พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 120 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 3 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 120 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 15 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 30 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² หาความสูงสูงสุด h_max เหนือพื้น

v₀ = 15 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

มวล 8 kg และ 1 kg แขวนสองข้างของรอกเบาไร้แรงเสียดทาน เชื่อมด้วยเชือกเบา ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของมวลทั้งสอง

m₁ = 8 kgm₂ = 1 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 2 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 3.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 2 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบที่มุม 40° เหนือแนวนอนและตกห่างออกไป 120 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต้น v₀

θ = 40°R = 120 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 16 m/s ที่มุม 25° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 60 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 16 m/sθ = 25°h = 60 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ในเครื่องเล่นโรเตอร์ในงานรื่นเริง ผู้เล่นยืนพิงผนังของกระบอกแนวดิ่งรัศมี 2.8 m เมื่อหมุนเร็วพอ พื้นจะเลื่อนลงและแรงเสียดทานพยุงผู้เล่นไว้ สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตคือ 0.7 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราการหมุนที่น้อยที่สุด n ในหน่วยรอบต่อนาที

r = 2.8 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 1.9 kg บนเชือกเบายาว 1.2 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดอัตราเร็วของมันคือ 11.5 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T_top ในเชือกที่จุดสูงสุด

m = 1.9 kgr = 1.2 mv_bottom = 11.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

รถ 1000 kg ขึ้นเนินลาด 4° ด้วย 54 km/h คงที่ แรงต้านอากาศและแรงต้านการหมุนของล้อรวมกันเป็น 550 N จงหากำลัง P ที่ล้อต้องส่ง ในหน่วย kW

m = 1000 kgθ = 4°F_r = 550 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 0.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 1 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 2 m (μ = 0.3) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 4000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 0.5 kgh = 1 mL = 2 mμ = 0.3k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 500 kg เคลื่อนที่ด้วย 22 m/s ชนรถมวล 1800 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์สูญเสียไปเท่าใด ΔK ในการชน

m₁ = 500 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.4 kg กระทบผนังด้วย 9 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 5 m/s การสัมผัสใช้เวลา 10 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.4 kgv_in = 9 m/sv_out = 5 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

มอเตอร์ให้แรงบิด 340 N·m ที่ 1700 rpm จงหากำลังขาออก P ของมันใน kW

T = 340 N·mn = 1700 rpm

P = kW

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ห่วงบาง มวล 18 kg กลิ้งโดยไม่ไถลที่ 4.5 m/s พลังงานจลน์รวมของมันกี่เปอร์เซ็นต์ p เป็นพลังงานการหมุน

m = 18 kgv = 4.5 m/sI = m·r²

p = %

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

พูลเลย์ 100 mm ที่ 1500 rpm ขับพูลเลย์ 450 mm ด้วยสายพานที่ลื่น 2 % จงหาความเร็ว n₂ ของพูลเลย์ตาม

n₁ = 1500 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 450 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (16 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1440 rpm ขับเฟือง B (60 ฟัน) เฟือง C (40 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (50 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1440 rpmA = 16B = 60C = 40D = 50

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

นักบินอวกาศบนดาวดวงอื่นพบว่าลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 1.9 m มีคาบ 2.91 s สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ จงหาความเร่งโน้มถ่วง g บนดาวดวงนั้น

L = 1.9 mT = 2.91 s

g = m/s²

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 3.6 kg บนสปริงที่ k = 80 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 3 cm แล้วปล่อย หาพลังงานรวม E ของการสั่น

m = 3.6 kgk = 80 N/mA = 3 cm

E = J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 50 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 10 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 710 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 50 kgk = 10 kN/mc = 710 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 5 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 60 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 10 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 185.2 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·3) = 185.2 m

คำตอบ

s = 185.2 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 41.47 m

ระยะที่ขึ้นเหนือหลังคา

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 15²/(2·9.81) = 11.47 m

ความสูงเหนือพื้น

h_max = 30 + 11.47 = 41.47 m

คำตอบ

h_max = 41.47 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 7.63 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความเร่ง

แรงขับสุทธิคือผลต่างของน้ำหนัก ซึ่งทำให้มวลรวมเคลื่อนที่

a = (8 − 1)·9.81/(8 + 1) = 7.63 m/s²

คำตอบ

a = 7.63 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 14.98 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 3.924)/5.5 = 5.529 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·5.529 + 3.924 = 14.98 N

คำตอบ

T = 14.98 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v₀ = 34.57 m/s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แก้สูตรพิสัยหา v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·120/sin 80°) = 34.57 m/s

คำตอบ

v₀ = 34.57 m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 62.33 m

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 16·sin 25° = 6.762 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 6.762²/(2·9.81) = 2.33 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 60 + 2.33 = 62.33 m

คำตอบ

H = 62.33 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: n = 21.36 rpm

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงที่กระทำต่อผู้เล่น

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

อัตราเร็วเชิงมุม

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·2.8)) = 2.237 rad/s

อัตราการหมุน

n = ω·60/(2π) = 21.36 rpm

คำตอบ

n = 21.36 rpm

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T_top = 116.2 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

พลังงานจลน์แปลงเป็นพลังงานศักย์ตลอดความสูง 2r

v_top² = 11.5² − 4·9.81·1.2 = 85.16 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

แรงตึงและแรงโน้มถ่วงชี้ลงทั้งคู่ เข้าหาศูนย์กลาง

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.9·85.16/1.2 − 1.9·9.81 = 116.2 N

คำตอบ

T_top = 116.2 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: P = 18.51 kW

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) กำลังคือแรงคูณอัตราเร็ว: P = F·v

แรงขับ

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 4° = 684.3 N

F = 684.3 + 550 = 1234 N

กำลัง

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1234·15 = 18515 W = 18.51 kW

คำตอบ

P = 18.51 kW

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 3.132 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 4.905·(1 − 0.3·2) = 1.962 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 1.962 → x = √(2·1.962/4000) = 0.03132 m = 3.132 cm

คำตอบ

x = 3.132 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK = 94696 J

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·22/2300 = 4.783 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·500·22² = 121000 J

K_after = ½·2300·4.783² = 26304 J

พลังงานที่สูญเสีย

ΔK = 121000 − 26304 = 94696 J

คำตอบ

ΔK = 94696 J

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 5.6 N·s

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.4·(5 + 9) = 5.6 N·s

คำตอบ

J = 5.6 N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: P = 60.53 kW

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·1700/60 = 178 rad/s

กำลัง

P = T·ω = 340·178 = 60528 W = 60.53 kW

คำตอบ

P = 60.53 kW

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: p = 50 %

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

ส่วนการเลื่อนตำแหน่งและส่วนการหมุน

E_trans = ½·m·v² = ½·18·4.5² = 182.3 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·182.3 = 182.3 J

สัดส่วนการหมุน

p = 182.3/364.5·100% = c/(1 + c)·100% = 50%

คำตอบ

p = 50 %

สัดส่วนขึ้นกับรูปร่างเท่านั้น ไม่ขึ้นกับมวลหรืออัตราเร็ว

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n₂ = 326.7 rpm

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วเมื่อไม่มีการลื่น

1500·100/450 = 333.3 rpm

เมื่อมีการลื่น

n₂ = 333.3·0.98 = 326.7 rpm

คำตอบ

n₂ = 326.7 rpm

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 307.2 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

n_B = 1440·16/60 = 384 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 384·40/50 = 307.2 rpm

คำตอบ

n_out = 307.2 rpm

อัตราทดรวม = 4.687 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: g = 8.858 m/s²

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หา g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.9/2.91² = 8.858 m/s²

คำตอบ

g = 8.858 m/s²

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: E = 0.036 J

ความถี่เชิงมุม

ω = √(80/3.6) = 4.714 rad/s

พลังงาน

E = ½·k·A² = ½·80·0.03² = 0.036 J

คำตอบ

E = 0.036 J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.502

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·50) = 1414 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 710/1414 = 0.502

คำตอบ

ζ = 0.502

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 8.571 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/60 + 1/10 → k_eq = 60·10/(60 + 10) = 8.571 kN/m

คำตอบ

k_eq = 8.571 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics