พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 1.5 m/s² ตามทางวิ่ง จงหาอัตราเร็ว v หลังวิ่งไป 1200 m

v₀ = 0a = 1.5 m/s²s = 1200 m

v = m/s

2.จลนศาสตร์ยาก

ลูกบอล A ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 25 m ขณะเดียวกันลูกบอล B ถูกขว้างขึ้นตรง ๆ จากพื้นด้านล่างโดยตรงด้วย 23 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลพบกันที่ความสูง y เหนือพื้นเท่าใด

H = 25 mv_0B = 23 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

มวล 5.5 kg และ 2 kg แขวนสองข้างของรอกเบาไร้แรงเสียดทาน เชื่อมด้วยเชือกเบา ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 5.5 kgm₂ = 2 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุสองก้อนบนพื้นราบเชื่อมด้วยเชือกเบาในแนวนอน แรงในแนวนอน 25 N ดึงก้อนหน้าที่หนัก 1 kg ก้อนที่หนัก 6 kg ถูกลากตามหลัง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.3 สำหรับทั้งสองก้อน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T ในเชือกที่เชื่อม

m₁ = 6 kgm₂ = 1 kgF = 25 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 45° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 12 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 40° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 30 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 33 m/sθ = 40°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ลูกบอลเล็กบนเชือกยาว 0.6 m เคลื่อนที่เป็นวงกลมแนวนอนโดยเชือกทำมุมคงที่ 50° กับแนวดิ่ง (ลูกตุ้มกรวย) ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของลูกบอล

L = 0.6 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ทางโค้งรัศมี 180 m เอียง 8° และสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านทางโค้งได้โดยไม่ไถลขึ้นและออกนอกทาง

r = 180 mθ = 8°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

รถที่แล่นด้วย 100 km/h บนถนนราบเบรกอย่างแรงและไถลหยุดโดยล้อล็อก สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.8 จงหาระยะหยุด d

v = 100 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 0.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 2.5 m (μ = 0.15) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 2000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 0.5 kgh = 5 mL = 2.5 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุน 12 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบา และฝังอยู่ในนั้น ก้อนไม้แกว่งขึ้นจนสูงกว่าตอนเริ่มต้น 13 cm ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 12 gM = 5 kgh = 13 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 5 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 2.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 1.6 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 15° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 5 gM = 2.5 kgL = 1.6 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 4 kg ยาว 1.9 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ลูกบอลเล็กมวล 5 kg ติดอยู่ที่ปลายอิสระของมัน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งขณะแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 4 kgL = 1.9 mm_ball = 5 kgg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมกลวง กลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 15° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² มันเริ่มจากหยุดนิ่ง ใช้เวลานานเท่าใด t จึงกลิ้งลงทางลาด 3.5 m

θ = 15°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²s = 3.5 m

t = s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 1.1 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 30 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 40 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 96% หาแรงบิดขาออก T₂ บนเพลาของเฟือง

P = 1.1 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 30N₂ = 40η = 96%

T₂ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (12 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1500 rpm ขับเฟือง B (50 ฟัน) เฟือง C (12 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (45 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1500 rpmA = 12B = 50C = 12D = 45

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

นักบินอวกาศบนดาวดวงอื่นพบว่าลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 1.2 m มีคาบ 2.31 s สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ จงหาความเร่งโน้มถ่วง g บนดาวดวงนั้น

L = 1.2 mT = 2.31 s

g = m/s²

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 3.5 kg บนสปริงที่ k = 490 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 11 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด a_max

m = 3.5 kgk = 490 N/mA = 11 cm

a_max = m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 15 mm ตามด้วยยอด 4.2 mm หลังจากนั้น 2 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 15 mmx₂ = 4.2 mmn = 2

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 50 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 80 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 25 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: v = 60 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

อัตราเร็วหลังเคลื่อนที่ไปตามระยะทาง

v = √(2·a·s) = √(2·1.5·1200) = 60 m/s

คำตอบ

v = 60 m/s

(216 km/h)

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: y = 19.2 m

เวลาที่พบกัน

ทิศขึ้นเป็นบวก พื้นคือ y = 0

25 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 25/23 = 1.087 s

ความสูงที่พบกัน

y = 23·1.087 − ½·9.81·1.087² = 19.2 m

คำตอบ

y = 19.2 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 28.78 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ความเร่ง

แรงขับสุทธิคือผลต่างของน้ำหนัก ซึ่งทำให้มวลรวมเคลื่อนที่

a = (5.5 − 2)·9.81/(5.5 + 2) = 4.578 m/s²

แรงตึงจากมวลที่เบากว่า

T − m₂·g = m₂·a → T = 2·(9.81 + 4.578) = 28.78 N

คำตอบ

T = 28.78 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 21.43 N

ระบบทั้งหมด

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (25 − 20.6)/7 = 0.6284 m/s²

ก้อนหลังเพียงก้อนเดียว

T = m₁·(a + μ·g) = 6·(0.6284 + 2.943) = 21.43 N

คำตอบ

T = 21.43 N

เมื่อ μ เท่ากันทั้งสองก้อน แรงเสียดทานหักล้างกัน: T = F·m₁/(m₁ + m₂)

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 3.67 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 45° = 8.485 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 45° = 8.485 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 8.485²/(2·9.81) = 3.67 m

คำตอบ

H = 3.67 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 137.7 m

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 40° = 25.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 40° = 21.21 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 30 + 21.21·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21.21 + √(449.9 + 588.6))/9.81 = 5.447 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 25.28·5.447 = 137.7 m

คำตอบ

x = 137.7 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v = 2.318 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

รัศมีของวงกลม

r = L·sin θ = 0.6·sin 50° = 0.4596 m

อัตราเร็ว

แรงตึงและแรงโน้มถ่วงรวมกันให้แรงเข้าด้านใน: tan θ = v²/(r·g)

v = √(r·g·tan θ) = √(0.4596·9.81·tan 50°) = 2.318 m/s

คำตอบ

v = 2.318 m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 26.73 m/s

สมดุลแรง

แรงเสียดทานชี้ลงตามเนิน

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

อัตราเร็ว

v = √(180·9.81·0.3867/0.9555) = 26.73 m/s

คำตอบ

v_max = 26.73 m/s

(96.24 km/h)

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 49.16 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

อัตราเร็วในหน่วยฐาน

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

สมดุลพลังงาน

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.8·9.81) = 49.16 m

คำตอบ

d = 49.16 m

การเพิ่มอัตราเร็วเป็นสองเท่าทำให้ระยะหยุดยาวขึ้นสี่เท่า

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 15.06 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 4.905·(5 − 0.15·2.5) = 22.69 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 22.69 → x = √(2·22.69/2000) = 0.1506 m = 15.06 cm

คำตอบ

x = 15.06 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 667 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

การแกว่งหลังการชน

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.13) = 1.597 m/s

การชน

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 5)·1.597/0.012 = 667 m/s

คำตอบ

v = 667 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 518.2 m/s

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 15°) = 0.05452 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.05452) = 1.034 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 2.505·1.034/0.005 = 518.2 m/s

คำตอบ

v = 518.2 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 3.378 rad/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 4·9.81·0.95 + 5·9.81·1.9 = 130.5 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 4.813 + 18.05 = 22.86 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 130.5 → ω = √(2·130.5/22.86) = 3.378 rad/s

คำตอบ

ω = 3.378 rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: t = 2.144 s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

สมการการเคลื่อนที่

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

ความเร่ง

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 15°/1.667 = 1.523 m/s²

เวลา

s = ½·a·t² → t = √(2·3.5/1.523) = 2.144 s

คำตอบ

t = 2.144 s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₂ = 14.01 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/100.5 = 10.94 N·m

แรงบิดขาออก

T₂ = 10.94·40/30·0.96 = 14.01 N·m

คำตอบ

T₂ = 14.01 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 96 rpm

ขั้นแรก

n_B = 1500·12/50 = 360 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 360·12/45 = 96 rpm

คำตอบ

n_out = 96 rpm

อัตราทดรวม = 15.63 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: g = 8.878 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

แก้หา g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.2/2.31² = 8.878 m/s²

คำตอบ

g = 8.878 m/s²

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: a_max = 15.4 m/s²

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(490/3.5) = 11.83 rad/s

ความเร่งสูงสุด

a_max = A·ω² = 0.11·11.83² = 15.4 m/s²

คำตอบ

a_max = 15.4 m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1008

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/2)·ln(15/4.2) = 0.6365

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6365/√(39.48 + 0.4051) = 0.1008

คำตอบ

ζ = 0.1008

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 3.106 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/80 + 1/25 → k_eq = 80·25/(80 + 25) = 19.05 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(19048/50) = 19.52 rad/s

f_n = 19.52/(2π) = 3.106 Hz

คำตอบ

f_n = 3.106 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics