พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 23 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 5 m/s² รถตำรวจตามทันที่ห่างจากจุดเริ่มต้นเท่าใด จงหา d

v_car = 23 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 17 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 10 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² หาความสูงสูงสุด h_max เหนือพื้น

v₀ = 17 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 19 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 40° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 19 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุสองก้อนบนพื้นราบเชื่อมด้วยเชือกเบาในแนวนอน แรงในแนวนอน 30 N ดึงก้อนหน้าที่หนัก 3 kg ก้อนที่หนัก 1 kg ถูกลากตามหลัง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.3 สำหรับทั้งสองก้อน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T ในเชือกที่เชื่อม

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgF = 30 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 65° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 32 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 20 m/s ที่มุม 55° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 25 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นที่มุมเท่าใด α ต่ำกว่าแนวนอน

v₀ = 20 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถมวล 1600 kg ขับข้ามยอดเนินบนถนนด้วย 19 m/s ยอดเนินเป็นส่วนโค้งวงกลมรัศมี 80 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก N ของถนนที่กระทำต่อรถที่จุดสูงสุด

m = 1600 kgv = 19 m/sr = 80 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ทางโค้งรัศมี 150 m เอียง 20° และสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านทางโค้งได้โดยไม่ไถลขึ้นและออกนอกทาง

r = 150 mθ = 20°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 4 kg เลื่อนลงไป 14 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.25 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 4 kgθ = 35°μ = 0.25d = 14 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 10 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 6 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 2 m จงหาแรงตั้งฉาก N ที่รางกระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 10 kgh = 6 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 2 kg เคลื่อนที่ด้วย 10 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 1.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 2 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.5 kg กระทบผนังด้วย 30 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 16 m/s การสัมผัสใช้เวลา 10 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.5 kgv_in = 30 m/sv_out = 16 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 12.5 kg ยาว 1.9 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและจับให้อยู่ในแนวนอน ปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่งเชิงมุม α ทันทีหลังปล่อย

m = 12.5 kgL = 1.9 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

จานตันสม่ำเสมอ (มวล 39 kg รัศมี 0.3 m) หมุนอิสระที่ 750 rpm รอบเพลาแนวดิ่งไร้แรงเสียดทาน วงแหวนบางมวล 12 kg รัศมีเท่ากันถูกปล่อยลงบนมันจากหยุดนิ่ง ให้ศูนย์กลางตรงกับเพลา และทั้งสองหมุนไปด้วยกันอย่างรวดเร็ว พลังงานจลน์ ΔE สูญเสียไปในกระบวนการเท่าใด

M_disc = 39 kgM_ring = 12 kgR = 0.3 mn₁ = 750 rpm

ΔE = J

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 2.2 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 24 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 32 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 97% หาแรงบิดขาออก T₂ บนเพลาของเฟือง

P = 2.2 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 32η = 97%

T₂ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

มอเตอร์ 7.5 kW ที่ 1440 rpm ขับเฟือง A (16 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (24 ฟัน) เฟือง C (20 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (24 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 96% จงหาแรงบิดขาออก T_out

P = 7.5 kWn_in = 1440 rpmA = 16B = 24C = 20D = 24η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 1.4 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 1.4 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวลบนสปริง k = 280 N/m แกว่งบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทานด้วยแอมพลิจูด 13 cm จงหาพลังงาน U ที่สะสมในสปริงเมื่อมวลอยู่ห่างจากตำแหน่งสมดุล 9 cm

k = 280 N/mA = 13 cmx = 9 cm

U = J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 250 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 25 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.4 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 250 kgk = 25 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 5 kg แขวนจากสปริง k₃ = 60 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 100 kN/m และ k₂ = 40 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 211.6 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·23/5 = 9.2 s

ระยะทาง

d = v·t = 23·9.2 = 211.6 m

คำตอบ

d = 211.6 m

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 46 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 24.73 m

ระยะที่ขึ้นเหนือหลังคา

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9.81) = 14.73 m

ความสูงเหนือพื้น

h_max = 10 + 14.73 = 24.73 m

คำตอบ

h_max = 24.73 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 5.554 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

คำตอบ

a = 5.554 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 7.5 N

ระบบทั้งหมด

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (30 − 11.77)/4 = 4.557 m/s²

ก้อนหลังเพียงก้อนเดียว

T = m₁·(a + μ·g) = 1·(4.557 + 2.943) = 7.5 N

คำตอบ

T = 7.5 N

เมื่อ μ เท่ากันทั้งสองก้อน แรงเสียดทานหักล้างกัน: T = F·m₁/(m₁ + m₂)

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 79.96 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 65° = 13.52 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 65° = 29 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·29/9.81 = 5.913 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 13.52·5.913 = 79.96 m

คำตอบ

x = 79.96 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: α = 67.39 °

แยกความเร็วต้น

v_x = 20·cos 55° = 11.47 m/s

v_y0 = 20·sin 55° = 16.38 m/s

อัตราเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบ

พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง

v_y = √(16.38² + 2·9.81·25) = 27.55 m/s

มุมที่กระทบ

tan α = v_y/v_x = 27.55/11.47 → α = 67.39°

คำตอบ

α = 67.39°

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: N = 8476 N

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงที่จุดสูงสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ลง) เป็นบวก

m·g − N = m·v²/r

N = 1600·9.81 − 1600·19²/80 = 15696 − 7220 = 8476 N

คำตอบ

N = 8476 N

รถรู้สึกเบาลง: ถนนดันขึ้นน้อยกว่าน้ำหนักของรถ

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 26.62 m/s

สมดุลแรง

แรงเสียดทานชี้ลงตามเนิน

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

อัตราเร็ว

v = √(150·9.81·0.436/0.9055) = 26.62 m/s

คำตอบ

v_max = 26.62 m/s

(95.82 km/h)

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 112.5 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 39.24·0.8192 = 32.14 N

F = μN = 0.25·32.14 = 8.036 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 8.036·14 = 112.5 J

คำตอบ

W_f = 112.5 J

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: N = 98.1 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6 − 4) = 39.24 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·39.24/2 − 98.1 = 98.1 N

คำตอบ

N = 98.1 N

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = 1.429 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (2 − 1.5)/(2 + 1.5)·10 = 1.429 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1.5)·10 = 11.43 m/s

คำตอบ

v′₁ = 1.429 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 2300 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.5·(16 + 30) = 23 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 23/0.01 = 2300 N

คำตอบ

F_avg = 2300 N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: α = 7.745 rad/s²

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

โมเมนต์รอบหมุด

ขณะปล่อย ω = 0 จึงไม่มีความเร่งสู่ศูนย์กลาง และจุดศูนย์กลางเร่งลงตรง ๆ

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.9) = 7.745 rad/s²

คำตอบ

α = 7.745 rad/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ΔE = 2062 J

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อย

I₁ = ½·39·0.3² = 1.755 kg·m²

I₂ = 12·0.3² = 1.08 kg·m²

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 750·1.755/2.835 = 464.3 rpm

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

E₁ = ½·1.755·78.54² = 5413 J

E₂ = ½·2.835·48.62² = 3351 J

ΔE = 5413 − 3351 = 2062 J

คำตอบ

ΔE = 2062 J

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₂ = 28.3 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/100.5 = 21.88 N·m

แรงบิดขาออก

T₂ = 21.88·32/24·0.97 = 28.3 N·m

คำตอบ

T₂ = 28.3 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_out = 82.51 N·m

ความเร็วรอบขาออก

n_out = 1440·(16/24)·(20/24) = 800 rpm

ω_out = 2π·800/60 = 83.78 rad/s

กำลังและแรงบิดขาออก

P_out = 7500·0.96² = 6912 W

T_out = P_out/ω_out = 6912/83.78 = 82.51 N·m

คำตอบ

T_out = 82.51 N·m

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 0.487 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.4/2π)² = 0.487 m

คำตอบ

L = 0.487 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: U = 1.134 J

พลังงานรวม

E = ½·k·A² = ½·280·0.13² = 2.366 J

พลังงานสปริงที่ x

U = ½·k·x² = ½·280·0.09² = 1.134 J

คำตอบ

U = 1.134 J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 1.459 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(25000/250) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1.592 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.4²) = 1.459 Hz

คำตอบ

f_d = 1.459 Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 14.59 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 100 + 40 = 140 kN/m

k_eq = 140·60/(140 + 60) = 42 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(42000/5) = 91.65 rad/s

f_n = 91.65/(2π) = 14.59 Hz

คำตอบ

f_n = 14.59 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics