พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

คนขับที่ขับด้วย 50 km/h เห็นสิ่งกีดขวาง เวลาตอบสนองของเธอคือ 1.3 s หลังจากนั้นรถเบรกด้วยความหน่วงคงที่ 6 m/s² จงหาระยะหยุดทั้งหมด d นับจากขณะที่เธอเห็นสิ่งกีดขวาง

v₀ = 50 km/ht_r = 1.3 sa = −6 m/s²

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

จรวดจำลองถูกยิงขึ้นตรง ๆ จากหยุดนิ่ง เครื่องยนต์ให้ความเร่งขึ้นคงที่ 32 m/s² เป็นเวลา 1 s หลังจากนั้นเครื่องยนต์หยุดและจรวดเคลื่อนที่อย่างอิสระ ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด h_max ที่จรวดขึ้นไปถึง

a = 32 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องไถลไปบนพื้นราบด้วยอัตราเร็วต้น 3.5 m/s และหยุดหลังไป 2.1 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ μ

v₀ = 3.5 m/sd = 2.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุสองก้อนบนพื้นราบเชื่อมด้วยเชือกเบาในแนวนอน แรงในแนวนอน 150 N ดึงก้อนหน้าที่หนัก 12 kg ก้อนที่หนัก 10 kg ถูกลากตามหลัง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.25 สำหรับทั้งสองก้อน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T ในเชือกที่เชื่อม

m₁ = 10 kgm₂ = 12 kgF = 150 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 20° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 24 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 39 m/s ที่มุม 55° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 12 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 39 m/sθ = 55°h_roof = 12 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

วิศวกรถนนต้องการให้รถผ่านทางโค้งรัศมี 100 m ด้วย 90 km/h โดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมเอียง θ

r = 100 mv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลผูกกับเชือกยาว 1.3 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² อัตราเร็วต่ำสุด v_min ที่จุดสูงสุดที่ทำให้เชือกยังตึงอยู่พอดีคือเท่าใด

r = 1.3 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

เครื่องยิงของเล่นมีสปริงแนวดิ่งที่มีค่าคงตัว 200 N/m วางลูกบอล 0.05 kg บนสปริงและกดสปริงลง 4 cm แล้วปล่อย ไม่คิดแรงต้านอากาศและมวลของสปริง จงหาความสูง h ที่ลูกบอลขึ้นไป วัดจากตำแหน่งของมันเมื่อสปริงถูกกด

m = 0.05 kgk = 200 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 10 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 4.5 m (μ = 0.2) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 2000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุเมื่อถึงสปริง

m = 10 kgh = 4 mL = 4.5 mμ = 0.2k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 1.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 5 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 1.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ที่ทางแยก รถมวล 1500 kg ที่แล่นไปทางตะวันออกด้วย 11 m/s ชนกับรถมวล 900 kg ที่แล่นไปทางเหนือด้วย 23 m/s รถทั้งสองคันติดกัน จงหาอัตราเร็ว v′ ของซากรถทันทีหลังการชน

m₁ = 1500 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 23 m/s (N)

v′ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

เพลาส่งกำลัง 189.5 kW ที่ 800 rpm จงหาแรงบิด T ในเพลา

P = 189.5 kWn = 800 rpm

T = N·m

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมตัน มวล 6.5 kg กลิ้งโดยไม่ไถลที่ 8 m/s จงหาพลังงานจลน์การหมุน E_rot ของมัน

m = 6.5 kgv = 8 m/sI = (2/5)·m·r²

E_rot = J

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 3 kW หมุนที่ 2900 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 20 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 40 ฟัน ไม่คิดการสูญเสีย หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 3 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 20N₂ = 40η = 100%

T₁ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (25 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1440 rpm ขับเฟือง B (30 ฟัน) เฟือง C (60 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (80 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1440 rpmA = 25B = 30C = 60D = 80

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 2.5 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 2.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

กระสุน 20 g เคลื่อนที่ด้วย 200 m/s พุ่งชนและฝังอยู่ในก้อนวัตถุมวล 1 kg ที่วางบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทาน ก้อนวัตถุติดกับสปริงแนวนอนที่มี k = 400 N/m จงหาแอมพลิจูด A ของการแกว่งที่เกิดขึ้นใน cm

m = 20 gv = 200 m/sM = 1 kgk = 400 N/m

A = cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 20 mm ตามด้วยยอด 12.1 mm หลังจากนั้น 2 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 20 mmx₂ = 12.1 mmn = 2

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 100 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 60 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 40 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 34.13 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

หน่วย

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

ระยะตอบสนอง

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.3 = 18.06 m

ระยะเบรก

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·6) = 16.08 m

รวม

d = 18.06 + 16.08 = 34.13 m

คำตอบ

d = 34.13 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 68.19 m

ช่วงที่มีแรงขับ

v₁ = 32·1 = 32 m/s

h₁ = ½·32·1² = 16 m

บินอิสระขึ้น

ที่จุดสูงสุดความเร็วเป็นศูนย์

Δh = v₁²/(2g) = 32²/(2·9.81) = 52.19 m

h_max = 16 + 52.19 = 68.19 m

คำตอบ

h_max = 68.19 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: μ = 0.2973

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ความหน่วง

a = v₀²/(2d) = 3.5²/(2·2.1) = 2.917 m/s²

สัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.917/9.81 = 0.2973

คำตอบ

μ = 0.2973

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 68.18 N

ระบบทั้งหมด

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (150 − 53.96)/22 = 4.366 m/s²

ก้อนหลังเพียงก้อนเดียว

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(4.366 + 2.453) = 68.18 N

คำตอบ

T = 68.18 N

เมื่อ μ เท่ากันทั้งสองก้อน แรงเสียดทานหักล้างกัน: T = F·m₁/(m₁ + m₂)

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 3.434 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 20° = 22.55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 20° = 8.208 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 8.208²/(2·9.81) = 3.434 m

คำตอบ

H = 3.434 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 136.7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แยกความเร็วต้น

v_x = 22.37 m/s, v_y = 31.95 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

12 = 31.95·t − 4.905·t²

t = (31.95 + √(31.95² − 2·9.81·12))/9.81 = 6.113 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 22.37·6.113 = 136.7 m

คำตอบ

x = 136.7 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: θ = 32.5 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

หน่วย

v = 90/3.6 = 25 m/s

มุมเอียง

tan θ = v²/(r·g) = 25²/(100·9.81) = 0.6371

θ = 32.5°

คำตอบ

θ = 32.5°

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_min = 3.571 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงตึงเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.3) = 3.571 m/s

คำตอบ

v_min = 3.571 m/s

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: h = 0.3262 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

พลังงานสปริง

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·200·0.04² = 0.16 J

ความสูง

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0.16/0.4905 = 0.3262 m

คำตอบ

h = 0.3262 m

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 7.799 m/s

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 98.1·(4 − 0.2·4.5) = 304.1 J

อัตราเร็วที่สปริง

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.1) = 7.799 m/s

คำตอบ

v = 7.799 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 2.308 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (1.5 − 5)/(1.5 + 5)·5 = −2.692 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 5)·5 = 2.308 m/s

คำตอบ

v′₂ = 2.308 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′ = 11.03 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

องค์ประกอบของโมเมนตัม

p_x = 1500·11 = 16500 kg·m/s

p_y = 900·23 = 20700 kg·m/s

อัตราเร็วของซากรถ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 26471/2400 = 11.03 m/s

คำตอบ

v′ = 11.03 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: T = 2262 N·m

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·800/60 = 83.78 rad/s

แรงบิด

T = P/ω = 189500/83.78 = 2262 N·m

คำตอบ

T = 2262 N·m

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: E_rot = 83.2 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

ส่วนการเลื่อนตำแหน่งและส่วนการหมุน

E_trans = ½·m·v² = ½·6.5·8² = 208 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·208 = 83.2 J

คำตอบ

E_rot = 83.2 J

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 9.879 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/303.7 = 9.879 N·m

คำตอบ

T₁ = 9.879 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 900 rpm

ขั้นแรก

n_B = 1440·25/30 = 1200 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 1200·60/80 = 900 rpm

คำตอบ

n_out = 900 rpm

อัตราทดรวม = 1.6 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 1.553 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.5/2π)² = 1.553 m

คำตอบ

L = 1.553 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: A = 19.8 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

อัตราเร็วหลังการชน

V = m·v/(m + M) = 0.02·200/1.02 = 3.922 m/s

ความถี่เชิงมุม

ω = √(k/(m + M)) = √(400/1.02) = 19.8 rad/s

แอมพลิจูด

A = V/ω = 3.922/19.8 = 0.198 m = 19.8 cm

คำตอบ

A = 19.8 cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.03996

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/2)·ln(20/12.1) = 0.2513

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2513/√(39.48 + 0.06313) = 0.03996

คำตอบ

ζ = 0.03996

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 24 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/60 + 1/40 → k_eq = 60·40/(60 + 40) = 24 kN/m

คำตอบ

k_eq = 24 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics