พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 120 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 4 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 120 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 10 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 15 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 10 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 11 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 25° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 11 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 1 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 0.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 1 kgm₂ = 0.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 32 m/s ที่มุม 30° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 27 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 32 m/sθ = 30°x = 27 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 28 m/s ที่มุม 20° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 20 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 28 m/sθ = 20°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

วิศวกรถนนต้องการให้รถผ่านทางโค้งรัศมี 390 m ด้วย 60 km/h โดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมเอียง θ

r = 390 mv = 60 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 0.7 kg ผูกกับเชือกยาว 1.4 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 9 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 0.7 kgr = 1.4 mv = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

เครื่องยิงของเล่นมีสปริงแนวดิ่งที่มีค่าคงตัว 2000 N/m วางลูกบอล 0.05 kg บนสปริงและกดสปริงลง 8 cm แล้วปล่อย ไม่คิดแรงต้านอากาศและมวลของสปริง จงหาความสูง h ที่ลูกบอลขึ้นไป วัดจากตำแหน่งของมันเมื่อสปริงถูกกด

m = 0.05 kgk = 2000 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 8 kg เริ่มจากหยุดนิ่งที่ฐานของเนินลาด 30° และถูกดึงขึ้นเนินด้วยแรงคงที่ 75 N ขนานกับเนิน สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.2 จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุหลังเคลื่อนที่ขึ้นเนินไป 3 m

m = 8 kgF = 75 Nθ = 30°μ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุนปืนมวล 6 kg เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 25 m/s ระเบิดเป็นสองเศษที่เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงเดียวกัน เศษมวล 5 kg เคลื่อนที่ต่อไปข้างหน้าด้วย 83 m/s จงหาความเร็ว v′₂ ของเศษมวล 1 kg (ทิศทางเดิมเป็นบวก)

M = 6 kgu = 25 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 83 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.45 kg กระทบผนังด้วย 30 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 4 m/s การสัมผัสใช้เวลา 25 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.45 kgv_in = 30 m/sv_out = 4 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

เพลาส่งกำลัง 194.5 kW ที่ 400 rpm จงหาแรงบิด T ในเพลา

P = 194.5 kWn = 400 rpm

T = N·m

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 8.5 kg ยาว 2 m ห้อยนิ่งจากจุดหมุนไร้แรงเสียดทานที่ปลายบน กระสุน 50 g เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 520 m/s ชนแท่งที่ตำแหน่งต่ำกว่าจุดหมุน 1.65 m และฝังอยู่ในนั้น ใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมที่มากที่สุด φ จากแนวดิ่งที่แท่งแกว่งไป

M = 8.5 kgL = 2 mm = 50 gv = 520 m/sd = 1.65 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 0.55 kW ที่ 1450 rpm ขับเฟืองตัวหนอนที่มี 2 เกลียว เฟืองหนอนมี 30 ฟัน และระบบขับมีประสิทธิภาพ 85% จงหาแรงบิดขาออก T_w ที่เพลาของเฟืองหนอน

z = 2N_w = 30n = 1450 rpmP = 0.55 kWη = 85%

T_w = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 120 mm กับพูลเลย์ 500 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 600 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา

d₁ = 120 mmd₂ = 500 mmC = 600 mm

θ = °

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 0.5 m ใช้ g = 9.81 m/s² หาคาบ T สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ

L = 0.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 0.4 kg บนสปริงที่ k = 150 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 19 cm แล้วปล่อย หาอัตราเร็วสูงสุด v_max

m = 0.4 kgk = 150 N/mA = 19 cm

v_max = m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 2 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 8 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 130 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 2 kgk = 8 kN/mc = 130 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 40 kN/m และ k₂ = 30 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 138.9 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·4) = 138.9 m

คำตอบ

s = 138.9 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 3.044 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−15 = 10·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 10·t − 15 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (10 + √(10² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.044 s

คำตอบ

t = 3.044 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 1.923 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

คำตอบ

a = 1.923 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 1.962 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4.905 − 1.962)/1.5 = 1.962 m/s²

คำตอบ

a = 1.962 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 10.93 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 32·cos 30° = 27.71 m/s

t = x/v_x = 27/27.71 = 0.9743 s

ความสูงขณะนั้น

y = 16·0.9743 − ½·9.81·0.9743² = 10.93 m

คำตอบ

y = 10.93 m

ลูกบอลยังกำลังขึ้นอยู่ที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 24.67 m

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 28·sin 20° = 9.577 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 9.577²/(2·9.81) = 4.674 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 20 + 4.674 = 24.67 m

คำตอบ

H = 24.67 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: θ = 4.153 °

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

หน่วย

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

มุมเอียง

tan θ = v²/(r·g) = 16.67²/(390·9.81) = 0.0726

θ = 4.153°

คำตอบ

θ = 4.153°

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 47.37 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 0.7·9.81 + 0.7·9²/1.4 = 6.867 + 40.5 = 47.37 N

คำตอบ

T = 47.37 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: h = 13.05 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

พลังงานสปริง

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·2000·0.08² = 6.4 J

ความสูง

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 6.4/0.4905 = 13.05 m

คำตอบ

h = 13.05 m

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 4.077 m/s

แรงตามแนวพื้นเอียง

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 39.24 N

μ·mg·cos θ = 13.59 N

งาน–พลังงาน

½mv² = (75 − 52.83)·3 = 66.5 J

v = √(2·66.5/8) = 4.077 m/s

คำตอบ

v = 4.077 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = −265 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

โมเมนตัมก่อนชน

p = M·u = 6·25 = 150 kg·m/s

โมเมนตัมหลังชน

150 = 5·83 + 1·v′₂

v′₂ = (150 − 415)/1 = −265 m/s

คำตอบ

v′₂ = −265 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเศษที่สองกระเด็นถอยหลัง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 612 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.45·(4 + 30) = 15.3 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 15.3/0.025 = 612 N

คำตอบ

F_avg = 612 N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: T = 4643 N·m

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·400/60 = 41.89 rad/s

แรงบิด

T = P/ω = 194500/41.89 = 4643 N·m

คำตอบ

T = 4643 N·m

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: φ = 87.3 °

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อยหลังการชน

I = M·L²/3 + m·d² = 8.5·2²/3 + 0.05·1.65² = 11.47 kg·m²

โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดหมุน

แรงที่จุดหมุนผ่านจุดหมุน จึงไม่มีโมเมนต์ที่นั่นระหว่างการชน

m·v·d = I·ω → ω = 0.05·520·1.65/11.47 = 3.74 rad/s

พลังงานระหว่างการแกว่ง

½·I·ω² = ½·11.47·3.74² = 80.23 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 84.19·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 80.23/84.19 = 0.04707 → φ = 87.3°

คำตอบ

φ = 87.3°

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_w = 46.18 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ความเร็วของเฟืองหนอน

n_w = n·z/N_w = 1450·2/30 = 96.67 rpm

แรงบิดขาออก

ω_w = 2π·96.67/60 = 10.12 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.85·550/10.12 = 46.18 N·m

คำตอบ

T_w = 46.18 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: θ = 143.1 °

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมของสายพาน

asin(0.3167) = 18.46°

มุมโอบ

θ = 180 − 2·18.46 = 143.1°

คำตอบ

θ = 143.1°

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: T = 1.419 s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

คาบของลูกตุ้ม

T = 2π·√(0.5/9.81) = 1.419 s

คำตอบ

T = 1.419 s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v_max = 3.679 m/s

ความถี่เชิงมุม

ω = √(150/0.4) = 19.36 rad/s

อัตราเร็วสูงสุด

v_max = A·ω = 0.19·19.36 = 3.679 m/s

คำตอบ

v_max = 3.679 m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.5139

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·2) = 253 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 130/253 = 0.5139

คำตอบ

ζ = 0.5139

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 70 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 40 + 30 = 70 kN/m

คำตอบ

k_eq = 70 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics