พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 22 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 5 m/s² รถตำรวจใช้เวลานานเท่าใดจึงจะตามทัน จงหา t

v_car = 22 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

ปล่อยหินจากหยุดนิ่งลงบ่อน้ำ ได้ยินเสียงน้ำกระเซ็น 1.6 s หลังปล่อยหิน อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความลึก d ของบ่อ

t_total = 1.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

เลื่อนหนัก 20 kg ถูกดึงไปบนหิมะราบด้วยเชือกที่ทำมุม 15° เหนือแนวนอนด้วยแรง 200 N สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของเลื่อน

m = 20 kgF = 200 Nθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 3.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 4 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 55° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 24 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 39 m/s ที่มุม 30° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 5 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 39 m/sθ = 30°h_roof = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ลูกบอลเล็กบนเชือกยาว 1.3 m เคลื่อนที่เป็นวงกลมแนวนอนโดยเชือกทำมุมคงที่ 20° กับแนวดิ่ง (ลูกตุ้มกรวย) ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาเวลา T ที่ใช้ต่อหนึ่งรอบ

L = 1.3 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

รถเข็นเล็กถูกปล่อยจากหยุดนิ่งบนรางไร้แรงเสียดทานและวิ่งเข้าสู่ลูปแนวดิ่งรัศมี 3.5 m ต้องเริ่มจากความสูงต่ำสุด h_min เหนือฐานของลูปเท่าใดจึงจะอยู่บนรางที่จุดสูงสุดของลูป

R = 3.5 mv₀ = 0

h_min = m

9.งานและพลังงานปานกลาง

รถ 1200 kg ขึ้นเนินลาด 4° ด้วย 36 km/h คงที่ แรงต้านอากาศและแรงต้านการหมุนของล้อรวมกันเป็น 250 N จงหากำลัง P ที่ล้อต้องส่ง ในหน่วย kW

m = 1200 kgθ = 4°F_r = 250 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 10 kg เริ่มจากหยุดนิ่งที่ฐานของเนินลาด 35° และถูกดึงขึ้นเนินด้วยแรงคงที่ 145 N ขนานกับเนิน สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.2 จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุหลังเคลื่อนที่ขึ้นเนินไป 6 m

m = 10 kgF = 145 Nθ = 35°μ = 0.2d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 2 kg เคลื่อนที่ด้วย 3 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 3 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

รถมวล 1400 kg ชนรถที่จอดอยู่มวล 1200 kg ซากรถติดกันและไถลไป 23.5 m ก่อนหยุด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.6 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v₁ ของรถคันแรกก่อนชน

m₁ = 1400 kgm₂ = 1200 kgd = 23.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 7.5 kg ยาว 0.9 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งขณะแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 7.5 kgL = 0.9 mg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกระบอกตัน เริ่มจากหยุดนิ่งและกลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 25° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² รัศมีของมันคือ 0.1 m จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของมันหลังกลิ้งไปตามทางลาด 6 m

θ = 25°s = 6 mI = ½·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.1 m

ω = rad/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 1.5 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองขนาดเล็กที่มี 16 ฟันและโมดูล 3 mm จงหาแรงสัมผัส F_t ที่ฟันของเฟืองขนาดเล็ก

P = 1.5 kWn = 960 rpmN₁ = 16m = 3 mm

F_t = N

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 30 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 18 ฟัน โครงพาเฟืองดาวเคราะห์ถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 1440 rpm จงหาความเร็ว n_r ของเฟืองวงแหวน (ขนาด)

N_s = 30N_p = 18n_s = 1440 rpm

n_r = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 3.8 kg บนสปริง k = 70 N/m ถูกดึงไป 15 cm ในทิศบวกและปล่อยจากหยุดนิ่งที่ t = 0 จงหาความเร็ว v ที่ t = 1.05 s (พร้อมเครื่องหมาย)

m = 3.8 kgk = 70 N/mA = 15 cmt = 1.05 s

v = m/s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 3.6 kg บนสปริงที่ k = 20 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 11 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด a_max

m = 3.6 kgk = 20 N/mA = 11 cm

a_max = m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 20 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 80 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 250 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 20 kgk = 80 kN/mc = 250 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 50 kg แขวนจากสปริง k₃ = 10 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 40 kN/m และ k₂ = 12 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 8.8 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·22/5 = 8.8 s

คำตอบ

t = 8.8 s

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 44 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 12.01 m

เวลาสองส่วน

½·9.81·t₁² = 343·(1.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 548.8 = 0

เวลาที่ตก

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·548.8))/(2·4.905) = 1.565 s

ความลึก

d = ½·9.81·1.565² = 12.01 m

คำตอบ

d = 12.01 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 7.493 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตั้งฉาก

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 200·sin 15° = 144.4 N

แรงในแนวนอน

m·a = F·cos θ − μ·N = 193.2 − 43.33

a = 149.9/20 = 7.493 m/s²

คำตอบ

a = 7.493 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 21.97 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 6.867)/7.5 = 4.316 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·4.316 + 6.867 = 21.97 N

คำตอบ

T = 21.97 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 19.7 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 55° = 13.77 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 55° = 19.66 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 19.66²/(2·9.81) = 19.7 m

คำตอบ

H = 19.7 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 125 m

แยกความเร็วต้น

v_x = 33.77 m/s, v_y = 19.5 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

5 = 19.5·t − 4.905·t²

t = (19.5 + √(19.5² − 2·9.81·5))/9.81 = 3.7 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 33.77·3.7 = 125 m

คำตอบ

x = 125 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 2.217 s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

รัศมีของวงกลม

r = L·sin θ = 1.3·sin 20° = 0.4446 m

อัตราเร็ว

แรงตึงและแรงโน้มถ่วงรวมกันให้แรงเข้าด้านใน: tan θ = v²/(r·g)

v = √(r·g·tan θ) = √(0.4446·9.81·tan 20°) = 1.26 m/s

คาบ

T = 2π·r/v = 2π·0.4446/1.26 = 2.217 s

คำตอบ

T = 2.217 s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: h_min = 8.75 m

เงื่อนไขที่จุดสูงสุด

m·g = m·v²/R → v² = g·R

การอนุรักษ์พลังงาน

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·3.5 = 8.75 m

คำตอบ

h_min = 8.75 m

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: P = 10.71 kW

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) กำลังคือแรงคูณอัตราเร็ว: P = F·v

แรงขับ

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 4° = 821.2 N

F = 821.2 + 250 = 1071 N

กำลัง

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1071·10 = 10712 W = 10.71 kW

คำตอบ

P = 10.71 kW

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 9.338 m/s

แรงตามแนวพื้นเอียง

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 56.27 N

μ·mg·cos θ = 16.07 N

งาน–พลังงาน

½mv² = (145 − 72.34)·6 = 436 J

v = √(2·436/10) = 9.338 m/s

คำตอบ

v = 9.338 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = −0.6 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (2 − 3)/(2 + 3)·3 = −0.6 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 3)·3 = 2.4 m/s

คำตอบ

v′₁ = −0.6 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเลื่อนตัวแรกกระดอนกลับ

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v₁ = 30.89 m/s

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·23.5) = 16.63 m/s

โมเมนตัมในการชน

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·16.63/1400 = 30.89 m/s

คำตอบ

v₁ = 30.89 m/s

(111.2 km/h)

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 5.718 rad/s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 = 7.5·9.81·0.45 = 33.11 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 = 7.5·0.9²/3 = 2.025 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 33.11 → ω = √(2·33.11/2.025) = 5.718 rad/s

คำตอบ

ω = 5.718 rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 57.59 rad/s

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

ความสูงที่ตก

h = s·sin θ = 6·sin 25° = 2.536 m

สมดุลพลังงานกับการกลิ้ง

กลิ้งโดยไม่ไถล: ω = v/r และแรงเสียดทานไม่ทำงานที่จุดสัมผัส

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.5)

v = √(2·9.81·2.536/1.5) = 5.759 m/s

ω = v/r = 5.759/0.1 = 57.59 rad/s

คำตอบ

ω = 57.59 rad/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: F_t = 621.7 N

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

แรงบิดที่เฟืองขนาดเล็ก

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T = P/ω = 1500/100.5 = 14.92 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์

d = m·N = 3·16 = 48 mm

แรงสัมผัส

F_t = 2T/d = 2·14.92/0.048 = 621.7 N

คำตอบ

F_t = 621.7 N

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_r = 654.5 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·18 = 66

สมการวิลลิสเมื่อยึดโครงพา

เมื่อ n_c = 0 เฟืองดวงอาทิตย์ขับเฟืองวงแหวนผ่านเฟืองดาวเคราะห์ ซึ่งทำหน้าที่เป็นเฟืองกลาง

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1440·30/66 = −654.5 rpm

|n_r| = 654.5 rpm

คำตอบ

n_r = 654.5 rpm

เฟืองวงแหวนหมุนสวนทางกับเฟืองดวงอาทิตย์

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v = 0.6302 m/s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(70/3.8) = 4.292 rad/s

ω·t = 4.292·1.05 = 4.507 rad

ความเร็ว

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.15·4.292·sin(4.507) = 0.6302 m/s

คำตอบ

v = 0.6302 m/s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: a_max = 0.6111 m/s²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(20/3.6) = 2.357 rad/s

ความเร่งสูงสุด

a_max = A·ω² = 0.11·2.357² = 0.6111 m/s²

คำตอบ

a_max = 0.6111 m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.09882

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·20) = 2530 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 250/2530 = 0.09882

คำตอบ

ζ = 0.09882

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 2.061 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 40 + 12 = 52 kN/m

k_eq = 52·10/(52 + 10) = 8.387 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(8387/50) = 12.95 rad/s

f_n = 12.95/(2π) = 2.061 Hz

คำตอบ

f_n = 2.061 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics