พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินต้องใช้อัตราเร็ว 220 km/h เพื่อบินขึ้น และทางวิ่งที่ใช้ได้ยาว 900 m เริ่มจากหยุดนิ่ง ต้องใช้ความเร่งคงที่ a เท่าใด

v₀ = 0v = 220 km/hs = 900 m

a = m/s²

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 16 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 15 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 16 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

เลื่อนหนัก 35 kg ถูกดึงไปบนหิมะราบด้วยเชือกที่ทำมุม 35° เหนือแนวนอนด้วยแรง 190 N สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของเลื่อน

m = 35 kgF = 190 Nθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 4.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 65° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 20 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 60° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 35 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 17 m/sθ = 60°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ลูกบอลเล็กบนเชือกยาว 1.7 m เคลื่อนที่เป็นวงกลมแนวนอนโดยเชือกทำมุมคงที่ 20° กับแนวดิ่ง (ลูกตุ้มกรวย) ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาเวลา T ที่ใช้ต่อหนึ่งรอบ

L = 1.7 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

รถเข็นมวล 3 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 24.5 m บนรางไร้แรงเสียดทาน และวิ่งผ่านลูปแนวดิ่งรัศมี 5 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก N_top ของรางที่กระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 3 kgh = 24.5 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ลูกบอล 0.2 kg แขวนบนเชือกเบายาว 3 m ดึงไปด้านข้างจนเชือกทำมุม 50° กับแนวดิ่งแล้วปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาแรงตึง T ในเชือกเมื่อลูกบอลผ่านจุดต่ำสุด

m = 0.2 kgL = 3 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 4 kg วางบนโต๊ะแนวนอนขรุขระ (μ = 0.2) เชือกเบาพาดจากก้อนวัตถุนั้นผ่านรอกเรียบที่ขอบโต๊ะไปยังก้อนวัตถุ 4 kg ที่แขวนอยู่ ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุทั้งสองหลังก้อนที่แขวนตกลงมา 3 m

m₁ = 4 kgm₂ = 4 kgμ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 0.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 12 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 3 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 0.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.2 kg กระทบผนังด้วย 18 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 20 m/s การสัมผัสใช้เวลา 40 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.2 kgv_in = 18 m/sv_out = 20 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 13 kg ยาว 2.1 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและจับให้อยู่ในแนวนอน ปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงในแนวดิ่ง R ที่หมุดกระทำต่อแท่งทันทีหลังปล่อย

m = 13 kgL = 2.1 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 6.5 kg ยาว 0.8 m ห้อยนิ่งจากจุดหมุนไร้แรงเสียดทานที่ปลายบน กระสุน 35 g เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 520 m/s ชนแท่งที่ตำแหน่งต่ำกว่าจุดหมุน 0.42 m และฝังอยู่ในนั้น ใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมที่มากที่สุด φ จากแนวดิ่งที่แท่งแกว่งไป

M = 6.5 kgL = 0.8 mm = 35 gv = 520 m/sd = 0.42 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

พูลเลย์ 80 mm ที่ 1500 rpm ขับพูลเลย์ 500 mm ด้วยสายพานที่ลื่น 2.5 % จงหาความเร็ว n₂ ของพูลเลย์ตาม

n₁ = 1500 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 500 mms = 2.5 %

n₂ = rpm

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

มอเตอร์ 2.2 kW ที่ 1450 rpm ขับเฟือง A (15 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (60 ฟัน) เฟือง C (50 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (60 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 97% จงหาแรงบิดขาออก T_out

P = 2.2 kWn_in = 1450 rpmA = 15B = 60C = 50D = 60η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

นักบินอวกาศบนดาวดวงอื่นพบว่าลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 1.7 m มีคาบ 2.75 s สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ จงหาความเร่งโน้มถ่วง g บนดาวดวงนั้น

L = 1.7 mT = 2.75 s

g = m/s²

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 0.3 kg ถูกติดที่ปลายล่างของสปริงแนวดิ่งที่ไม่ยืดซึ่งมี k = 440 N/m และปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วมากที่สุด v_max ของมวล

m = 0.3 kgk = 440 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 15 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 5 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.35 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 15 kgk = 5 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 5 kN/m และ k₂ = 50 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: a = 2.075 m/s²

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v = 220/3.6 = 61.11 m/s

ความเร่ง

a = v²/(2s) = 61.11²/(2·900) = 2.075 m/s²

คำตอบ

a = 2.075 m/s²

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 4.022 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−15 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 15 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (16 + √(16² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.022 s

คำตอบ

t = 4.022 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 2.438 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตั้งฉาก

N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 190·sin 35° = 234.4 N

แรงในแนวนอน

m·a = F·cos θ − μ·N = 155.6 − 70.31

a = 85.33/35 = 2.438 m/s²

คำตอบ

a = 2.438 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 30.2 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 14.71)/9.5 = 3.098 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·3.098 + 14.71 = 30.2 N

คำตอบ

T = 30.2 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 16.75 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 65° = 8.452 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 65° = 18.13 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 18.13²/(2·9.81) = 16.75 m

คำตอบ

H = 16.75 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 4.565 s

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 60° = 8.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 60° = 14.72 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 35 + 14.72·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.72 + √(216.8 + 686.7))/9.81 = 4.565 s

คำตอบ

t = 4.565 s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 2.535 s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

รัศมีของวงกลม

r = L·sin θ = 1.7·sin 20° = 0.5814 m

อัตราเร็ว

แรงตึงและแรงโน้มถ่วงรวมกันให้แรงเข้าด้านใน: tan θ = v²/(r·g)

v = √(r·g·tan θ) = √(0.5814·9.81·tan 20°) = 1.441 m/s

คาบ

T = 2π·r/v = 2π·0.5814/1.441 = 2.535 s

คำตอบ

T = 2.535 s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: N_top = 141.3 N

อัตราเร็วจากการอนุรักษ์พลังงาน

v² = 2·9.81·(24.5 − 2·5) = 284.5 m²/s²

แรง

ทิศเข้าหาศูนย์กลางเป็นบวก

N = m·v²/R − m·g = 3·284.5/5 − 29.43 = 141.3 N

คำตอบ

N_top = 141.3 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: T = 3.364 N

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) บนทางโค้งวงกลม แรงลัพธ์ในทิศทางสู่ศูนย์กลางต้องเท่ากับ mv²/r

อัตราเร็วที่ด้านล่าง

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 50°) = 21.03 m²/s²

แรงที่ด้านล่าง

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·21.03/3 = 3.364 N

คำตอบ

T = 3.364 N

ตรวจสอบ: T = mg(3 − 2cos θ) = 3.364 N

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 4.852 m/s

พลังงานที่ปลดปล่อยและที่สูญเสีย

m₂g·d = 39.24·3 = 117.7 J

μ·m₁g·d = 0.2·39.24·3 = 23.54 J

พลังงานจลน์ของก้อนวัตถุทั้งสอง

½(m₁ + m₂)v² = 94.18 → v = √(2·94.18/8) = 4.852 m/s

คำตอบ

v = 4.852 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 3.429 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (0.5 − 3)/(0.5 + 3)·12 = −8.571 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 3)·12 = 3.429 m/s

คำตอบ

v′₂ = 3.429 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 7.6 N·s

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.2·(20 + 18) = 7.6 N·s

คำตอบ

J = 7.6 N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: R = 31.88 N

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

โมเมนต์รอบหมุด

ขณะปล่อย ω = 0 จึงไม่มีความเร่งสู่ศูนย์กลาง และจุดศูนย์กลางเร่งลงตรง ๆ

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.1) = 7.007 rad/s²

แรงในแนวดิ่ง

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 13·(9.81 − 7.357) = 31.88 N

คำตอบ

R = 31.88 N

R = m·g/4 ไม่ขึ้นกับความยาว

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: φ = 79.5 °

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อยหลังการชน

I = M·L²/3 + m·d² = 6.5·0.8²/3 + 0.035·0.42² = 1.393 kg·m²

โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดหมุน

แรงที่จุดหมุนผ่านจุดหมุน จึงไม่มีโมเมนต์ที่นั่นระหว่างการชน

m·v·d = I·ω → ω = 0.035·520·0.42/1.393 = 5.488 rad/s

พลังงานระหว่างการแกว่ง

½·I·ω² = ½·1.393·5.488² = 20.98 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 25.65·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 20.98/25.65 = 0.1823 → φ = 79.5°

คำตอบ

φ = 79.5°

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n₂ = 234 rpm

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วเมื่อไม่มีการลื่น

1500·80/500 = 240 rpm

เมื่อมีการลื่น

n₂ = 240·0.975 = 234 rpm

คำตอบ

n₂ = 234 rpm

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_out = 65.44 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ความเร็วรอบขาออก

n_out = 1450·(15/60)·(50/60) = 302.1 rpm

ω_out = 2π·302.1/60 = 31.63 rad/s

กำลังและแรงบิดขาออก

P_out = 2200·0.97² = 2070 W

T_out = P_out/ω_out = 2070/31.63 = 65.44 N·m

คำตอบ

T_out = 65.44 N·m

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: g = 8.874 m/s²

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หา g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.7/2.75² = 8.874 m/s²

คำตอบ

g = 8.874 m/s²

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v_max = 0.2562 m/s

ตำแหน่งสมดุลและแอมพลิจูด

x₀ = m·g/k = 0.3·9.81/440 = 0.006689 m = A

อัตราเร็วมากที่สุด

อัตราเร็วมีค่ามากที่สุดที่ตำแหน่งสมดุล

ω = √(440/0.3) = 38.3 rad/s

v_max = A·ω = 0.006689·38.3 = 0.2562 m/s

คำตอบ

v_max = 0.2562 m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 2.722 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(5000/15) = 18.26 rad/s

f_n = 18.26/(2π) = 2.906 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.906·√(1 − 0.35²) = 2.722 Hz

คำตอบ

f_d = 2.722 Hz

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 55 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 5 + 50 = 55 kN/m

คำตอบ

k_eq = 55 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics