คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (f_x, f_y) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = f_xx·f_yy − f_xy²
สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

คอนโวลูชันและระบบ LTI

คอนโวลูชันไม่ต่อเนื่อง: y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
ความยาวและผลรวม: L_y = L_x + L_h − 1, Σy = Σx·Σh
จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด และพื้นที่: t₁ + t₃ … t₂ + t₄, ∫y = ∫x·∫h
ขั้นเข้าสู่ e^(−at)u(t): y(t) = (A/a)(1 − e^−at)
ระบบอันดับหนึ่ง: y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e^−atu(t)
สมการเวียนเกิดอันดับหนึ่ง: y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
ไซน์ผ่าน h(t): |H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
แอมพลิจูดของอนุกรมฟูริเยร์: สี่เหลี่ยม ±A: 4A/(kπ), k คี่; สามเหลี่ยม ±A: 8A/(π²k²), k คี่; ขบวนพัลส์: A·D และ (2A/(kπ))|sin kπD|

วิธีการ

ร่างสัญญาณทั้งสองและทำเครื่องหมายช่วงที่แต่ละสัญญาณไม่เป็นศูนย์
กลับ h แล้วเลื่อน: สำหรับแต่ละเวลาของเอาต์พุต หาช่วงที่สัญญาณทั้งสองซ้อนทับกัน
คูณแล้วบวก (ไม่ต่อเนื่อง) หรือคูณแล้วอินทิเกรต (ต่อเนื่อง) เฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับ
ตรวจสอบผลลัพธ์: เอาต์พุตเริ่มที่ผลรวมของเวลาเริ่มต้น สิ้นสุดที่ผลรวมของเวลาสิ้นสุด และพื้นที่หรือผลรวมของมันคือผลคูณของพื้นที่หรือผลรวมของอินพุต

2โจทย์ฝึก

1.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

จงแก้ y″ + 7y′ + 12y = 0 โดย y(0) = 4 และ y′(0) = 1 จงหา y(0.5)

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = 1

y(0.5) =

2.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 4y′ + 29y = 58 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหา y(0.5) มุมเป็นเรเดียน

y″ + 4y′ + 29y = 58y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.5) =

3.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

ให้ C = AB สำหรับเมทริกซ์ที่แสดง หาสมาชิก c₁₂ (แถว 1 หลัก 2)

A = [−1 −3; −6 0]B = [−1 −3; 3 2]

c₁₂ =

4.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

หาค่าเฉพาะที่มากกว่า λ ของเมทริกซ์ A ที่แสดง

A = [6 1; −2 3]

λ =

5.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหาค่าของ k ที่ทำให้เวกเตอร์ a = (0, −1, 2) และ b = (3, −6, k) ตั้งฉากกัน

a = (0, −1, 2)b = (3, −6, k)

k =

6.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

สำหรับ a = (−5, −6, −1) และ b = (−4, −5, 2) จงหาองค์ประกอบ z ซึ่งคือ (a × b)_z ของผลคูณไขว้ a × b

a = (−5, −6, −1)b = (−4, −5, 2)

(a × b)_z =

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀³ e^−0.5x dx

f(x) = e^−0.5x[0, 3]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 1 − x² กับแกน x

y = 1 − x²

A =

9.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง

z = 5 sin(2x + 2y) โดย x = −3t − 2 และ y = −2t² + 2 ใช้กฎลูกโซ่เพื่อหา dz/dt ที่ t = −1

z = 5 sin(2x + 2y)x = −3t − 2y = −2t² + 2t = −1

dz/dt =

10.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก

อินทิกรัล I = ∫₀¹ ∫_x¹ e^y² dy dx ทำในลำดับนี้ไม่ได้ ให้สลับลำดับการอินทิเกรตแล้วคำนวณ

f = e^y²0 ≤ x ≤ y ≤ 1

I =

11.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

ใช้การทดสอบอัตราส่วนกับ Σ_k=1^∞ (k!)²·3ᵏ/(2k)! จงหา L = lim |a_k+1/a_k|

a_k = (k!)²·3ᵏ/(2k)!

L =

12.ลำดับและอนุกรมยาก

ใช้พหุนามแมคคลอรินดีกรี 2 ของ f(x) = ln(1 − x) เพื่อประมาณ f(0.4) ให้ P₂(0.4)

f(x) = ln(1 − x)n = 2x = 0.4

P₂(0.4) =

13.การแปลงลาปลาซปานกลาง

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = 60/(s(s + 3)(s + 6)) ด้วยเศษส่วนย่อย และหาค่า f(0.1)

F(s) = 60/(s(s + 3)(s + 6))t = 0.1 s

f(0.1) =

14.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ y″ + 2y′ + 26y = u′ + 8u โดยมีอินพุต u(t) และเอาต์พุต y(t) จงหาฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = Y(s)/U(s) (เงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์) และหาผลตอบสนองอิมพัลส์ g(t) ที่ t = 0.8 s จงหา g(0.8)

y″ + 2y′ + 26y = u′ + 8ut = 0.8 s

g(0.8) =

15.คอนโวลูชันและระบบ LTIปานกลาง

ระบบมีการตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) = e^−5tu(t) อินพุตเป็นขั้น x(t) = 4·u(t) จงหาเอาต์พุต y(0.4) ที่ t = 0.4 s

h(t) = e^−5tu(t)x(t) = 4·u(t)t = 0.4 s

y(0.4) =

16.คอนโวลูชันและระบบ LTIยาก

คลื่นสามเหลี่ยมขึ้นและลงเป็นเส้นตรงระหว่าง −2 และ +2 ด้วยคาบ T = 20 ms จงหาแอมพลิจูด c₅ ของส่วนประกอบฟูริเยร์ที่ 250 Hz

±2T = 20 msf = 250 Hz

c₅ =

3สารละลาย

1.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.5) = 2.034

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากลักษณะเฉพาะ

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

A + B = 4, −3A − 4B = 1

A = 17, B = −13

คำนวณค่า

y(0.5) = 17·e^−1.5 + (−13)·e⁻² = 2.034

คำตอบ

y(0.5) = 2.034

2.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.5) = 2.413

ค่าคงตัวและราก

y_ss = 2, r = −2 ± 5j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −2A + 5B = 0 → B = −0.8

คำนวณค่า

y(0.5) = 2·(1 − e⁻¹(cos 2.5 + 0.4·sin 2.5)) = 2.413

คำตอบ

y(0.5) = 2.413

3.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: c₁₂ = −3

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

แถวคูณหลัก

c₁₂ = (−1)·(−3) + (−3)·2 = −3

คำตอบ

c₁₂ = −3

4.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: λ = 5

สมการลักษณะเฉพาะ

λ² − (9)λ + (20) = 0

แก้สมการ

λ = (9 ± √(1))/2 → λ = 4, 5

λ = 5

คำตอบ

λ = 5

5.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: k = −3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

ผลคูณจุดเท่ากับศูนย์

a·b = 0·3 + (−1)·(−6) + 2·k = 0

6 + 2·k = 0

แก้หา k

k = −6/2 = −3

คำตอบ

k = −3

6.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: (a × b)_z = 1

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

ผลคูณไขว้ทีละองค์ประกอบ

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−6)·2 − (−1)·(−5) = −17

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·(−4) − (−5)·2 = 14

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−5) − (−6)·(−4) = 1

องค์ประกอบที่ถาม

(a × b)_z = 1

คำตอบ

(a × b)_z = 1

ตรวจสอบ: a × b ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณจุดของมันกับ a และกับ b จึงเป็นศูนย์

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 1.554

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = (e^−1.5 − 1)/(−0.5) = (0.2231 − 1)/(−0.5) = 1.554

คำตอบ

I = 1.554

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 1.333

ค่าศูนย์

1 − x² = 0 → x = ±1

อินทิเกรต

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

คำตอบ

A = 1.333

9.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: dz/dt = −4.161

เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ D_uf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt

จุดและอัตราการเปลี่ยนแปลง

x(−1) = 1, y(−1) = 0

dx/dt = −3, dy/dt = −4t = 4

อนุพันธ์ย่อย

f_x = 10 cos(2x + 2y) = −4.161

f_y = 10 cos(2x + 2y) = −4.161

กฎลูกโซ่

dz/dt = (−4.161)·(−3) + (−4.161)·4 = −4.161

คำตอบ

dz/dt = −4.161

10.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: I = 0.8591

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี f_x = f_y = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 และ f_xx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ f_xx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

บริเวณ

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1

ลำดับที่สลับ

I = ∫₀¹ ∫₀^y e^y² dx dy = ∫₀¹ y·e^y² dy

การแทนค่า u = y²

I = [e^y²/2]₀¹ = 0.8591

คำตอบ

I = 0.8591

11.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: L = 0.75

อัตราส่วนของพจน์ที่ต่อเนื่องกัน

|a_k+1/a_k| = 3·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 3/4

สรุป

L = 0.75 < 1

คำตอบ

L = 0.75

L < 1 ดังนั้นอนุกรมลู่เข้า

12.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: P₂(0.4) = −0.48

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

พหุนามแมคคลอริน

P₂(x) = −x − 0.5x²

แทนค่า

P₂(0.4) = −0.4 − 0.08 = −0.48

คำตอบ

P₂(0.4) = −0.48

ค่าที่แท้จริงคือ f(0.4) = −0.510826; ความคลาดเคลื่อน −0.0308256 ลดลงเมื่อใช้พจน์มากขึ้นหรือจุดที่ใกล้ 0 มากขึ้น

13.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(0.1) = 0.2239

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

เศษส่วนย่อย

F(s) = A/s + B/(s + 3) + C/(s + 6)

A = 60/(3·6) = 3.333

B = 60/((−3)·3) = −6.667

C = 60/((−6)·(−3)) = 3.333

การแปลงผกผัน

f(t) = 3.333 − 6.667·e^−3t + 3.333·e^−6t

คำนวณค่า

f(0.1) = 3.333 − 6.667·e^−3·0.1 + 3.333·e^−6·0.1 = 0.2239

คำตอบ

f(0.1) = 0.2239

14.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: g(0.8) = −0.7698

ฟังก์ชันถ่ายโอน

G(s) = Y(s)/U(s) = (s + 8)/(s² + 2s + 26)

เศษส่วนย่อย

s² + 2s + 26 = (s + 1)² + 5²

G(s) = 1·(s + 1)/((s + 1)² + 5²) + (7/5)·5/((s + 1)² + 5²)

ผลตอบสนองอิมพัลส์

g(t) = e^−t·(cos 5t + 1.4·sin 5t)

g(0.8) = −0.7698

คำตอบ

g(0.8) = −0.7698

15.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: y(0.4) = 0.6917

คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ กลับ h เลื่อนไปที่ตำแหน่ง t และอินทิเกรตผลคูณของส่วนที่ซ้อนทับ สำหรับสัญญาณเชิงเหตุผล อินทิกรัลไปจาก 0 ถึง t ผลที่มีประโยชน์: พื้นที่ของ y เท่ากับพื้นที่ของ x คูณพื้นที่ของ h ถ้า x ยาวจาก t₁ ถึง t₂ และ h จาก t₃ ถึง t₄ แล้ว y ยาวจาก t₁ + t₃ ถึง t₂ + t₄ สำหรับ h(t) = e^−atu(t) และขั้นสูง A, y(t) = (A/a)(1 − e^−at)

คอนโวลูชันกับขั้น

y(t) = 4·∫₀ᵗ e^−5τ dτ = (4/5)·(1 − e^−5t)

คำนวณค่า

y(0.4) = 0.8·(1 − e⁻²) = 0.6917

คำตอบ

y(0.4) = 0.6917

16.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: c₅ = 0.06485

การตอบสนองต่ออิมพัลส์และอนุกรมฟูริเยร์: การตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) อธิบายระบบ LTI อย่างสมบูรณ์: สำหรับ y′ + a·y = b·x คือ h(t) = b·e^−atu(t) และสำหรับ y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] คือ h[n] = b·aⁿu[n] ไซน์ cos ωt ผ่านด้วยอัตราขยาย |H(jω)| และเฟส ∠H(jω) โดย H คือการแปลงฟูริเยร์ของ h สัญญาณคาบคือผลรวมของฮาร์มอนิกที่ k/T: คลื่นสี่เหลี่ยม ±A มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ที่มีแอมพลิจูด 4A/(kπ) คลื่นสามเหลี่ยมที่มียอด A มี 8A/(π²k²) และขบวนพัลส์สูง A ที่มีวัฏจักรหน้าที่ D มีค่าเฉลี่ย A·D และฮาร์มอนิก (2A/(kπ))·|sin(kπD)|

ลำดับฮาร์มอนิก

f₀ = 1/T = 50 Hz → k = 5

แอมพลิจูด

c₅ = 8·2/(π²·5²) = 0.06485

คำตอบ

c₅ = 0.06485

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics-2