − 4.905·t²

t = (20.51 + √(20.51² − 2·9.81·6))/9.81 = 3.864 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 20.51·3.864 = 79.24 m

คำตอบ

x = 79.24 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: N = 7626 N

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงที่จุดสูงสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ลง) เป็นบวก

m·g − N = m·v²/r

N = 800·9.81 − 800·5²/90 = 7848 − 222.2 = 7626 N

คำตอบ

N = 7626 N

รถรู้สึกเบาลง: ถนนดันขึ้นน้อยกว่าน้ำหนักของรถ

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 80.12 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9.81 + 1·7.5²/0.8 = 9.81 + 70.31 = 80.12 N

คำตอบ

T = 80.12 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: P = 43.92 kW

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) กำลังคือแรงคูณอัตราเร็ว: P = F·v

แรงขับ

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 6° = 1846 N

F = 1846 + 350 = 2196 N

กำลัง

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 2196·20 = 43915 W = 43.92 kW

คำตอบ

P = 43.92 kW

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 6.718 m/s

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 49.05·(2.5 − 0.2·1) = 112.8 J

อัตราเร็วที่สปริง

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.3) = 6.718 m/s

คำตอบ

v = 6.718 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 14 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3.5 − 0.5)/(3.5 + 0.5)·8 = 6 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 0.5)·8 = 14 m/s

คำตอบ

v′₂ = 14 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′ = 15.96 m/s

องค์ประกอบของโมเมนตัม

p_x = 1700·19 = 32300 kg·m/s

p_y = 1900·25 = 47500 kg·m/s

อัตราเร็วของซากรถ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 57442/3600 = 15.96 m/s

คำตอบ

v′ = 15.96 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 7.672 rad/s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 = 8·9.81·0.25 = 19.62 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 = 8·0.5²/3 = 0.6667 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 19.62 → ω = √(2·19.62/0.6667) = 7.672 rad/s

คำตอบ

ω = 7.672 rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: a = 2.961 m/s²

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

สมการการเคลื่อนที่

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

ความเร่ง

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 25°/1.4 = 2.961 m/s²

คำตอบ

a = 2.961 m/s²

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: F_t = 548.8 N

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

แรงบิดที่เฟืองขนาดเล็ก

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T = P/ω = 7500/303.7 = 24.7 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์

d = m·N = 5·18 = 90 mm

แรงสัมผัส

F_t = 2T/d = 2·24.7/0.09 = 548.8 N

คำตอบ

F_t = 548.8 N

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 725 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

n_B = 1450·18/30 = 870 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 870·15/18 = 725 rpm

คำตอบ

n_out = 725 rpm

อัตราทดรวม = 2 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: g = 1.623 m/s²

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หา g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.6/3.82² = 1.623 m/s²

คำตอบ

g = 1.623 m/s²

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: t = 0.4232 s

ความถี่เชิงมุม

ω = 2π/T = 2π/2.1 = 2.992 rad/s

แก้สมการหาเวลา

0.3 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.3) = 1.266 rad

t = 1.266/2.992 = 0.4232 s

คำตอบ

t = 0.4232 s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1501

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·15) = 1732 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 260/1732 = 0.1501

คำตอบ

ζ = 0.1501

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 13.64 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/25 + 1/30 → k_eq = 25·30/(25 + 30) = 13.64 kN/m

คำตอบ

k_eq = 13.64 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics