พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

คนขับที่ขับด้วย 108 km/h เห็นสิ่งกีดขวาง เวลาตอบสนองของเธอคือ 1.5 s หลังจากนั้นรถเบรกด้วยความหน่วงคงที่ 5.5 m/s² จงหาระยะหยุดทั้งหมด d นับจากขณะที่เธอเห็นสิ่งกีดขวาง

v₀ = 108 km/ht_r = 1.5 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

รถรางเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งด้วย 2 m/s² เป็นเวลา 10 s จากนั้นวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ 8 s และสุดท้ายเบรกด้วย 3.5 m/s² จนหยุด จงหาระยะทางรวม s ระหว่างสองป้ายหยุด

a₁ = 2 m/s²t₁ = 10 st₂ = 8 sa₃ = −3.5 m/s²

s = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องหนัก 15 kg ถูกดันขึ้นทางลาดที่ทำมุม 35° กับแนวนอนด้วยอัตราเร็วคงที่ โดยแรงขนานกับทางลาด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงดัน F

m = 15 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 4 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 3.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 4 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 16 m/s ที่มุม 65° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 16 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 16 m/sθ = 65°x = 16 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 27 m/s ที่มุม 45° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 15 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 27 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 45 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 45 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

รถเข็นเล็กถูกปล่อยจากหยุดนิ่งบนรางไร้แรงเสียดทานและวิ่งเข้าสู่ลูปแนวดิ่งรัศมี 10 m ต้องเริ่มจากความสูงต่ำสุด h_min เหนือฐานของลูปเท่าใดจึงจะอยู่บนรางที่จุดสูงสุดของลูป

R = 10 mv₀ = 0

h_min = m

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 5 kg เลื่อนลงไป 5 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 40° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.1 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.1d = 5 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 2 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 1 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 2.5 m (μ = 0.1) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 1500 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 2 kgh = 1 mL = 2.5 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 8 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 3.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.4 kg กระทบผนังด้วย 21 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 9 m/s การสัมผัสใช้เวลา 10 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.4 kgv_in = 21 m/sv_out = 9 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ล้อช่วยแรงที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย 20 kg·m² หมุนที่ 300 rpm เบรกให้แรงบิดเสียดทานคงที่ 55 N·m ใช้เวลานานเท่าใด t จึงหยุด

I = 20 kg·m²n = 300 rpmT_b = 55 N·m

t = s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 4.5 kg ยาว 1.7 m ห้อยนิ่งจากจุดหมุนไร้แรงเสียดทานที่ปลายบน กระสุน 45 g เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 300 m/s ชนแท่งที่ตำแหน่งต่ำกว่าจุดหมุน 0.83 m และฝังอยู่ในนั้น ใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมที่มากที่สุด φ จากแนวดิ่งที่แท่งแกว่งไป

M = 4.5 kgL = 1.7 mm = 45 gv = 300 m/sd = 0.83 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 2.2 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 12 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 36 ฟัน ไม่คิดการสูญเสีย หาแรงบิดขาออก T₂ บนเพลาของเฟือง

P = 2.2 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 12N₂ = 36η = 100%

T₂ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 80 mm กับพูลเลย์ 250 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 1000 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา

d₁ = 80 mmd₂ = 250 mmC = 1000 mm

θ = °

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 1.1 m ใช้ g = 9.81 m/s² หาคาบ T สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ

L = 1.1 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

วัตถุแกว่งแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายด้วยคาบ 2.6 s และแอมพลิจูด 11 cm ต้องใช้เวลาสั้นที่สุด t เท่าใดในการเคลื่อนที่จากการกระจัดสูงสุด 11 cm ไปยังการกระจัด 7.7 cm

T = 2.6 sA = 11 cmx = 7.7 cm

t = s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 25 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 40 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.4 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 25 kgk = 40 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 5 kg แขวนจากสปริง k₃ = 5 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 30 kN/m และ k₂ = 50 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 126.8 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

ระยะตอบสนอง

d₁ = v₀·t_r = 30·1.5 = 45 m

ระยะเบรก

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·5.5) = 81.82 m

รวม

d = 45 + 81.82 = 126.8 m

คำตอบ

d = 126.8 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 317.1 m

อัตราเร็วสูงสุด

v = a₁·t₁ = 2·10 = 20 m/s

ระยะทางของแต่ละช่วง

s₁ = ½·2·10² = 100 m

s₂ = 20·8 = 160 m

s₃ = 20²/(2·3.5) = 57.14 m

ระยะทางรวม

s = 100 + 160 + 57.14 = 317.1 m

คำตอบ

s = 317.1 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: F = 114.5 N

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

อัตราเร็วคงที่: แรงสมดุลกัน

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

แรงดัน

F = 84.4 + 30.13 = 114.5 N

คำตอบ

F = 114.5 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 3.532 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 7.848)/7.5 = 3.532 m/s²

คำตอบ

a = 3.532 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 6.849 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 16·cos 65° = 6.762 m/s

t = x/v_x = 16/6.762 = 2.366 s

ความสูงขณะนั้น

y = 14.5·2.366 − ½·9.81·2.366² = 6.849 m

คำตอบ

y = 6.849 m

ลูกบอลกำลังตกลงมาแล้วที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 33.58 m

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 27·sin 45° = 19.09 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 19.09²/(2·9.81) = 18.58 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 15 + 18.58 = 33.58 m

คำตอบ

H = 33.58 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 11.51 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·45) = 11.51 m/s

คำตอบ

v_max = 11.51 m/s (41.43 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: h_min = 25 m

เงื่อนไขที่จุดสูงสุด

m·g = m·v²/R → v² = g·R

การอนุรักษ์พลังงาน

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·10 = 25 m

คำตอบ

h_min = 25 m

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 18.79 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 49.05·0.766 = 37.57 N

F = μN = 0.1·37.57 = 3.757 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 3.757·5 = 18.79 J

คำตอบ

W_f = 18.79 J

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 14.01 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 19.62·(1 − 0.1·2.5) = 14.71 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 14.71 → x = √(2·14.71/1500) = 0.1401 m = 14.01 cm

คำตอบ

x = 14.01 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 6.588 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3.5 − 5)/(3.5 + 5)·8 = −1.412 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 5)·8 = 6.588 m/s

คำตอบ

v′₂ = 6.588 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 12 N·s

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.4·(9 + 21) = 12 N·s

คำตอบ

J = 12 N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: t = 11.42 s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

ความหน่วงและเวลา

α = T_b/I = 55/20 = 2.75 rad/s²

t = ω/α = 31.42/2.75 = 11.42 s

คำตอบ

t = 11.42 s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: φ = 51.65 °

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อยหลังการชน

I = M·L²/3 + m·d² = 4.5·1.7²/3 + 0.045·0.83² = 4.366 kg·m²

โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดหมุน

แรงที่จุดหมุนผ่านจุดหมุน จึงไม่มีโมเมนต์ที่นั่นระหว่างการชน

m·v·d = I·ω → ω = 0.045·300·0.83/4.366 = 2.566 rad/s

พลังงานระหว่างการแกว่ง

½·I·ω² = ½·4.366·2.566² = 14.38 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 37.89·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 14.38/37.89 = 0.6205 → φ = 51.65°

คำตอบ

φ = 51.65°

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₂ = 65.65 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/100.5 = 21.88 N·m

แรงบิดขาออก

T₂ = 21.88·36/12·1 = 65.65 N·m

คำตอบ

T₂ = 65.65 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: θ = 170.2 °

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมของสายพาน

asin(0.085) = 4.876°

มุมโอบ

θ = 180 − 2·4.876 = 170.2°

คำตอบ

θ = 170.2°

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: T = 2.104 s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

คาบของลูกตุ้ม

T = 2π·√(1.1/9.81) = 2.104 s

คำตอบ

T = 2.104 s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: t = 0.3291 s

ความถี่เชิงมุม

ω = 2π/T = 2π/2.6 = 2.417 rad/s

แก้สมการหาเวลา

0.7 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.7) = 0.7954 rad

t = 0.7954/2.417 = 0.3291 s

คำตอบ

t = 0.3291 s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 5.835 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(40000/25) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6.366 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6.366·√(1 − 0.4²) = 5.835 Hz

คำตอบ

f_d = 5.835 Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 4.883 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 30 + 50 = 80 kN/m

k_eq = 80·5/(80 + 5) = 4.706 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(4706/5) = 30.68 rad/s

f_n = 30.68/(2π) = 4.883 Hz

คำตอบ

f_n = 4.883 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics