พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 100 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 6.5 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 100 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

ลูกบอล A ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 60 m ขณะเดียวกันลูกบอล B ถูกขว้างขึ้นตรง ๆ จากพื้นด้านล่างโดยตรงด้วย 26 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลพบกันเมื่อใด จงหา t

H = 60 mv_0B = 26 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 5 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 5 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 9.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 3 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 9.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 60° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 40 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

t = s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 30° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 45 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 16 m/sθ = 30°h = 45 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 130 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.5 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 130 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ทางโค้งรัศมี 250 m เอียง 10° และสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านทางโค้งได้โดยไม่ไถลขึ้นและออกนอกทาง

r = 250 mθ = 10°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

รถ 2000 kg ขึ้นเนินลาด 4° ด้วย 36 km/h คงที่ แรงต้านอากาศและแรงต้านการหมุนของล้อรวมกันเป็น 450 N จงหากำลัง P ที่ล้อต้องส่ง ในหน่วย kW

m = 2000 kgθ = 4°F_r = 450 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.งานและพลังงานยาก

สปริงที่มีค่าคงตัว 800 N/m ที่ฐานของเนินลาด 30° ถูกกด 15 cm กับก้อนวัตถุ 3 kg แล้วปล่อย สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับเนินคือ 0.1 ก้อนวัตถุเคลื่อนที่ขึ้นเนินจากจุดปล่อยไกลเท่าใด d ก่อนหยุด (ไม่ต้องคิดระยะสั้น ๆ ที่สปริงดัน คือให้คิดแรงเสียดทานและแรงโน้มถ่วงตลอดระยะ d)

m = 3 kgk = 800 N/mx = 15 cmθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุนปืนมวล 11 kg เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 21 m/s ระเบิดเป็นสองเศษที่เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงเดียวกัน เศษมวล 9 kg เคลื่อนที่ต่อไปข้างหน้าด้วย 38 m/s จงหาความเร็ว v′₂ ของเศษมวล 2 kg (ทิศทางเดิมเป็นบวก)

M = 11 kgu = 21 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 38 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 10 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 4 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 1.2 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 30° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 10 gM = 4 kgL = 1.2 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

เพลาส่งกำลัง 29 kW ที่ 2600 rpm จงหาแรงบิด T ในเพลา

P = 29 kWn = 2600 rpm

T = N·m

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ห่วงบาง กลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 30° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตที่น้อยที่สุด μ_s ที่ป้องกันไม่ให้มันไถล

θ = 30°I = m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 3 kW หมุนที่ 1500 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 24 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 72 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 98% หาแรงบิดขาออก T₂ บนเพลาของเฟือง

P = 3 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 24N₂ = 72η = 98%

T₂ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (16 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 3000 rpm ขับเฟือง B (32 ฟัน) เฟือง C (30 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (50 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 3000 rpmA = 16B = 32C = 30D = 50

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 2.9 kg บนสปริง k = 180 N/m ถูกดึงไป 13 cm ในทิศบวกและปล่อยจากหยุดนิ่งที่ t = 0 จงหาความเร็ว v ที่ t = 1.35 s (พร้อมเครื่องหมาย)

m = 2.9 kgk = 180 N/mA = 13 cmt = 1.35 s

v = m/s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 3.3 kg บนสปริงที่ k = 350 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 4 cm แล้วปล่อย หาพลังงานรวม E ของการสั่น

m = 3.3 kgk = 350 N/mA = 4 cm

E = J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 5 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 20 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 250 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 5 kgk = 20 kN/mc = 250 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 40 kg แขวนจากสปริง k₃ = 40 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 50 kN/m และ k₂ = 60 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 40 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 59.35 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·6.5) = 59.35 m

คำตอบ

s = 59.35 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 2.308 s

เวลาที่พบกัน

ทิศขึ้นเป็นบวก พื้นคือ y = 0

60 − ½g·t² = 26·t − ½g·t² → t = 60/26 = 2.308 s

คำตอบ

t = 2.308 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 4.823 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 35° − 0.1·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.08192) = 4.823 m/s²

คำตอบ

a = 4.823 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 0.8633 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 18.64)/12.5 = 0.8633 m/s²

คำตอบ

a = 0.8633 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 7.062 s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 60° = 20 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 60° = 34.64 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·34.64/9.81 = 7.062 s

คำตอบ

t = 7.062 s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 3.952 s

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 30° = 13.86 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 30° = 8 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 45 + 8·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8 + √(64 + 882.9))/9.81 = 3.952 s

คำตอบ

t = 3.952 s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 25.25 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·130) = 25.25 m/s

คำตอบ

v_max = 25.25 m/s (90.91 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 33.07 m/s

สมดุลแรง

แรงเสียดทานชี้ลงตามเนิน

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

อัตราเร็ว

v = √(250·9.81·0.4199/0.9414) = 33.07 m/s

คำตอบ

v_max = 33.07 m/s

(119.1 km/h)

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: P = 18.19 kW

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) กำลังคือแรงคูณอัตราเร็ว: P = F·v

แรงขับ

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 4° = 1369 N

F = 1369 + 450 = 1819 N

กำลัง

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1819·10 = 18186 W = 18.19 kW

คำตอบ

P = 18.19 kW

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 0.5213 m

พลังงานสปริง

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·800·0.15² = 9 J

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 9/(29.43·(0.5 + 0.1·0.866)) = 0.5213 m

คำตอบ

d = 0.5213 m

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = −55.5 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

โมเมนตัมก่อนชน

p = M·u = 11·21 = 231 kg·m/s

โมเมนตัมหลังชน

231 = 9·38 + 2·v′₂

v′₂ = (231 − 342)/2 = −55.5 m/s

คำตอบ

v′₂ = −55.5 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเศษที่สองกระเด็นถอยหลัง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 712.2 m/s

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 1.2·(1 − cos 30°) = 0.1608 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.1608) = 1.776 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 4.01·1.776/0.01 = 712.2 m/s

คำตอบ

v = 712.2 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: T = 106.5 N·m

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·2600/60 = 272.3 rad/s

แรงบิด

T = P/ω = 29000/272.3 = 106.5 N·m

คำตอบ

T = 106.5 N·m

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: μ_s = 0.2887

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

สมการการเคลื่อนที่

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

ความเร่ง

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 30°/2 = 2.452 m/s²

แรงเสียดทานที่ต้องใช้

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 1·tan 30°/2 = 0.2887

คำตอบ

μ_s = 0.2887

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₂ = 56.15 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/157.1 = 19.1 N·m

แรงบิดขาออก

T₂ = 19.1·72/24·0.98 = 56.15 N·m

คำตอบ

T₂ = 56.15 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 900 rpm

ขั้นแรก

n_B = 3000·16/32 = 1500 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 1500·30/50 = 900 rpm

คำตอบ

n_out = 900 rpm

อัตราทดรวม = 3.333 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v = 0.9586 m/s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(180/2.9) = 7.878 rad/s

ω·t = 7.878·1.35 = 10.64 rad

ความเร็ว

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.13·7.878·sin(10.64) = 0.9586 m/s

คำตอบ

v = 0.9586 m/s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: E = 0.28 J

ความถี่เชิงมุม

ω = √(350/3.3) = 10.3 rad/s

พลังงาน

E = ½·k·A² = ½·350·0.04² = 0.28 J

คำตอบ

E = 0.28 J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.3953

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·5) = 632.5 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 250/632.5 = 0.3953

คำตอบ

ζ = 0.3953

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 4.31 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 50 + 60 = 110 kN/m

k_eq = 110·40/(110 + 40) = 29.33 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(29333/40) = 27.08 rad/s

f_n = 27.08/(2π) = 4.31 Hz

คำตอบ

f_n = 4.31 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics