พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 72 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 3 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 72 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

รถรางเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งด้วย 2.5 m/s² เป็นเวลา 11 s จากนั้นวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ 22 s และสุดท้ายเบรกด้วย 2.5 m/s² จนหยุด จงหาระยะทางรวม s ระหว่างสองป้ายหยุด

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 11 st₂ = 22 sa₃ = −2.5 m/s²

s = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 12 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.15 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 12 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 1 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 3.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 1 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 50° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 38 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 28 m/s ที่มุม 70° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 21 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 28 m/sθ = 70°h_roof = 21 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ทางโค้งรัศมี 190 m เอียง 20° รถผ่านได้ด้วยอัตราเร็ว v เท่าใดโดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทานเลย ใช้ g = 9.81 m/s²

r = 190 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ทางโค้งรัศมี 270 m เอียง 25° และสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.4 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านทางโค้งได้โดยไม่ไถลขึ้นและออกนอกทาง

r = 270 mθ = 25°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 2.5 kg เลื่อนลงไป 19 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.25 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 2.5 kgθ = 35°μ = 0.25d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 0.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 1.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 1.5 m (μ = 0.2) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 800 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 0.5 kgh = 1.5 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 10 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 3.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

รถมวล 1100 kg ชนรถที่จอดอยู่มวล 1500 kg ซากรถติดกันและไถลไป 5 m ก่อนหยุด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.75 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v₁ ของรถคันแรกก่อนชน

m₁ = 1100 kgm₂ = 1500 kgd = 5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 5.5 kg ยาว 0.8 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งขณะแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 5.5 kgL = 0.8 mg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ห่วงบาง เริ่มจากหยุดนิ่งและกลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 10° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของมันหลังกลิ้งไปตามทางลาด 8.5 m

θ = 10°s = 8.5 mI = m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 3 kW หมุนที่ 1500 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 25 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 40 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 96% หาแรงบิดขาออก T₂ บนเพลาของเฟือง

P = 3 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 25N₂ = 40η = 96%

T₂ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ขับ 120 mm ที่ 2880 rpm กับพูลเลย์ 300 mm ศูนย์กลางห่างกัน 600 mm สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานคือ 0.35 และแรงตึงด้านตึงต้องไม่เกิน 600 N จงหากำลังสูงสุด P ที่สายพานส่งได้โดยไม่ลื่น ในหน่วย kW (ไม่คิดผลของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์)

d₁ = 120 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 300 mmC = 600 mmμ = 0.35T₁ = 600 N

P = kW

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 1.2 kg บนสปริง k = 30 N/m แกว่งบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทานด้วยแอมพลิจูด 5 cm จงหาอัตราเร็ว v ของมันเมื่ออยู่ห่างจากตำแหน่งสมดุล 1 cm

m = 1.2 kgk = 30 N/mA = 5 cmx = 1 cm

v = m/s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 1.8 kg บนสปริงที่ k = 220 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 10 cm แล้วปล่อย หาอัตราเร็วสูงสุด v_max

m = 1.8 kgk = 220 N/mA = 10 cm

v_max = m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 25 mm ตามด้วยยอด 2 mm หลังจากนั้น 5 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 25 mmx₅ = 2 mmn = 5

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 30 kN/m และ k₂ = 10 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 25 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 66.67 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3) = 66.67 m

คำตอบ

s = 66.67 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 907.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

อัตราเร็วสูงสุด

v = a₁·t₁ = 2.5·11 = 27.5 m/s

ระยะทางของแต่ละช่วง

s₁ = ½·2.5·11² = 151.3 m

s₂ = 27.5·22 = 605 m

s₃ = 27.5²/(2·2.5) = 151.3 m

ระยะทางรวม

s = 151.3 + 605 + 151.3 = 907.5 m

คำตอบ

s = 907.5 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 4.421 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 35° − 0.15·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1229) = 4.421 m/s²

คำตอบ

a = 4.421 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 6.976 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 2.943)/4.5 = 6.976 m/s²

คำตอบ

a = 6.976 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 145 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 50° = 24.43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 50° = 29.11 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·29.11/9.81 = 5.935 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 24.43·5.935 = 145 m

คำตอบ

x = 145 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 42.03 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แยกความเร็วต้น

v_x = 9.577 m/s, v_y = 26.31 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

21 = 26.31·t − 4.905·t²

t = (26.31 + √(26.31² − 2·9.81·21))/9.81 = 4.389 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 9.577·4.389 = 42.03 m

คำตอบ

x = 42.03 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v = 26.05 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

สมดุลแรง

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

อัตราเร็ว

v = √(r·g·tan θ) = √(190·9.81·tan 20°) = 26.05 m/s

คำตอบ

v = 26.05 m/s

(93.77 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 53.11 m/s

สมดุลแรง

แรงเสียดทานชี้ลงตามเนิน

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

อัตราเร็ว

v = √(270·9.81·0.7851/0.7373) = 53.11 m/s

คำตอบ

v_max = 53.11 m/s

(191.2 km/h)

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 95.43 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 24.53·0.8192 = 20.09 N

F = μN = 0.25·20.09 = 5.022 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 5.022·19 = 95.43 J

คำตอบ

W_f = 95.43 J

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 12.13 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 4.905·(1.5 − 0.2·1.5) = 5.886 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 5.886 → x = √(2·5.886/800) = 0.1213 m = 12.13 cm

คำตอบ

x = 12.13 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = −1.765 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3.5 − 5)/(3.5 + 5)·10 = −1.765 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 5)·10 = 8.235 m/s

คำตอบ

v′₁ = −1.765 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเลื่อนตัวแรกกระดอนกลับ

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v₁ = 20.27 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·5) = 8.578 m/s

โมเมนตัมในการชน

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·8.578/1100 = 20.27 m/s

คำตอบ

v₁ = 20.27 m/s

(72.99 km/h)

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 6.065 rad/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 = 5.5·9.81·0.4 = 21.58 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 = 5.5·0.8²/3 = 1.173 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 21.58 → ω = √(2·21.58/1.173) = 6.065 rad/s

คำตอบ

ω = 6.065 rad/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: v = 3.805 m/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

ความสูงที่ตก

h = s·sin θ = 8.5·sin 10° = 1.476 m

สมดุลพลังงานกับการกลิ้ง

กลิ้งโดยไม่ไถล: ω = v/r และแรงเสียดทานไม่ทำงานที่จุดสัมผัส

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·1.476/2) = 3.805 m/s

คำตอบ

v = 3.805 m/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₂ = 29.34 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/157.1 = 19.1 N·m

แรงบิดขาออก

T₂ = 19.1·40/25·0.96 = 29.34 N·m

คำตอบ

T₂ = 29.34 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 6.84 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมโอบ

θ = 2.84 rad

แรงตึงด้านหย่อน

e^μθ = e^0.9942 = 2.702, T₂ = 600/2.702 = 222 N

กำลัง

P = (600 − 222)·18.1 = 6.84 kW

คำตอบ

P = 6.84 kW

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v = 0.2449 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

ความถี่เชิงมุม

ω = √(30/1.2) = 5 rad/s

อัตราเร็วที่ x

v = ω·√(A² − x²) = 5·√(0.05² − 0.01²) = 0.2449 m/s

คำตอบ

v = 0.2449 m/s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v_max = 1.106 m/s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(220/1.8) = 11.06 rad/s

อัตราเร็วสูงสุด

v_max = A·ω = 0.1·11.06 = 1.106 m/s

คำตอบ

v_max = 1.106 m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.08014

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/5)·ln(25/2) = 0.5051

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5051/√(39.48 + 0.2552) = 0.08014

คำตอบ

ζ = 0.08014

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 40 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 30 + 10 = 40 kN/m

คำตอบ

k_eq = 40 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics