พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินต้องใช้อัตราเร็ว 220 km/h เพื่อบินขึ้น และทางวิ่งที่ใช้ได้ยาว 1900 m เริ่มจากหยุดนิ่ง ต้องใช้ความเร่งคงที่ a เท่าใด

v₀ = 0v = 220 km/hs = 1900 m

a = m/s²

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 6 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 40 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 6 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องหนัก 5 kg ถูกดันขึ้นทางลาดที่ทำมุม 25° กับแนวนอนด้วยอัตราเร็วคงที่ โดยแรงขนานกับทางลาด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงดัน F

m = 5 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุหนัก 9.5 kg บนทางลาด 25° เชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานที่ยอดทางลาดกับมวล 10 kg ที่แขวนอยู่ มวลที่แขวนเคลื่อนที่ลง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับทางลาดคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 9.5 kgm₂ = 10 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 24 m/s ที่มุม 20° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 11 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 24 m/sθ = 20°x = 11 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 20 m/s ที่มุม 45° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 30 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ที่ลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 20 m/sθ = 45°h = 30 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 95 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.5 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 95 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

รถเข็นมวล 2.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 17.55 m บนรางไร้แรงเสียดทาน และวิ่งผ่านลูปแนวดิ่งรัศมี 4.5 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก N_top ของรางที่กระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 2.5 kgh = 17.55 mR = 4.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ลูกบอล 0.2 kg แขวนบนเชือกเบายาว 0.8 m ดึงไปด้านข้างจนเชือกทำมุม 90° กับแนวดิ่งแล้วปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาแรงตึง T ในเชือกเมื่อลูกบอลผ่านจุดต่ำสุด

m = 0.2 kgL = 0.8 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

10.งานและพลังงานยาก

สปริงที่มีค่าคงตัว 3000 N/m ที่ฐานของเนินลาด 35° ถูกกด 12 cm กับก้อนวัตถุ 5 kg แล้วปล่อย สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับเนินคือ 0.25 ก้อนวัตถุเคลื่อนที่ขึ้นเนินจากจุดปล่อยไกลเท่าใด d ก่อนหยุด (ไม่ต้องคิดระยะสั้น ๆ ที่สปริงดัน คือให้คิดแรงเสียดทานและแรงโน้มถ่วงตลอดระยะ d)

m = 5 kgk = 3000 N/mx = 12 cmθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 1.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 4 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 2.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 1.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.2 kg กระทบผนังด้วย 18 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 7 m/s การสัมผัสใช้เวลา 25 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.2 kgv_in = 18 m/sv_out = 7 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 9 kg ยาว 1.4 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ลูกบอลเล็กมวล 1.5 kg ติดอยู่ที่ปลายอิสระของมัน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งขณะแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 9 kgL = 1.4 mm_ball = 1.5 kgg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

จานตันสม่ำเสมอ (มวล 22 kg รัศมี 0.25 m) หมุนอิสระที่ 750 rpm รอบเพลาแนวดิ่งไร้แรงเสียดทาน วงแหวนบางมวล 16 kg รัศมีเท่ากันถูกปล่อยลงบนมันจากหยุดนิ่ง ให้ศูนย์กลางตรงกับเพลา และทั้งสองหมุนไปด้วยกันอย่างรวดเร็ว พลังงานจลน์ ΔE สูญเสียไปในกระบวนการเท่าใด

M_disc = 22 kgM_ring = 16 kgR = 0.25 mn₁ = 750 rpm

ΔE = J

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

เพลาขนานสองเพลาห่างกัน 54 mm ต้องต่อกันด้วยเฟืองตรงคู่หนึ่งที่มีโมดูล 2 mm และอัตราทดความเร็ว 2 : 1 เฟืองใหญ่ต้องมีกี่ฟัน N₂

a = 54 mmm = 2 mmi = 2

N₂ =

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (30 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1440 rpm ขับเฟือง B (40 ฟัน) เฟือง C (30 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (40 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1440 rpmA = 30B = 40C = 30D = 40

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 2.6 kg บนสปริง k = 250 N/m แกว่งบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทานด้วยแอมพลิจูด 20 cm จงหาอัตราเร็ว v ของมันเมื่ออยู่ห่างจากตำแหน่งสมดุล 13 cm

m = 2.6 kgk = 250 N/mA = 20 cmx = 13 cm

v = m/s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 1.2 kg บนสปริงที่ k = 130 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 6 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด a_max

m = 1.2 kgk = 130 N/mA = 6 cm

a_max = m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 2 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 10 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.6 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 2 kgk = 10 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริง k₃ = 80 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 10 kN/m และ k₂ = 100 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: a = 0.9828 m/s²

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v = 220/3.6 = 61.11 m/s

ความเร่ง

a = v²/(2s) = 61.11²/(2·1900) = 0.9828 m/s²

คำตอบ

a = 0.9828 m/s²

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 3.532 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−40 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 40 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (6 + √(6² + 2·9.81·40))/9.81 = 3.532 s

คำตอบ

t = 3.532 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: F = 29.62 N

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

อัตราเร็วคงที่: แรงสมดุลกัน

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

แรงดัน

F = 20.73 + 8.891 = 29.62 N

คำตอบ

F = 29.62 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 2.145 m/s²

แรงตามแนวเชือก

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 39.39 N

μ·m₁·g·cos θ = 16.89 N

ความเร่งของระบบ

a = (98.1 − 39.39 − 16.89)/19.5 = 2.145 m/s²

คำตอบ

a = 2.145 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 2.837 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 24·cos 20° = 22.55 m/s

t = x/v_x = 11/22.55 = 0.4877 s

ความสูงขณะนั้น

y = 8.208·0.4877 − ½·9.81·0.4877² = 2.837 m

คำตอบ

y = 2.837 m

ลูกบอลยังกำลังขึ้นอยู่ที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v = 31.44 m/s

แยกความเร็วต้น

v_x = 20·cos 45° = 14.14 m/s

v_y0 = 20·sin 45° = 14.14 m/s

อัตราเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบ

พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง

v_y = √(14.14² + 2·9.81·30) = 28.08 m/s

อัตราเร็วขณะกระทบ

v = √(14.14² + 28.08²) = 31.44 m/s

คำตอบ

v = 31.44 m/s

ตรวจสอบด้วยพลังงาน: v² = v₀² + 2gh

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 21.59 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·95) = 21.59 m/s

คำตอบ

v_max = 21.59 m/s (77.71 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: N_top = 68.67 N

อัตราเร็วจากการอนุรักษ์พลังงาน

v² = 2·9.81·(17.55 − 2·4.5) = 167.8 m²/s²

แรง

ทิศเข้าหาศูนย์กลางเป็นบวก

N = m·v²/R − m·g = 2.5·167.8/4.5 − 24.53 = 68.67 N

คำตอบ

N_top = 68.67 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: T = 5.886 N

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) บนทางโค้งวงกลม แรงลัพธ์ในทิศทางสู่ศูนย์กลางต้องเท่ากับ mv²/r

อัตราเร็วที่ด้านล่าง

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 90°) = 15.7 m²/s²

แรงที่ด้านล่าง

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·15.7/0.8 = 5.886 N

คำตอบ

T = 5.886 N

ตรวจสอบ: T = mg(3 − 2cos θ) = 5.886 N

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 0.5658 m

พลังงานสปริง

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·3000·0.12² = 21.6 J

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 21.6/(49.05·(0.5736 + 0.25·0.8192)) = 0.5658 m

คำตอบ

d = 0.5658 m

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 3 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (1.5 − 2.5)/(1.5 + 2.5)·4 = −1 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 2.5)·4 = 3 m/s

คำตอบ

v′₂ = 3 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 200 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.2·(7 + 18) = 5 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 5/0.025 = 200 N

คำตอบ

F_avg = 200 N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 4.323 rad/s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 9·9.81·0.7 + 1.5·9.81·1.4 = 82.4 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 5.88 + 2.94 = 8.82 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 82.4 → ω = √(2·82.4/8.82) = 4.323 rad/s

คำตอบ

ω = 4.323 rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ΔE = 1257 J

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อย

I₁ = ½·22·0.25² = 0.6875 kg·m²

I₂ = 16·0.25² = 1 kg·m²

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 750·0.6875/1.688 = 305.6 rpm

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

E₁ = ½·0.6875·78.54² = 2120 J

E₂ = ½·1.688·32² = 863.9 J

ΔE = 2120 − 863.9 = 1257 J

คำตอบ

ΔE = 1257 J

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N₂ = 36

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

จำนวนฟันทั้งหมด

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·54/2 = 54

แบ่งตามอัตราส่วน

N₁ = 54/(1 + 2) = 18

N₂ = 2·18 = 36

คำตอบ

N₂ = 36

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 810 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

n_B = 1440·30/40 = 1080 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 1080·30/40 = 810 rpm

คำตอบ

n_out = 810 rpm

อัตราทดรวม = 1.778 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v = 1.49 m/s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(250/2.6) = 9.806 rad/s

อัตราเร็วที่ x

v = ω·√(A² − x²) = 9.806·√(0.2² − 0.13²) = 1.49 m/s

คำตอบ

v = 1.49 m/s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: a_max = 6.5 m/s²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(130/1.2) = 10.41 rad/s

ความเร่งสูงสุด

a_max = A·ω² = 0.06·10.41² = 6.5 m/s²

คำตอบ

a_max = 6.5 m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 9.003 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(10000/2) = 70.71 rad/s

f_n = 70.71/(2π) = 11.25 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 11.25·√(1 − 0.6²) = 9.003 Hz

คำตอบ

f_d = 9.003 Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 6.85 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 10 + 100 = 110 kN/m

k_eq = 110·80/(110 + 80) = 46.32 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(46316/25) = 43.04 rad/s

f_n = 43.04/(2π) = 6.85 Hz

คำตอบ

f_n = 6.85 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics