พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 45 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 4 m/s² จนหยุด การเบรกใช้เวลานานเท่าใด หา t

v₀ = 45 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 10 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 35 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² หาความสูงสูงสุด h_max เหนือพื้น

v₀ = 10 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

เลื่อนหนัก 5 kg ถูกดึงไปบนหิมะราบด้วยเชือกที่ทำมุม 25° เหนือแนวนอนด้วยแรง 50 N สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของเลื่อน

m = 5 kgF = 50 Nθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 7.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 6 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 7.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบที่มุม 55° เหนือแนวนอนและตกห่างออกไป 30 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต้น v₀

θ = 55°R = 30 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 17 m/s ที่มุม 40° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 30 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 17 m/sθ = 40°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 145 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.5 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 145 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 2 kg ผูกกับเชือกยาว 0.9 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 6.5 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 2 kgr = 0.9 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 40° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.3 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 15 m

θ = 40°μ = 0.3d = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 0.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 7.5 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 2.5 m จงหาแรงตั้งฉาก N ที่รางกระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 0.5 kgh = 7.5 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 5 kg เคลื่อนที่ด้วย 4 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 1.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.25 kg กระทบผนังด้วย 17 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 20 m/s การสัมผัสใช้เวลา 5 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.25 kgv_in = 17 m/sv_out = 20 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ล้อช่วยแรงที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย 8.5 kg·m² หมุนที่ 3000 rpm เบรกให้แรงบิดเสียดทานคงที่ 195 N·m ล้อช่วยแรงหมุนกี่รอบ N ก่อนหยุด

I = 8.5 kg·m²n = 3000 rpmT_b = 195 N·m

N = rev

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกระบอกตัน มวล 9.5 kg กลิ้งโดยไม่ไถลที่ 3 m/s พลังงานจลน์รวมของมันกี่เปอร์เซ็นต์ p เป็นพลังงานการหมุน

m = 9.5 kgv = 3 m/sI = ½·m·r²

p = %

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 22 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองขนาดเล็กที่มี 24 ฟันและโมดูล 2.5 mm จงหาแรงสัมผัส F_t ที่ฟันของเฟืองขนาดเล็ก

P = 22 kWn = 960 rpmN₁ = 24m = 2.5 mm

F_t = N

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 20 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 18 ฟัน เฟืองวงแหวนถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 900 rpm จงหาความเร็ว n_c ของโครงพาเฟืองดาวเคราะห์

N_s = 20N_p = 18n_s = 900 rpm

n_c = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 2 m ใช้ g = 9.81 m/s² หาคาบ T สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ

L = 2 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวลบนสปริง k = 310 N/m แกว่งบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทานด้วยแอมพลิจูด 7 cm จงหาพลังงาน U ที่สะสมในสปริงเมื่อมวลอยู่ห่างจากตำแหน่งสมดุล 5 cm

k = 310 N/mA = 7 cmx = 5 cm

U = J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 20 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 2 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 20 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 20 kgk = 2 kN/mc = 20 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 25 kN/m และ k₂ = 30 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 3.125 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

เวลาเบรก

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12.5/4 = 3.125 s

คำตอบ

t = 3.125 s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 40.1 m

ระยะที่ขึ้นเหนือหลังคา

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

ความสูงเหนือพื้น

h_max = 35 + 5.097 = 40.1 m

คำตอบ

h_max = 40.1 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 7.946 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตั้งฉาก

N = m·g − F·sin θ = 49.05 − 50·sin 25° = 27.92 N

แรงในแนวนอน

m·a = F·cos θ − μ·N = 45.32 − 5.584

a = 39.73/5 = 7.946 m/s²

คำตอบ

a = 7.946 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 39.24 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 14.71)/13.5 = 3.27 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7.5·3.27 + 14.71 = 39.24 N

คำตอบ

T = 39.24 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v₀ = 17.7 m/s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แก้สูตรพิสัยหา v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·30/sin 110°) = 17.7 m/s

คำตอบ

v₀ = 17.7 m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 36.09 m

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 17·sin 40° = 10.93 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 10.93²/(2·9.81) = 6.086 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 30 + 6.086 = 36.09 m

คำตอบ

H = 36.09 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 26.67 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·145) = 26.67 m/s

คำตอบ

v_max = 26.67 m/s (96.01 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 113.5 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·6.5²/0.9 = 19.62 + 93.89 = 113.5 N

คำตอบ

T = 113.5 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 11.02 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·15·(0.6428 − 0.3·0.766)) = 11.02 m/s

คำตอบ

v = 11.02 m/s

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: N = 4.905 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(7.5 − 5) = 49.05 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

N = mv²/R − mg = 0.5·49.05/2.5 − 4.905 = 4.905 N

คำตอบ

N = 4.905 N

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 6.154 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (5 − 1.5)/(5 + 1.5)·4 = 2.154 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1.5)·4 = 6.154 m/s

คำตอบ

v′₂ = 6.154 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 1850 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.25·(20 + 17) = 9.25 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 9.25/0.005 = 1850 N

คำตอบ

F_avg = 1850 N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: N = 342.4 rev

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

งานของเบรกเท่ากับพลังงานจลน์

½·I·ω² = ½·8.5·314.2² = 419458 J

θ = 419458/195 = 2151 rad

จำนวนรอบ

N = θ/2π = 342.4 rev

คำตอบ

N = 342.4 rev

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: p = 33.33 %

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

ส่วนการเลื่อนตำแหน่งและส่วนการหมุน

E_trans = ½·m·v² = ½·9.5·3² = 42.75 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.5·m·r²·(v/r)² = 0.5·42.75 = 21.38 J

สัดส่วนการหมุน

p = 21.38/64.13·100% = c/(1 + c)·100% = 33.33%

คำตอบ

p = 33.33 %

สัดส่วนขึ้นกับรูปร่างเท่านั้น ไม่ขึ้นกับมวลหรืออัตราเร็ว

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: F_t = 7295 N

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

แรงบิดที่เฟืองขนาดเล็ก

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T = P/ω = 22000/100.5 = 218.8 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์

d = m·N = 2.5·24 = 60 mm

แรงสัมผัส

F_t = 2T/d = 2·218.8/0.06 = 7295 N

คำตอบ

F_t = 7295 N

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_c = 236.8 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·18 = 56

สมการวิลลิสเมื่อยึดเฟืองวงแหวน

ตั้ง n_r = 0 แล้วแก้หาความเร็วของโครงพา

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −56/20

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·20/76 = 236.8 rpm

คำตอบ

n_c = 236.8 rpm

โครงพาหมุนในทิศทางเดียวกับเฟืองดวงอาทิตย์

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: T = 2.837 s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

คาบของลูกตุ้ม

T = 2π·√(2/9.81) = 2.837 s

คำตอบ

T = 2.837 s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: U = 0.3875 J

พลังงานรวม

E = ½·k·A² = ½·310·0.07² = 0.7595 J

พลังงานสปริงที่ x

U = ½·k·x² = ½·310·0.05² = 0.3875 J

คำตอบ

U = 0.3875 J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.05

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(2000·20) = 400 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 20/400 = 0.05

คำตอบ

ζ = 0.05

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 7.465 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 25 + 30 = 55 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(55000/25) = 46.9 rad/s

f_n = 46.9/(2π) = 7.465 Hz

คำตอบ

f_n = 7.465 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics