พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 4 m/s² ตามทางวิ่ง จงหาอัตราเร็ว v หลังวิ่งไป 1200 m

v₀ = 0a = 4 m/s²s = 1200 m

v = m/s

2.จลนศาสตร์ยาก

จรวดจำลองถูกยิงขึ้นตรง ๆ จากหยุดนิ่ง เครื่องยนต์ให้ความเร่งขึ้นคงที่ 28 m/s² เป็นเวลา 1 s หลังจากนั้นเครื่องยนต์หยุดและจรวดเคลื่อนที่อย่างอิสระ ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด h_max ที่จรวดขึ้นไปถึง

a = 28 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 11 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 45° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 11 kgθ = 45°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุถูกผลักให้เริ่มไถลขึ้นทางลาด 25° ด้วยอัตราเร็ว 11 m/s สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² ไถลไปตามทางลาดไกลเท่าใด d ก่อนหยุด

v₀ = 11 m/sθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 20° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 34 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 45° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 55 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 33 m/sθ = 45°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ทางโค้งรัศมี 320 m เอียง 10° รถผ่านได้ด้วยอัตราเร็ว v เท่าใดโดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทานเลย ใช้ g = 9.81 m/s²

r = 320 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลผูกกับเชือกยาว 1.5 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² อัตราเร็วต่ำสุด v_min ที่จุดสูงสุดที่ทำให้เชือกยังตึงอยู่พอดีคือเท่าใด

r = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

รถที่แล่นด้วย 110 km/h บนถนนราบเบรกอย่างแรงและไถลหยุดโดยล้อล็อก สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.5 จงหาระยะหยุด d

v = 110 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 3 kg วางบนโต๊ะแนวนอนขรุขระ (μ = 0.2) เชือกเบาพาดจากก้อนวัตถุนั้นผ่านรอกเรียบที่ขอบโต๊ะไปยังก้อนวัตถุ 3 kg ที่แขวนอยู่ ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุทั้งสองหลังก้อนที่แขวนตกลงมา 2 m

m₁ = 3 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุน 5 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 4.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบา และฝังอยู่ในนั้น ก้อนไม้แกว่งขึ้นจนสูงกว่าตอนเริ่มต้น 10 cm ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 5 gM = 4.5 kgh = 10 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

รถมวล 2000 kg ชนรถที่จอดอยู่มวล 900 kg ซากรถติดกันและไถลไป 15.5 m ก่อนหยุด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.5 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v₁ ของรถคันแรกก่อนชน

m₁ = 2000 kgm₂ = 900 kgd = 15.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ล้อช่วยแรงที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย 32 kg·m² หมุนที่ 2100 rpm เบรกให้แรงบิดเสียดทานคงที่ 190 N·m ล้อช่วยแรงหมุนกี่รอบ N ก่อนหยุด

I = 32 kg·m²n = 2100 rpmT_b = 190 N·m

N = rev

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 7.5 kg ยาว 1.7 m ห้อยนิ่งจากจุดหมุนไร้แรงเสียดทานที่ปลายบน กระสุน 30 g เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 560 m/s ชนแท่งที่ตำแหน่งต่ำกว่าจุดหมุน 1.03 m และฝังอยู่ในนั้น จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งทันทีหลังการชน

M = 7.5 kgL = 1.7 mm = 30 gv = 560 m/sd = 1.03 m

ω = rad/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 1.5 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 15 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 50 ฟัน ไม่คิดการสูญเสีย หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 1.5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 15N₂ = 50η = 100%

T₁ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ขับ 200 mm ที่ 960 rpm กับพูลเลย์ 500 mm ศูนย์กลางห่างกัน 800 mm สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานคือ 0.3 และแรงตึงด้านตึงต้องไม่เกิน 500 N จงหากำลังสูงสุด P ที่สายพานส่งได้โดยไม่ลื่น ในหน่วย kW (ไม่คิดผลของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์)

d₁ = 200 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 500 mmC = 800 mmμ = 0.3T₁ = 500 N

P = kW

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 0.5 kg บนสปริง k = 280 N/m ถูกดึงไป 5 cm ในทิศบวกและปล่อยจากหยุดนิ่งที่ t = 0 จงหาการกระจัด x จากตำแหน่งสมดุลที่ t = 1.1 s (พร้อมเครื่องหมาย)

m = 0.5 kgk = 280 N/mA = 5 cmt = 1.1 s

x = cm

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 2.6 kg บนสปริงที่ k = 90 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 13 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด a_max

m = 2.6 kgk = 90 N/mA = 13 cm

a_max = m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 200 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 200 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 1900 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 200 kgk = 200 kN/mc = 1900 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 100 kg แขวนจากสปริง k₃ = 12 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 25 kN/m และ k₂ = 20 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: v = 97.98 m/s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

อัตราเร็วหลังเคลื่อนที่ไปตามระยะทาง

v = √(2·a·s) = √(2·4·1200) = 97.98 m/s

คำตอบ

v = 97.98 m/s

(352.7 km/h)

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 53.96 m

ช่วงที่มีแรงขับ

v₁ = 28·1 = 28 m/s

h₁ = ½·28·1² = 14 m

บินอิสระขึ้น

ที่จุดสูงสุดความเร็วเป็นศูนย์

Δh = v₁²/(2g) = 28²/(2·9.81) = 39.96 m

h_max = 14 + 39.96 = 53.96 m

คำตอบ

h_max = 53.96 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 6.243 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 45° − 0.1·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.07071) = 6.243 m/s²

คำตอบ

a = 6.243 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: d = 12.02 m

ความหน่วง

แรงทั้งสองชี้ลงตามเนิน มวลหักล้างกัน

a = 9.81·(sin 25° + 0.1·cos 25°) = 5.035 m/s²

ระยะทาง

d = v₀²/(2a) = 11²/(2·5.035) = 12.02 m

คำตอบ

d = 12.02 m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 75.75 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 20° = 31.95 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 20° = 11.63 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·11.63/9.81 = 2.371 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 31.95·2.371 = 75.75 m

คำตอบ

x = 75.75 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 6.486 s

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 45° = 23.33 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 45° = 23.33 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 55 + 23.33·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (23.33 + √(544.5 + 1079))/9.81 = 6.486 s

คำตอบ

t = 6.486 s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v = 23.53 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

สมดุลแรง

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

อัตราเร็ว

v = √(r·g·tan θ) = √(320·9.81·tan 10°) = 23.53 m/s

คำตอบ

v = 23.53 m/s

(84.7 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_min = 3.836 m/s

แรงตึงเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.5) = 3.836 m/s

คำตอบ

v_min = 3.836 m/s

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 95.17 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

อัตราเร็วในหน่วยฐาน

v = 110/3.6 = 30.56 m/s

สมดุลพลังงาน

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30.56²/(2·0.5·9.81) = 95.17 m

คำตอบ

d = 95.17 m

การเพิ่มอัตราเร็วเป็นสองเท่าทำให้ระยะหยุดยาวขึ้นสี่เท่า

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 3.962 m/s

พลังงานที่ปลดปล่อยและที่สูญเสีย

m₂g·d = 29.43·2 = 58.86 J

μ·m₁g·d = 0.2·29.43·2 = 11.77 J

พลังงานจลน์ของก้อนวัตถุทั้งสอง

½(m₁ + m₂)v² = 47.09 → v = √(2·47.09/6) = 3.962 m/s

คำตอบ

v = 3.962 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 1262 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การแกว่งหลังการชน

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.1) = 1.401 m/s

การชน

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 4.5)·1.401/0.005 = 1262 m/s

คำตอบ

v = 1262 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v₁ = 17.88 m/s

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·15.5) = 12.33 m/s

โมเมนตัมในการชน

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·12.33/2000 = 17.88 m/s

คำตอบ

v₁ = 17.88 m/s

(64.37 km/h)

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: N = 648.2 rev

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·2100/60 = 219.9 rad/s

งานของเบรกเท่ากับพลังงานจลน์

½·I·ω² = ½·32·219.9² = 773777 J

θ = 773777/190 = 4073 rad

จำนวนรอบ

N = θ/2π = 648.2 rev

คำตอบ

N = 648.2 rev

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 2.385 rad/s

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อยหลังการชน

I = M·L²/3 + m·d² = 7.5·1.7²/3 + 0.03·1.03² = 7.257 kg·m²

โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดหมุน

แรงที่จุดหมุนผ่านจุดหมุน จึงไม่มีโมเมนต์ที่นั่นระหว่างการชน

m·v·d = I·ω → ω = 0.03·560·1.03/7.257 = 2.385 rad/s

คำตอบ

ω = 2.385 rad/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 14.92 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/100.5 = 14.92 N·m

คำตอบ

T₁ = 14.92 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 2.833 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมโอบ

θ = 2.764 rad

แรงตึงด้านหย่อน

e^μθ = e^0.8293 = 2.292, T₂ = 500/2.292 = 218.2 N

กำลัง

P = (500 − 218.2)·10.05 = 2.833 kW

คำตอบ

P = 2.833 kW

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: x = 3.116 cm

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(280/0.5) = 23.66 rad/s

ω·t = 23.66·1.1 = 26.03 rad

การกระจัด

x = A·cos(ω·t) = 5·cos(26.03) = 3.116 cm

คำตอบ

x = 3.116 cm

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: a_max = 4.5 m/s²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(90/2.6) = 5.883 rad/s

ความเร่งสูงสุด

a_max = A·ω² = 0.13·5.883² = 4.5 m/s²

คำตอบ

a_max = 4.5 m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1502

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·200) = 12649 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 1900/12649 = 0.1502

คำตอบ

ζ = 0.1502

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 1.549 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 25 + 20 = 45 kN/m

k_eq = 45·12/(45 + 12) = 9.474 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(9474/100) = 9.733 rad/s

f_n = 9.733/(2π) = 1.549 Hz

คำตอบ

f_n = 1.549 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics