พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 50 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 4 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 50 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

จรวดจำลองถูกยิงขึ้นตรง ๆ จากหยุดนิ่ง เครื่องยนต์ให้ความเร่งขึ้นคงที่ 24 m/s² เป็นเวลา 2.5 s หลังจากนั้นเครื่องยนต์หยุดและจรวดเคลื่อนที่อย่างอิสระ ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด h_max ที่จรวดขึ้นไปถึง

a = 24 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 10 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงไร้แรงเสียดทานที่ทำมุม 25° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 10 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 9.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 5 kg โต๊ะไร้แรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 9.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 25° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 22 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

t = s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 45° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 25 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 26 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 80 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.5 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 80 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ทางโค้งรัศมี 190 m เอียง 12° และสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.15 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต่ำสุด v_min ที่รถผ่านทางโค้งได้โดยไม่ไถลลงตามทางเอียง

r = 190 mθ = 12°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 2 kg เลื่อนลงไป 20 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 30° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.2 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 2 kgθ = 30°μ = 0.2d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 2 kg วางบนโต๊ะแนวนอนขรุขระ (μ = 0.15) เชือกเบาพาดจากก้อนวัตถุนั้นผ่านรอกเรียบที่ขอบโต๊ะไปยังก้อนวัตถุ 6 kg ที่แขวนอยู่ ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุทั้งสองหลังก้อนที่แขวนตกลงมา 0.5 m

m₁ = 2 kgm₂ = 6 kgμ = 0.15d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 600 kg เคลื่อนที่ด้วย 22 m/s ชนรถมวล 1800 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์เดิมสูญเสียไปกี่เปอร์เซ็นต์ ΔK/K

m₁ = 600 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 20 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 4.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 0.9 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 35° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 20 gM = 4.5 kgL = 0.9 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ล้อช่วยแรงที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย 1.5 kg·m² หมุนที่ 1700 rpm เบรกให้แรงบิดเสียดทานคงที่ 85 N·m ใช้เวลานานเท่าใด t จึงหยุด

I = 1.5 kg·m²n = 1700 rpmT_b = 85 N·m

t = s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมตัน เริ่มจากหยุดนิ่งและกลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 30° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของมันหลังกลิ้งไปตามทางลาด 2 m

θ = 30°s = 2 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

เฟืองตัวหนอนที่มี 3 เกลียวหมุนที่ 1440 rpm และขับเฟืองหนอนที่มี 72 ฟัน จงหาความเร็ว n_w ของเฟืองหนอน

z = 3N_w = 72n = 1440 rpm

n_w = rpm

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

มอเตอร์ 3 kW ที่ 1440 rpm ขับเฟือง A (16 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (72 ฟัน) เฟือง C (25 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (40 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 96% จงหาแรงบิดขาออก T_out

P = 3 kWn_in = 1440 rpmA = 16B = 72C = 25D = 40η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 2.2 kg บนสปริง k = 140 N/m ถูกดึงไป 12 cm ในทิศบวกและปล่อยจากหยุดนิ่งที่ t = 0 จงหาการกระจัด x จากตำแหน่งสมดุลที่ t = 0.85 s (พร้อมเครื่องหมาย)

m = 2.2 kgk = 140 N/mA = 12 cmt = 0.85 s

x = cm

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

วัตถุแกว่งแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายด้วยคาบ 1.5 s และแอมพลิจูด 7 cm ต้องใช้เวลาสั้นที่สุด t เท่าใดในการเคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุลไปยังการกระจัด 2.8 cm

T = 1.5 sA = 7 cmx = 2.8 cm

t = s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 12 mm ตามด้วยยอด 4.4 mm หลังจากนั้น 2 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 12 mmx₂ = 4.4 mmn = 2

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 50 kg แขวนจากสปริง k₃ = 30 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 20 kN/m และ k₂ = 20 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 24.11 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·4) = 24.11 m

คำตอบ

s = 24.11 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 258.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

ช่วงที่มีแรงขับ

v₁ = 24·2.5 = 60 m/s

h₁ = ½·24·2.5² = 75 m

บินอิสระขึ้น

ที่จุดสูงสุดความเร็วเป็นศูนย์

Δh = v₁²/(2g) = 60²/(2·9.81) = 183.5 m

h_max = 75 + 183.5 = 258.5 m

คำตอบ

h_max = 258.5 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 4.146 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

คำตอบ

a = 4.146 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 3.383 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 0)/14.5 = 3.383 m/s²

คำตอบ

a = 3.383 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 1.896 s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 25° = 19.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 25° = 9.298 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·9.298/9.81 = 1.896 s

คำตอบ

t = 1.896 s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 4.808 s

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 45° = 18.38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 45° = 18.38 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 25 + 18.38·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.38 + √(338 + 490.5))/9.81 = 4.808 s

คำตอบ

t = 4.808 s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 19.81 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·80) = 19.81 m/s

คำตอบ

v_max = 19.81 m/s (71.31 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_min = 10.63 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

สมดุลแรง

แรงเสียดทานชี้ขึ้นตามเนิน

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

อัตราเร็ว

v = √(190·9.81·0.06119/1.009) = 10.63 m/s

คำตอบ

v_min = 10.63 m/s

(38.27 km/h)

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 67.97 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 19.62·0.866 = 16.99 N

F = μN = 0.2·16.99 = 3.398 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 3.398·20 = 67.97 J

คำตอบ

W_f = 67.97 J

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 2.644 m/s

พลังงานที่ปลดปล่อยและที่สูญเสีย

m₂g·d = 58.86·0.5 = 29.43 J

μ·m₁g·d = 0.15·19.62·0.5 = 1.472 J

พลังงานจลน์ของก้อนวัตถุทั้งสอง

½(m₁ + m₂)v² = 27.96 → v = √(2·27.96/8) = 2.644 m/s

คำตอบ

v = 2.644 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK/K = 75 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·22/2400 = 5.5 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·600·22² = 145200 J

K_after = ½·2400·5.5² = 36300 J

สัดส่วนที่สูญเสีย

ΔK/K = 108900/145200 = 75 %

คำตอบ

ΔK/K = 75 %

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 403.9 m/s

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 0.9·(1 − cos 35°) = 0.1628 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.1628) = 1.787 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 4.52·1.787/0.02 = 403.9 m/s

คำตอบ

v = 403.9 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: t = 3.142 s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·1700/60 = 178 rad/s

ความหน่วงและเวลา

α = T_b/I = 85/1.5 = 56.67 rad/s²

t = ω/α = 178/56.67 = 3.142 s

คำตอบ

t = 3.142 s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: v = 3.744 m/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

ความสูงที่ตก

h = s·sin θ = 2·sin 30° = 1 m

สมดุลพลังงานกับการกลิ้ง

กลิ้งโดยไม่ไถล: ω = v/r และแรงเสียดทานไม่ทำงานที่จุดสัมผัส

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·1/1.4) = 3.744 m/s

คำตอบ

v = 3.744 m/s

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_w = 60 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

ความเร็วของเฟืองหนอน

n_w = n·z/N_w = 1440·3/72 = 60 rpm

คำตอบ

n_w = 60 rpm

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_out = 132 N·m

ความเร็วรอบขาออก

n_out = 1440·(16/72)·(25/40) = 200 rpm

ω_out = 2π·200/60 = 20.94 rad/s

กำลังและแรงบิดขาออก

P_out = 3000·0.96² = 2765 W

T_out = P_out/ω_out = 2765/20.94 = 132 N·m

คำตอบ

T_out = 132 N·m

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: x = 10.55 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

ความถี่เชิงมุม

ω = √(140/2.2) = 7.977 rad/s

ω·t = 7.977·0.85 = 6.781 rad

การกระจัด

x = A·cos(ω·t) = 12·cos(6.781) = 10.55 cm

คำตอบ

x = 10.55 cm

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: t = 0.09824 s

ความถี่เชิงมุม

ω = 2π/T = 2π/1.5 = 4.189 rad/s

แก้สมการหาเวลา

0.4 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.4) = 0.4115 rad

t = 0.4115/4.189 = 0.09824 s

คำตอบ

t = 0.09824 s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.07959

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/2)·ln(12/4.4) = 0.5017

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5017/√(39.48 + 0.2517) = 0.07959

คำตอบ

ζ = 0.07959

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 2.947 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 20 + 20 = 40 kN/m

k_eq = 40·30/(40 + 30) = 17.14 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(17143/50) = 18.52 rad/s

f_n = 18.52/(2π) = 2.947 Hz

คำตอบ

f_n = 2.947 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics