พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 120 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 6 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 120 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

รถรางเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งด้วย 1.5 m/s² เป็นเวลา 5 s จากนั้นวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ 16 s และสุดท้ายเบรกด้วย 2 m/s² จนหยุด จงหาระยะทางรวม s ระหว่างสองป้ายหยุด

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 5 st₂ = 16 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องไถลไปบนพื้นราบด้วยอัตราเร็วต้น 2.5 m/s และหยุดหลังไป 1.1 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ μ

v₀ = 2.5 m/sd = 1.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 5.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 5.5 kg โต๊ะไร้แรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 5.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 65° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 38 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 40° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 50 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 29 m/sθ = 40°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ทางโค้งรัศมี 300 m เอียง 20° รถผ่านได้ด้วยอัตราเร็ว v เท่าใดโดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทานเลย ใช้ g = 9.81 m/s²

r = 300 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 0.4 kg ผูกกับเชือกยาว 1.4 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 5 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 0.4 kgr = 1.4 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 5 kg เลื่อนลงไป 17 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 25° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.35 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 5 kgθ = 25°μ = 0.35d = 17 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 5 kg เริ่มจากหยุดนิ่งที่ฐานของเนินลาด 35° และถูกดึงขึ้นเนินด้วยแรงคงที่ 50 N ขนานกับเนิน สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.25 จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุหลังเคลื่อนที่ขึ้นเนินไป 9 m

m = 5 kgF = 50 Nθ = 35°μ = 0.25d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุน 20 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 3.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบา และฝังอยู่ในนั้น ก้อนไม้แกว่งขึ้นจนสูงกว่าตอนเริ่มต้น 9 cm ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 20 gM = 3.5 kgh = 9 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 5 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 1 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 0.6 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 25° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 5 gM = 1 kgL = 0.6 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ก้อนมวล 14.5 kg ห้อยจากเชือกเบาที่พันรอบรอก ซึ่งเป็นจานตันสม่ำเสมอมวล 17 kg รัศมี 0.5 m ที่หมุนบนแกนนอนไร้แรงเสียดทาน ปล่อยก้อนมวลจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T ในเชือก

m = 14.5 kgM = 17 kgR = 0.5 mg = 9.81 m/s²

T = N

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ห่วงบาง มวล 7 kg กลิ้งโดยไม่ไถลที่ 10 m/s จงหาพลังงานจลน์รวม E_k ของมัน

m = 7 kgv = 10 m/sI = m·r²

E_k = J

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

พูลเลย์ 100 mm ที่ 960 rpm ขับพูลเลย์ 315 mm ด้วยสายพานที่ลื่น 4 % จงหาความเร็ว n₂ ของพูลเลย์ตาม

n₁ = 960 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 315 mms = 4 %

n₂ = rpm

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

มอเตอร์ 1.1 kW ที่ 1440 rpm ขับเฟือง A (30 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (32 ฟัน) เฟือง C (30 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (80 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 96% จงหาแรงบิดขาออก T_out

P = 1.1 kWn_in = 1440 rpmA = 30B = 32C = 30D = 80η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 2.5 kg บนสปริง k = 110 N/m ถูกดึงไป 9 cm ในทิศบวกและปล่อยจากหยุดนิ่งที่ t = 0 จงหาความเร็ว v ที่ t = 1.5 s (พร้อมเครื่องหมาย)

m = 2.5 kgk = 110 N/mA = 9 cmt = 1.5 s

v = m/s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 3.3 kg บนสปริงที่ k = 270 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 7 cm แล้วปล่อย หาพลังงานรวม E ของการสั่น

m = 3.3 kgk = 270 N/mA = 7 cm

E = J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 10 mm ตามด้วยยอด 2.8 mm หลังจากนั้น 5 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 10 mmx₅ = 2.8 mmn = 5

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 50 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 40 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 5 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 92.59 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·6) = 92.59 m

คำตอบ

s = 92.59 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 152.8 m

อัตราเร็วสูงสุด

v = a₁·t₁ = 1.5·5 = 7.5 m/s

ระยะทางของแต่ละช่วง

s₁ = ½·1.5·5² = 18.75 m

s₂ = 7.5·16 = 120 m

s₃ = 7.5²/(2·2) = 14.06 m

ระยะทางรวม

s = 18.75 + 120 + 14.06 = 152.8 m

คำตอบ

s = 152.8 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: μ = 0.2896

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความหน่วง

a = v₀²/(2d) = 2.5²/(2·1.1) = 2.841 m/s²

สัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.841/9.81 = 0.2896

คำตอบ

μ = 0.2896

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 4.905 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 0)/11 = 4.905 m/s²

คำตอบ

a = 4.905 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 60.45 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 65° = 16.06 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 65° = 34.44 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 34.44²/(2·9.81) = 60.45 m

คำตอบ

H = 60.45 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 5.616 s

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 40° = 22.22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 40° = 18.64 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 50 + 18.64·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.64 + √(347.5 + 981))/9.81 = 5.616 s

คำตอบ

t = 5.616 s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v = 32.73 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

สมดุลแรง

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

อัตราเร็ว

v = √(r·g·tan θ) = √(300·9.81·tan 20°) = 32.73 m/s

คำตอบ

v = 32.73 m/s

(117.8 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 11.07 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 0.4·9.81 + 0.4·5²/1.4 = 3.924 + 7.143 = 11.07 N

คำตอบ

T = 11.07 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 264.5 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 49.05·0.9063 = 44.45 N

F = μN = 0.35·44.45 = 15.56 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 15.56·17 = 264.5 J

คำตอบ

W_f = 264.5 J

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 6.524 m/s

แรงตามแนวพื้นเอียง

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

mg·sin θ = 28.13 N

μ·mg·cos θ = 10.04 N

งาน–พลังงาน

½mv² = (50 − 38.18)·9 = 106.4 J

v = √(2·106.4/5) = 6.524 m/s

คำตอบ

v = 6.524 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 233.9 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การแกว่งหลังการชน

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.09) = 1.329 m/s

การชน

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 3.5)·1.329/0.02 = 233.9 m/s

คำตอบ

v = 233.9 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 211.1 m/s

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 25°) = 0.05622 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.05622) = 1.05 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 1.005·1.05/0.005 = 211.1 m/s

คำตอบ

v = 211.1 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: T = 52.57 N

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ก้อนมวลและรอก

ก้อนวัตถุ: m·g − T = m·a

รอก: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

ความเร่ง

a = m·g/(m + M/2) = 14.5·9.81/(14.5 + 8.5) = 6.185 m/s²

แรงตึง

T = m·(g − a) = 14.5·(9.81 − 6.185) = 52.57 N

คำตอบ

T = 52.57 N

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: E_k = 700 J

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

ส่วนการเลื่อนตำแหน่งและส่วนการหมุน

E_trans = ½·m·v² = ½·7·10² = 350 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·350 = 350 J

รวม

E_k = 350 + 350 = 700 J

คำตอบ

E_k = 700 J

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n₂ = 292.6 rpm

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วเมื่อไม่มีการลื่น

960·100/315 = 304.8 rpm

เมื่อมีการลื่น

n₂ = 304.8·0.96 = 292.6 rpm

คำตอบ

n₂ = 292.6 rpm

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_out = 19.12 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ความเร็วรอบขาออก

n_out = 1440·(30/32)·(30/80) = 506.3 rpm

ω_out = 2π·506.3/60 = 53.01 rad/s

กำลังและแรงบิดขาออก

P_out = 1100·0.96² = 1014 W

T_out = P_out/ω_out = 1014/53.01 = 19.12 N·m

คำตอบ

T_out = 19.12 N·m

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v = 0.2993 m/s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(110/2.5) = 6.633 rad/s

ω·t = 6.633·1.5 = 9.95 rad

ความเร็ว

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.09·6.633·sin(9.95) = 0.2993 m/s

คำตอบ

v = 0.2993 m/s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: E = 0.6615 J

ความถี่เชิงมุม

ω = √(270/3.3) = 9.045 rad/s

พลังงาน

E = ½·k·A² = ½·270·0.07² = 0.6615 J

คำตอบ

E = 0.6615 J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.04049

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/5)·ln(10/2.8) = 0.2546

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2546/√(39.48 + 0.06482) = 0.04049

คำตอบ

ζ = 0.04049

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 1.501 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/40 + 1/5 → k_eq = 40·5/(40 + 5) = 4.444 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(4444/50) = 9.428 rad/s

f_n = 9.428/(2π) = 1.501 Hz

คำตอบ

f_n = 1.501 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics