พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 2.25 m/s² ตามทางวิ่ง จงหาอัตราเร็ว v หลังวิ่งไป 1100 m

v₀ = 0a = 2.25 m/s²s = 1100 m

v = m/s

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 11 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 40 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 11 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 13 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 30° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 13 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 2 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 3.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 2 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบที่มุม 40° เหนือแนวนอนและตกห่างออกไป 130 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต้น v₀

θ = 40°R = 130 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 10 m/s ที่มุม 40° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 25 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 10 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 30 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.5 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 30 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 1.4 kg บนเชือกเบายาว 1.5 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดอัตราเร็วของมันคือ 10.5 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T_top ในเชือกที่จุดสูงสุด

m = 1.4 kgr = 1.5 mv_bottom = 10.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 45° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.15 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 3 m

θ = 45°μ = 0.15d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 2.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 2 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 2.5 m (μ = 0.1) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 2500 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุเมื่อถึงสปริง

m = 2.5 kgh = 2 mL = 2.5 mμ = 0.1k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3 kg เคลื่อนที่ด้วย 6 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 1 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

รถมวล 1800 kg ชนรถที่จอดอยู่มวล 1000 kg ซากรถติดกันและไถลไป 6.5 m ก่อนหยุด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.5 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v₁ ของรถคันแรกก่อนชน

m₁ = 1800 kgm₂ = 1000 kgd = 6.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

มอเตอร์ทำให้ล้อช่วยแรงที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย 27 kg·m² เร่งจากหยุดนิ่งเป็น 2900 rpm ใน 23 s ไม่คิดการสูญเสีย จงหากำลังเฉลี่ย P_avg ที่มันจ่าย ใน kW

I = 27 kg·m²n = 2900 rpmt = 23 s

P_avg = kW

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 4 kg ยาว 1.6 m ห้อยนิ่งจากจุดหมุนไร้แรงเสียดทานที่ปลายบน กระสุน 45 g เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 340 m/s ชนแท่งที่ตำแหน่งต่ำกว่าจุดหมุน 0.99 m และฝังอยู่ในนั้น จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของแท่งทันทีหลังการชน

M = 4 kgL = 1.6 mm = 45 gv = 340 m/sd = 0.99 m

ω = rad/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

พูลเลย์ 160 mm ที่ 720 rpm ขับพูลเลย์ 315 mm ด้วยสายพานที่ลื่น 1.5 % จงหาความเร็ว n₂ ของพูลเลย์ตาม

n₁ = 720 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 315 mms = 1.5 %

n₂ = rpm

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในขบวนเฟืองผสม เฟือง A (16 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 2880 rpm และขับเฟือง B (40 ฟัน) เฟือง C (15 ฟัน) ยึดติดกับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D บนเพลาขาออก เพลาขาออกต้องหมุนที่ 691.2 rpm เฟือง D ต้องมีกี่ฟัน N_D

n_in = 2880 rpmA = 16B = 40C = 15n_out = 691.2 rpm

N_D =

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 2.2 m ใช้ g = 9.81 m/s² หาคาบ T สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ

L = 2.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

วัตถุแกว่งแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายด้วยคาบ 3.8 s และแอมพลิจูด 5 cm ต้องใช้เวลาสั้นที่สุด t เท่าใดในการเคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุลไปยังการกระจัด 3.75 cm

T = 3.8 sA = 5 cmx = 3.75 cm

t = s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 10 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 50 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 710 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 10 kgk = 50 kN/mc = 710 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 5 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 100 kN/m และ k₂ = 80 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: v = 70.36 m/s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

อัตราเร็วหลังเคลื่อนที่ไปตามระยะทาง

v = √(2·a·s) = √(2·2.25·1100) = 70.36 m/s

คำตอบ

v = 70.36 m/s

(253.3 km/h)

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 4.189 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−40 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 40 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (11 + √(11² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.189 s

คำตอบ

t = 4.189 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 3.206 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 30° − 0.2·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1732) = 3.206 m/s²

คำตอบ

a = 3.206 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 5.173 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 5.886)/5.5 = 5.173 m/s²

คำตอบ

a = 5.173 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v₀ = 35.99 m/s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แก้สูตรพิสัยหา v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·130/sin 80°) = 35.99 m/s

คำตอบ

v₀ = 35.99 m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 27.11 m

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 10·sin 40° = 6.428 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 6.428²/(2·9.81) = 2.106 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 25 + 2.106 = 27.11 m

คำตอบ

H = 27.11 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 12.13 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·30) = 12.13 m/s

คำตอบ

v_max = 12.13 m/s (43.67 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T_top = 34.23 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

พลังงานจลน์แปลงเป็นพลังงานศักย์ตลอดความสูง 2r

v_top² = 10.5² − 4·9.81·1.5 = 51.39 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

แรงตึงและแรงโน้มถ่วงชี้ลงทั้งคู่ เข้าหาศูนย์กลาง

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.4·51.39/1.5 − 1.4·9.81 = 34.23 N

คำตอบ

T_top = 34.23 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 5.948 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·3·(0.7071 − 0.15·0.7071)) = 5.948 m/s

คำตอบ

v = 5.948 m/s

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 5.86 m/s

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 24.53·(2 − 0.1·2.5) = 42.92 J

อัตราเร็วที่สปริง

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.75) = 5.86 m/s

คำตอบ

v = 5.86 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = 3 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3 − 1)/(3 + 1)·6 = 3 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 1)·6 = 9 m/s

คำตอบ

v′₁ = 3 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v₁ = 12.42 m/s

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·6.5) = 7.985 m/s

โมเมนตัมในการชน

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·7.985/1800 = 12.42 m/s

คำตอบ

v₁ = 12.42 m/s

(44.72 km/h)

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: P_avg = 54.13 kW

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

พลังงาน

E = ½·I·ω² = ½·27·303.7² = 1.245 × 10⁶ J

กำลังเฉลี่ย

P_avg = E/t = 1.245 × 10⁶/23 = 54133 W = 54.13 kW

คำตอบ

P_avg = 54.13 kW

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ω = 4.381 rad/s

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อยหลังการชน

I = M·L²/3 + m·d² = 4·1.6²/3 + 0.045·0.99² = 3.457 kg·m²

โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดหมุน

แรงที่จุดหมุนผ่านจุดหมุน จึงไม่มีโมเมนต์ที่นั่นระหว่างการชน

m·v·d = I·ω → ω = 0.045·340·0.99/3.457 = 4.381 rad/s

คำตอบ

ω = 4.381 rad/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n₂ = 360.2 rpm

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วเมื่อไม่มีการลื่น

720·160/315 = 365.7 rpm

เมื่อมีการลื่น

n₂ = 365.7·0.985 = 360.2 rpm

คำตอบ

n₂ = 360.2 rpm

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N_D = 25

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ความเร็วของเพลากลาง

n_B = n_C = 2880·16/40 = 1152 rpm

จำนวนฟันของเฟือง D

N_D = C·n_C/n_out = 15·1152/691.2 = 25

คำตอบ

N_D = 25

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: T = 2.975 s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

คาบของลูกตุ้ม

T = 2π·√(2.2/9.81) = 2.975 s

คำตอบ

T = 2.975 s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: t = 0.5129 s

ความถี่เชิงมุม

ω = 2π/T = 2π/3.8 = 1.653 rad/s

แก้สมการหาเวลา

0.75 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.75) = 0.8481 rad

t = 0.8481/1.653 = 0.5129 s

คำตอบ

t = 0.5129 s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.502

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·10) = 1414 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 710/1414 = 0.502

คำตอบ

ζ = 0.502

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 180 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 100 + 80 = 180 kN/m

คำตอบ

k_eq = 180 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics