พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 90 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 6 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 90 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

ลูกบอล A ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 25 m ขณะเดียวกันลูกบอล B ถูกขว้างขึ้นตรง ๆ จากพื้นด้านล่างโดยตรงด้วย 16 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลพบกันที่ความสูง y เหนือพื้นเท่าใด

H = 25 mv_0B = 16 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

เลื่อนหนัก 40 kg ถูกดึงไปบนหิมะราบด้วยเชือกที่ทำมุม 40° เหนือแนวนอนด้วยแรง 100 N สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของเลื่อน

m = 40 kgF = 100 Nθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุถูกผลักให้เริ่มไถลขึ้นทางลาด 25° ด้วยอัตราเร็ว 3.5 m/s สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² ไถลไปตามทางลาดไกลเท่าใด d ก่อนหยุด

v₀ = 3.5 m/sθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบด้วย 36 m/s และต้องตกห่างออกไป 50 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมยิง θ ที่น้อยกว่าในสองค่าที่เป็นไปได้

v₀ = 36 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 38 m/s ที่มุม 30° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 8 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 38 m/sθ = 30°h_roof = 8 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ในเครื่องเล่นโรเตอร์ในงานรื่นเริง ผู้เล่นยืนพิงผนังของกระบอกแนวดิ่งรัศมี 1.9 m เมื่อหมุนเร็วพอ พื้นจะเลื่อนลงและแรงเสียดทานพยุงผู้เล่นไว้ สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตคือ 0.8 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วเชิงมุมที่น้อยที่สุด ω ในหน่วย rad/s

r = 1.9 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลผูกกับเชือกยาว 0.5 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² อัตราเร็วต่ำสุด v_min ที่จุดสูงสุดที่ทำให้เชือกยังตึงอยู่พอดีคือเท่าใด

r = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

เครื่องยิงของเล่นมีสปริงแนวดิ่งที่มีค่าคงตัว 800 N/m วางลูกบอล 0.05 kg บนสปริงและกดสปริงลง 2 cm แล้วปล่อย ไม่คิดแรงต้านอากาศและมวลของสปริง จงหาความสูง h ที่ลูกบอลขึ้นไป วัดจากตำแหน่งของมันเมื่อสปริงถูกกด

m = 0.05 kgk = 800 N/mx = 2 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 10 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 5.3 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 1.5 m จงหาอัตราเร็ว v ของรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 10 kgh = 5.3 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 1 kg เคลื่อนที่ด้วย 5 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 3 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.2 kg กระทบผนังด้วย 30 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 9 m/s การสัมผัสใช้เวลา 50 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.2 kgv_in = 30 m/sv_out = 9 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ล้อช่วยแรงที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย 17.5 kg·m² หมุนที่ 700 rpm เบรกให้แรงบิดเสียดทานคงที่ 85 N·m ใช้เวลานานเท่าใด t จึงหยุด

I = 17.5 kg·m²n = 700 rpmT_b = 85 N·m

t = s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

จานตันสม่ำเสมอ (มวล 15 kg รัศมี 0.15 m) หมุนอิสระที่ 800 rpm รอบเพลาแนวดิ่งไร้แรงเสียดทาน วงแหวนบางมวล 18 kg รัศมีเท่ากันถูกปล่อยลงบนมันจากหยุดนิ่ง ให้ศูนย์กลางตรงกับเพลา และทั้งสองหมุนไปด้วยกันอย่างรวดเร็ว จงหาอัตราเร็วร่วม n₂ ของทั้งสองใน rpm

M_disc = 15 kgM_ring = 18 kgR = 0.15 mn₁ = 800 rpm

n₂ = rpm

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

พูลเลย์ 125 mm ที่ 2880 rpm ขับพูลเลย์ 400 mm ด้วยสายพานที่ลื่น 4 % จงหาความเร็ว n₂ ของพูลเลย์ตาม

n₁ = 2880 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 400 mms = 4 %

n₂ = rpm

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 200 mm กับพูลเลย์ 500 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 1000 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา

d₁ = 200 mmd₂ = 500 mmC = 1000 mm

θ = °

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 2.5 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 2.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

วัตถุแกว่งแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายด้วยคาบ 3.5 s และแอมพลิจูด 10 cm ต้องใช้เวลาสั้นที่สุด t เท่าใดในการเคลื่อนที่จากการกระจัดสูงสุด 10 cm ไปยังการกระจัด 8 cm

T = 3.5 sA = 10 cmx = 8 cm

t = s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 12 mm ตามด้วยยอด 1.8 mm หลังจากนั้น 3 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 12 mmx₃ = 1.8 mmn = 3

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 100 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 15 kN/m และ k₂ = 10 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 52.08 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·6) = 52.08 m

คำตอบ

s = 52.08 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: y = 13.02 m

เวลาที่พบกัน

ทิศขึ้นเป็นบวก พื้นคือ y = 0

25 − ½g·t² = 16·t − ½g·t² → t = 25/16 = 1.563 s

ความสูงที่พบกัน

y = 16·1.563 − ½·9.81·1.563² = 13.02 m

คำตอบ

y = 13.02 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 1.095 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตั้งฉาก

N = m·g − F·sin θ = 392.4 − 100·sin 40° = 328.1 N

แรงในแนวนอน

m·a = F·cos θ − μ·N = 76.6 − 32.81

a = 43.79/40 = 1.095 m/s²

คำตอบ

a = 1.095 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: d = 0.9617 m

ความหน่วง

แรงทั้งสองชี้ลงตามเนิน มวลหักล้างกัน

a = 9.81·(sin 25° + 0.25·cos 25°) = 6.369 m/s²

ระยะทาง

d = v₀²/(2a) = 3.5²/(2·6.369) = 0.9617 m

คำตอบ

d = 0.9617 m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: θ = 11.12 °

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

สูตรพิสัย

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/36² = 0.3785

มุม

2θ = 22.24° → θ = 11.12°

คำตอบ

θ = 11.12°

คำตอบอีกค่าหนึ่งคือ 90° − θ = 78.88°

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 111.7 m

แยกความเร็วต้น

v_x = 32.91 m/s, v_y = 19 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

8 = 19·t − 4.905·t²

t = (19 + √(19² − 2·9.81·8))/9.81 = 3.393 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 32.91·3.393 = 111.7 m

คำตอบ

x = 111.7 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: ω = 2.54 rad/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงที่กระทำต่อผู้เล่น

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

อัตราเร็วเชิงมุม

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.8·1.9)) = 2.54 rad/s

คำตอบ

ω = 2.54 rad/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_min = 2.215 m/s

แรงตึงเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.5) = 2.215 m/s

คำตอบ

v_min = 2.215 m/s

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: h = 0.3262 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

พลังงานสปริง

x = 2 cm = 0.02 m

½kx² = ½·800·0.02² = 0.16 J

ความสูง

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0.16/0.4905 = 0.3262 m

คำตอบ

h = 0.3262 m

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 6.718 m/s

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(5.3 − 3) = 45.13 m²/s²

v = 6.718 m/s

คำตอบ

v = 6.718 m/s

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = −2.5 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (1 − 3)/(1 + 3)·5 = −2.5 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 3)·5 = 2.5 m/s

คำตอบ

v′₁ = −2.5 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเลื่อนตัวแรกกระดอนกลับ

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 156 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.2·(9 + 30) = 7.8 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 7.8/0.05 = 156 N

คำตอบ

F_avg = 156 N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: t = 15.09 s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·700/60 = 73.3 rad/s

ความหน่วงและเวลา

α = T_b/I = 85/17.5 = 4.857 rad/s²

t = ω/α = 73.3/4.857 = 15.09 s

คำตอบ

t = 15.09 s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: n₂ = 235.3 rpm

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อย

I₁ = ½·15·0.15² = 0.1687 kg·m²

I₂ = 18·0.15² = 0.405 kg·m²

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 800·0.1687/0.5737 = 235.3 rpm

คำตอบ

n₂ = 235.3 rpm

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n₂ = 864 rpm

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วเมื่อไม่มีการลื่น

2880·125/400 = 900 rpm

เมื่อมีการลื่น

n₂ = 900·0.96 = 864 rpm

คำตอบ

n₂ = 864 rpm

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: θ = 162.7 °

มุมของสายพาน

asin(0.15) = 8.627°

มุมโอบ

θ = 180 − 2·8.627 = 162.7°

คำตอบ

θ = 162.7°

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 1.553 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.5/2π)² = 1.553 m

คำตอบ

L = 1.553 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: t = 0.3585 s

ความถี่เชิงมุม

ω = 2π/T = 2π/3.5 = 1.795 rad/s

แก้สมการหาเวลา

0.8 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.8) = 0.6435 rad

t = 0.6435/1.795 = 0.3585 s

คำตอบ

t = 0.3585 s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1001

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/3)·ln(12/1.8) = 0.6324

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6324/√(39.48 + 0.3999) = 0.1001

คำตอบ

ζ = 0.1001

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 2.516 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 15 + 10 = 25 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(25000/100) = 15.81 rad/s

f_n = 15.81/(2π) = 2.516 Hz

คำตอบ

f_n = 2.516 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics