พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 100 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 4.5 m/s² จนหยุด การเบรกใช้เวลานานเท่าใด หา t

v₀ = 100 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

ลูกบอล A ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 35 m ขณะเดียวกันลูกบอล B ถูกขว้างขึ้นตรง ๆ จากพื้นด้านล่างโดยตรงด้วย 23 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลพบกันที่ความสูง y เหนือพื้นเท่าใด

H = 35 mv_0B = 23 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

มวล 9 kg และ 7.5 kg แขวนสองข้างของรอกเบาไร้แรงเสียดทาน เชื่อมด้วยเชือกเบา ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 9 kgm₂ = 7.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 4.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 2.5 kg โต๊ะไร้แรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 70° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 38 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 30 m/s ที่มุม 50° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 10 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 30 m/sθ = 50°h_roof = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถมวล 1500 kg ขับข้ามยอดเนินบนถนนด้วย 26 m/s ยอดเนินเป็นส่วนโค้งวงกลมรัศมี 100 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก N ของถนนที่กระทำต่อรถที่จุดสูงสุด

m = 1500 kgv = 26 m/sr = 100 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ทางโค้งรัศมี 180 m เอียง 30° และสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต่ำสุด v_min ที่รถผ่านทางโค้งได้โดยไม่ไถลลงตามทางเอียง

r = 180 mθ = 30°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 0.5 kg เลื่อนลงไป 13 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.25 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 0.5 kgθ = 35°μ = 0.25d = 13 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.งานและพลังงานยาก

สปริงที่มีค่าคงตัว 5000 N/m ที่ฐานของเนินลาด 30° ถูกกด 10 cm กับก้อนวัตถุ 1 kg แล้วปล่อย สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับเนินคือ 0.2 ก้อนวัตถุเคลื่อนที่ขึ้นเนินจากจุดปล่อยไกลเท่าใด d ก่อนหยุด (ไม่ต้องคิดระยะสั้น ๆ ที่สปริงดัน คือให้คิดแรงเสียดทานและแรงโน้มถ่วงตลอดระยะ d)

m = 1 kgk = 5000 N/mx = 10 cmθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุน 15 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 3.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบา และฝังอยู่ในนั้น ก้อนไม้แกว่งขึ้นจนสูงกว่าตอนเริ่มต้น 13 cm ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 15 gM = 3.5 kgh = 13 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ที่ทางแยก รถมวล 1500 kg ที่แล่นไปทางตะวันออกด้วย 15 m/s ชนกับรถมวล 1100 kg ที่แล่นไปทางเหนือด้วย 11 m/s รถทั้งสองคันติดกัน จงหาทิศทาง θ ของซากรถทันทีหลังการชน วัดจากทิศตะวันออกไปทางเหนือ

m₁ = 1500 kgv₁ = 15 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 11 m/s (N)

θ = °

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ล้อช่วยแรงที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย 28 kg·m² หมุนที่ 600 rpm เบรกให้แรงบิดเสียดทานคงที่ 120 N·m ล้อช่วยแรงหมุนกี่รอบ N ก่อนหยุด

I = 28 kg·m²n = 600 rpmT_b = 120 N·m

N = rev

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมตัน เริ่มจากหยุดนิ่งและกลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 20° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของมันหลังกลิ้งไปตามทางลาด 8.5 m

θ = 20°s = 8.5 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 4 kW หมุนที่ 1440 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 60 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 80 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 96% หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 4 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 60N₂ = 80η = 96%

T₁ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (25 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1500 rpm ขับเฟือง B (72 ฟัน) เฟือง C (32 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (36 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1500 rpmA = 25B = 72C = 32D = 36

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 1.8 m ใช้ g = 9.81 m/s² หาคาบ T สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ

L = 1.8 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 2.5 kg บนสปริงที่ k = 450 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 2 cm แล้วปล่อย หาพลังงานรวม E ของการสั่น

m = 2.5 kgk = 450 N/mA = 2 cm

E = J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 10 mm ตามด้วยยอด 3.9 mm หนึ่งรอบถัดมา หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 10 mmx₁ = 3.9 mmn = 1

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 100 kg แขวนจากสปริง k₃ = 30 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 100 kN/m และ k₂ = 20 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 100 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 6.173 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

เวลาเบรก

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/4.5 = 6.173 s

คำตอบ

t = 6.173 s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: y = 23.64 m

เวลาที่พบกัน

ทิศขึ้นเป็นบวก พื้นคือ y = 0

35 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 35/23 = 1.522 s

ความสูงที่พบกัน

y = 23·1.522 − ½·9.81·1.522² = 23.64 m

คำตอบ

y = 23.64 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 80.26 N

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความเร่ง

แรงขับสุทธิคือผลต่างของน้ำหนัก ซึ่งทำให้มวลรวมเคลื่อนที่

a = (9 − 7.5)·9.81/(9 + 7.5) = 0.8918 m/s²

แรงตึงจากมวลที่เบากว่า

T − m₂·g = m₂·a → T = 7.5·(9.81 + 0.8918) = 80.26 N

คำตอบ

T = 80.26 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 3.504 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 0)/7 = 3.504 m/s²

คำตอบ

a = 3.504 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 94.62 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 70° = 13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 70° = 35.71 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·35.71/9.81 = 7.28 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 13·7.28 = 94.62 m

คำตอบ

x = 94.62 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 80.99 m

แยกความเร็วต้น

v_x = 19.28 m/s, v_y = 22.98 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

10 = 22.98·t − 4.905·t²

t = (22.98 + √(22.98² − 2·9.81·10))/9.81 = 4.2 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 19.28·4.2 = 80.99 m

คำตอบ

x = 80.99 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: N = 4575 N

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงที่จุดสูงสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ลง) เป็นบวก

m·g − N = m·v²/r

N = 1500·9.81 − 1500·26²/100 = 14715 − 10140 = 4575 N

คำตอบ

N = 4575 N

รถรู้สึกเบาลง: ถนนดันขึ้นน้อยกว่าน้ำหนักของรถ

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_min = 28.23 m/s

สมดุลแรง

แรงเสียดทานชี้ขึ้นตามเนิน

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

อัตราเร็ว

v = √(180·9.81·0.4134/0.916) = 28.23 m/s

คำตอบ

v_min = 28.23 m/s

(101.6 km/h)

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 13.06 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 4.905·0.8192 = 4.018 N

F = μN = 0.25·4.018 = 1.004 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 1.004·13 = 13.06 J

คำตอบ

W_f = 13.06 J

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 3.786 m

พลังงานสปริง

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·5000·0.1² = 25 J

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 25/(9.81·(0.5 + 0.2·0.866)) = 3.786 m

คำตอบ

d = 3.786 m

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 374.2 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การแกว่งหลังการชน

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.13) = 1.597 m/s

การชน

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 3.5)·1.597/0.015 = 374.2 m/s

คำตอบ

v = 374.2 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: θ = 28.27 °

องค์ประกอบของโมเมนตัม

p_x = 1500·15 = 22500 kg·m/s

p_y = 1100·11 = 12100 kg·m/s

ทิศทาง

tan θ = p_y/p_x = 0.5378 → θ = 28.27°

คำตอบ

θ = 28.27°

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: N = 73.3 rev

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

งานของเบรกเท่ากับพลังงานจลน์

½·I·ω² = ½·28·62.83² = 55270 J

θ = 55270/120 = 460.6 rad

จำนวนรอบ

N = θ/2π = 73.3 rev

คำตอบ

N = 73.3 rev

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: v = 6.383 m/s

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

ความสูงที่ตก

h = s·sin θ = 8.5·sin 20° = 2.907 m

สมดุลพลังงานกับการกลิ้ง

กลิ้งโดยไม่ไถล: ω = v/r และแรงเสียดทานไม่ทำงานที่จุดสัมผัส

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·2.907/1.4) = 6.383 m/s

คำตอบ

v = 6.383 m/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 26.53 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/150.8 = 26.53 N·m

คำตอบ

T₁ = 26.53 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 463 rpm

ขั้นแรก

n_B = 1500·25/72 = 520.8 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 520.8·32/36 = 463 rpm

คำตอบ

n_out = 463 rpm

อัตราทดรวม = 3.24 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: T = 2.691 s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

คาบของลูกตุ้ม

T = 2π·√(1.8/9.81) = 2.691 s

คำตอบ

T = 2.691 s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: E = 0.09 J

ความถี่เชิงมุม

ω = √(450/2.5) = 13.42 rad/s

พลังงาน

E = ½·k·A² = ½·450·0.02² = 0.09 J

คำตอบ

E = 0.09 J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1482

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/1)·ln(10/3.9) = 0.9416

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9416/√(39.48 + 0.8866) = 0.1482

คำตอบ

ζ = 0.1482

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 2.466 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 100 + 20 = 120 kN/m

k_eq = 120·30/(120 + 30) = 24 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(24000/100) = 15.49 rad/s

f_n = 15.49/(2π) = 2.466 Hz

คำตอบ

f_n = 2.466 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics