พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินต้องใช้อัตราเร็ว 200 km/h เพื่อบินขึ้น และทางวิ่งที่ใช้ได้ยาว 1500 m เริ่มจากหยุดนิ่ง ต้องใช้ความเร่งคงที่ a เท่าใด

v₀ = 0v = 200 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 15 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 20 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 15 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องไถลไปบนพื้นราบด้วยอัตราเร็วต้น 8.5 m/s และหยุดหลังไป 12 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ μ

v₀ = 8.5 m/sd = 12 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 4 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 1.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 4 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 30° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 26 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 23 m/s ที่มุม 70° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 11 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 23 m/sθ = 70°h_roof = 11 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 45 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 45 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 0.4 kg ผูกกับเชือกยาว 1.4 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 8 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 0.4 kgr = 1.4 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 30° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.4 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 3 m

θ = 30°μ = 0.4d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 2 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 6 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 1.5 m จงหาแรงตั้งฉาก N ที่รางกระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 2 kgh = 6 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 500 kg เคลื่อนที่ด้วย 10 m/s ชนรถมวล 1100 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์สูญเสียไปเท่าใด ΔK ในการชน

m₁ = 500 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.1 kg กระทบผนังด้วย 9 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 11 m/s การสัมผัสใช้เวลา 10 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.1 kgv_in = 9 m/sv_out = 11 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 9 kg ยาว 2 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของปลายอิสระขณะแท่งแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 9 kgL = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

จานตันสม่ำเสมอ (มวล 17 kg รัศมี 0.5 m) หมุนอิสระที่ 300 rpm รอบเพลาแนวดิ่งไร้แรงเสียดทาน วงแหวนบางมวล 11 kg รัศมีเท่ากันถูกปล่อยลงบนมันจากหยุดนิ่ง ให้ศูนย์กลางตรงกับเพลา และทั้งสองหมุนไปด้วยกันอย่างรวดเร็ว พลังงานจลน์ ΔE สูญเสียไปในกระบวนการเท่าใด

M_disc = 17 kgM_ring = 11 kgR = 0.5 mn₁ = 300 rpm

ΔE = J

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 11 kW หมุนที่ 1450 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 50 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 60 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 96% หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 11 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 50N₂ = 60η = 96%

T₁ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 15 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 20 ฟัน เฟืองวงแหวนถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 1440 rpm จงหาความเร็ว n_c ของโครงพาเฟืองดาวเคราะห์

N_s = 15N_p = 20n_s = 1440 rpm

n_c = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 1.5 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 1.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวลบนสปริง k = 340 N/m แกว่งบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทานด้วยแอมพลิจูด 15 cm จงหาพลังงานจลน์ K ของมันเมื่ออยู่ห่างจากตำแหน่งสมดุล 6 cm

k = 340 N/mA = 15 cmx = 6 cm

K = J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 250 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 40 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 1900 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 250 kgk = 40 kN/mc = 1900 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 100 kg แขวนจากสปริง k₃ = 10 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 60 kN/m และ k₂ = 15 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: a = 1.029 m/s²

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v = 200/3.6 = 55.56 m/s

ความเร่ง

a = v²/(2s) = 55.56²/(2·1500) = 1.029 m/s²

คำตอบ

a = 1.029 m/s²

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 4.062 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−20 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 20 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (15 + √(15² + 2·9.81·20))/9.81 = 4.062 s

คำตอบ

t = 4.062 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: μ = 0.3069

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความหน่วง

a = v₀²/(2d) = 8.5²/(2·12) = 3.01 m/s²

สัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.01/9.81 = 0.3069

คำตอบ

μ = 0.3069

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 13.38 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 9.81)/5.5 = 0.8918 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·0.8918 + 9.81 = 13.38 N

คำตอบ

T = 13.38 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 59.68 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 30° = 22.52 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 30° = 13 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·13/9.81 = 2.65 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 22.52·2.65 = 59.68 m

คำตอบ

x = 59.68 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 30.04 m

แยกความเร็วต้น

v_x = 7.866 m/s, v_y = 21.61 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

11 = 21.61·t − 4.905·t²

t = (21.61 + √(21.61² − 2·9.81·11))/9.81 = 3.819 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 7.866·3.819 = 30.04 m

คำตอบ

x = 30.04 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 11.51 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·45) = 11.51 m/s

คำตอบ

v_max = 11.51 m/s (41.43 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 22.21 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 0.4·9.81 + 0.4·8²/1.4 = 3.924 + 18.29 = 22.21 N

คำตอบ

T = 22.21 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 3.007 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·3·(0.5 − 0.4·0.866)) = 3.007 m/s

คำตอบ

v = 3.007 m/s

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: N = 58.86 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6 − 3) = 58.86 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·58.86/1.5 − 19.62 = 58.86 N

คำตอบ

N = 58.86 N

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK = 17188 J

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·10/1600 = 3.125 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·500·10² = 25000 J

K_after = ½·1600·3.125² = 7813 J

พลังงานที่สูญเสีย

ΔK = 25000 − 7813 = 17188 J

คำตอบ

ΔK = 17188 J

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 2 N·s

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.1·(11 + 9) = 2 N·s

คำตอบ

J = 2 N·s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: v = 7.672 m/s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 = 9·9.81·1 = 88.29 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 = 9·2²/3 = 12 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 88.29 → ω = √(2·88.29/12) = 3.836 rad/s

v = ω·L = 3.836·2 = 7.672 m/s

คำตอบ

v = 7.672 m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ΔE = 591.5 J

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อย

I₁ = ½·17·0.5² = 2.125 kg·m²

I₂ = 11·0.5² = 2.75 kg·m²

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 300·2.125/4.875 = 130.8 rpm

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

E₁ = ½·2.125·31.42² = 1049 J

E₂ = ½·4.875·13.69² = 457.1 J

ΔE = 1049 − 457.1 = 591.5 J

คำตอบ

ΔE = 591.5 J

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 72.44 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/151.8 = 72.44 N·m

คำตอบ

T₁ = 72.44 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_c = 308.6 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·20 = 55

สมการวิลลิสเมื่อยึดเฟืองวงแหวน

ตั้ง n_r = 0 แล้วแก้หาความเร็วของโครงพา

(1440 − n_c)/(0 − n_c) = −55/15

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1440·15/70 = 308.6 rpm

คำตอบ

n_c = 308.6 rpm

โครงพาหมุนในทิศทางเดียวกับเฟืองดวงอาทิตย์

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 0.5591 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.5/2π)² = 0.5591 m

คำตอบ

L = 0.5591 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: K = 3.213 J

พลังงานรวม

E = ½·k·A² = ½·340·0.15² = 3.825 J

พลังงานสปริงที่ x

U = ½·k·x² = ½·340·0.06² = 0.612 J

พลังงานจลน์

K = 3.825 − 0.612 = 3.213 J

คำตอบ

K = 3.213 J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.3004

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·250) = 6325 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 1900/6325 = 0.3004

คำตอบ

ζ = 0.3004

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 1.495 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 60 + 15 = 75 kN/m

k_eq = 75·10/(75 + 10) = 8.824 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(8824/100) = 9.393 rad/s

f_n = 9.393/(2π) = 1.495 Hz

คำตอบ

f_n = 1.495 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics