คณิตศาสตร์วิศวกรรม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง
ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์
หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
กฎของโลปีตาล
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ
(uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

  1. ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
  2. ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
  3. ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
  4. ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

อินทิกรัล

กฎกำลัง
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต
∫ab f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
∫ab (f − g) dx

วิธีการ

  1. เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
  2. ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
  3. ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
  4. สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
การหาร
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

  1. เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
  2. คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
  3. แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
  4. สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R1/n∠((φ + 360°k)/n)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
dy/dt = ky → y = y0ekt
ครึ่งชีวิต
k = ln 2 / t½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
ถังผสม
dm/dt = r·c − (r/V)·m

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2
det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์
(AB)ij = Σk AikBkj
ค่าเฉพาะ
det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์
xi = det(Ai)/det(A)

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด
|a| = √(ax² + ay² + az²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
ผลคูณจุด
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b
a·b/|b|
งาน
W = F·d
ผลคูณไขว้
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
พื้นที่
สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O
MO = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน
V = |a·(b × c)|

วิธีการ

  1. เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
  2. สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
  3. ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
  4. ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม
P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย
x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน
ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ
68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x
P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง
Φ(z2) − Φ(z1)
เปอร์เซ็นไทล์
x = μ + z·σ

วิธีการ

  1. แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
  3. สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
  4. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง
xyy = L

จงหาลิมิต L = limx→∞ (√(x2 − 6x) − x)

f(x) = √(x2 − 6x) − xx → ∞
L =
2.ลิมิตยาก
xyx = 0

จงหาลิมิต L = limx→0 (1 − cos 3x)/(2x²) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0
L =
3.อนุพันธ์ปานกลาง
xyx = 1.5

ให้ f(x) = x·sin(3x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(1.5)

f(x) = x·sin(3x)x = 1.5 rad
f′(1.5) =
4.อนุพันธ์ยาก
xyx = −1

เส้นสัมผัสของ f(x) = −x2 + 5x − 4 ที่ x = −1 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = −x2 + 5x − 4x = −1
b =
5.อินทิกรัลปานกลาง
xy16y = x ln x

จงหาค่าของ I = ∫₁6 x·ln x dx

∫₁6 x ln x dx
I =
6.อินทิกรัลยาก
xy2y = x²eˣ

จงหาค่าของ I = ∫₀2 x²·eˣ dx

∫₀2 x²eˣ dx
I =
7.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง
ReIm22−2−244−4−466−6−6θz

จงเขียน z = −3 − j6 ในรูปเอกซ์โพเนนเชียล r·ejθ ให้ θ เป็นเรเดียน ระหว่าง −π และ π

z = −3 − j6
θ = rad
8.จำนวนเชิงซ้อนยาก
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₀z₁z₂

รากของ zⁿ = w ที่ n = 3 และ w = 27∠−120° คือ zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2 จงหาส่วนจินตภาพของ z₂

w = 27∠−120°n = 3k = 2
Im(z₂) =
9.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
tyy(0) = 3y(1.5) = ?

จงแก้ y″ + 2y′ + y = 0 โดย y(0) = 3 และ y′(0) = -1 จงหา y(1.5)

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = -1
y(1.5) =
10.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
tyK = 2ymax​ = ?

ระบบเป็นไปตาม y″ + 2y′ + 17y = 34 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหาค่ายอด ymax ของการตอบสนองต่อขั้น

y″ + 2y′ + 17y = 34y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง
A =2−310−1453−2

หาดีเทอร์มินันต์ det A ของเมทริกซ์ 3×3 A ที่แสดง

A = [2 −3 1; 0 −1 4; 5 3 −2]
det A =
12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก
A =−4−366b =−56

แก้ระบบสมการ −4x − 3y = −5 และ 6x + 6y = 6 หา x

−4x − 3y = −56x + 6y = 6
x =
13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง
xyzdFAB

แรงคงที่ F = (20, −20, −5) N กระทำต่อวัตถุขณะที่มันเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงจากจุด A(0, 5, −3) ไปยังจุด B(−3, −3, −3) พิกัดมีหน่วยเป็นเมตร จงหางาน W ที่แรงทำ

F = (20, −20, −5) NA(0, 5, −3) mB(−3, −3, −3) m
W = J
14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก
xyzab

สำหรับ a = (−4, −1, 6) และ b = (5, −4, 5) จงหาองค์ประกอบ x ซึ่งคือ (a × b)x ของผลคูณไขว้ a × b

a = (−4, −1, 6)b = (5, −4, 5)
(a × b)x =
15.ความน่าจะเป็นปานกลาง
n = 13k = 2N = ?

เลือกคณะกรรมการ 2 คนจากกลุ่ม 13 คนได้กี่วิธี N ลำดับไม่สำคัญ

n = 13k = 2
N =
16.ความน่าจะเป็นยาก
n = 6, p = 0.25: P(X ≤ 1) = ?k0123456

ทดสอบชิ้นส่วน 6 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.25 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด

n = 6p = 0.25
P =
17.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
30354045505560

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 33, 31, 29, 60, 26, 47

n = 6
s =
18.สถิติเชิงพรรณนายาก
z −2−1012

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 40 คือเท่าใด

μ = 50σ = 5x = 40
P =
19.การแจกแจงปกติปานกลาง
680 kg697 kgT = X₁ + … + X₈?

มวลของผู้โดยสารพร้อมสัมภาระเป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 85 kg และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 kg จงหาความน่าจะเป็น P ที่มวลรวมของ 8 ชิ้นเกิน 697 kg ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8> 697 kg
P =
20.การแจกแจงปกติยาก
0.04 mm0D − d?

เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.04 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.02 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.015 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

รู: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mmเพลา: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = −3

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = −6x/(√(x2 − 6x) + x)

หารด้วย x

f(x) = −6/(√(1 + (−6)/x) + 1)

ให้ x → ∞

L = −6/(1 + 1) = −3

คำตอบ

L = −3
2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2.25

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

ใช้ครั้งแรก

3·sin 3x/(4x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

9·cos 3x/4

แทนค่า x = 0

L = 9/4 = 2.25

คำตอบ

L = 2.25
3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1.5) = −1.926

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

แทนค่า

f′(1.5) = −0.9775 + 4.5·(−0.2108) = −1.926

คำตอบ

f′(1.5) = −1.926
4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −3

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

จุดและความชัน

f(−1) = −10
f′(x) = −2x + 5 → f′(−1) = 7

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −10 − 7·(−1) = −3

คำตอบ

b = −3
5.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 23.5

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

ปฏิยานุพันธ์

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

ลิมิต

(18·ln 6 − 9) − (0 − 0.25) = 23.5

คำตอบ

I = 23.5
6.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 12.78

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

รอบแรก

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

รอบที่สอง

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

ลิมิต

7.389·(2) − 1·2 = 12.78

คำตอบ

I = 12.78
7.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: θ = −2.034 rad

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

มอดูลัส

r = √(9 + 36) = 6.708

อาร์กิวเมนต์เป็นเรเดียน

θ = −116.6° = −116.6·π/180 = −2.034 rad

รูปเอกซ์โพเนนเชียล

z = 6.708·e−j2.034

คำตอบ

θ = −2.034 rad
8.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: Im(z₂) = −1.026

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

มอดูลัสของราก

271/3 = 3

อาร์กิวเมนต์ของราก

θ₂ = (−120° + 360°·2)/3 = 200° → −160°

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

z₂ = 3·(cos −160° + j sin −160°) = −2.819 − j1.026
Im(z₂) = −1.026

คำตอบ

Im(z₂) = −1.026

ราก 3 รากอยู่บนวงกลมรัศมี 3 ห่างกัน 120°

9.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1.5) = 1.339

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากซ้ำ

(r + 1)² = 0 → r = −1

ค่าคงที่

A = y(0) = 3
y′(0) = B − 1A → B = -1 + 3 = 2

คำนวณค่า

y(1.5) = (3 + 2·1.5)·e−1.5 = 1.339

คำตอบ

y(1.5) = 1.339
10.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: ymax = 2.912

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

ค่าคงตัวและราก

yss = 2, r = −1 ± 4j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2
y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −0.5

ยอด

t = π/4 = 0.7854
ymax = 2·(1 + e−1·π/4) = 2.912

คำตอบ

ymax = 2.912
11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: det A = −75

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ไมเนอร์ 2×2 ของแถวแรก

M₁₁ = −10, M₁₂ = −20, M₁₃ = 5

การกระจายโคแฟกเตอร์

det A = 2·(−10) − (−3)·(−20) + 1·5 = −75

คำตอบ

det A = −75
12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: x = 2

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

det A = (−4)·6 − (−3)·6 = −6

แทนหลัก x

det Aₓ = (−5)·6 − (−3)·6 = −12
x = −12/(−6) = 2

คำตอบ

x = 2
y = −1
13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: W = 100 J

ผลคูณจุด: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ เป็นสเกลาร์ มันให้มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว cos θ = a·b/(|a|·|b|) และเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b คือ a·b/|b| และแรงคงที่ F ที่เคลื่อนผ่านการกระจัด d ทำงาน W = F·d

การกระจัด

d = B − A = (−3, −3, −3) − (0, 5, −3) = (−3, −8, 0) m

งาน

W = F·d = 20·(−3) + (−20)·(−8) + (−5)·0 = 100 J

คำตอบ

W = 100 J
14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: (a × b)x = 19

ผลคูณไขว้: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง และ |a × b| = |a|·|b|·sin θ คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองขึง (สามเหลี่ยมมีครึ่งหนึ่งของมัน) ลำดับมีผล: b × a = −(a × b) โมเมนต์ของแรง F ที่กระทำที่จุด A รอบจุด O คือ MO = r × F โดย r = A − O

ผลคูณไขว้ทีละองค์ประกอบ

(a × b)x = aybz − azby = (−1)·5 − 6·(−4) = 19
(a × b)y = azbx − axbz = 6·5 − (−4)·5 = 50
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·(−4) − (−1)·5 = 21

องค์ประกอบที่ถาม

(a × b)x = 19

คำตอบ

(a × b)x = 19

ตรวจสอบ: a × b ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณจุดของมันกับ a และกับ b จึงเป็นศูนย์

15.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: N = 78

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

การจัดหมู่

C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78

คำตอบ

N = 78
16.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.5339

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น

P(X = 0) = 0.756 = 0.178
P(X = 1) = 6·0.25·0.755 = 0.356

บวกเข้าด้วยกัน

P = 0.178 + 0.356 = 0.5339

คำตอบ

P = 0.5339
17.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 13.14

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 226/6 = 37.67

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−4.667)² + (−6.667)² + (−8.667)² + 22.33² + (−11.67)² + 9.333² = 863.3

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(863.3/5) = 13.14

คำตอบ

s = 13.14
18.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.9772

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −2

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772

คำตอบ

P = 0.9772
19.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.3085

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μT = 680 kg, σT = 12·√8 = 33.94 kg

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (697 − 680)/33.94 = 0.5

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(0.5) = 0.3085

คำตอบ

P = 0.3085
20.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.9452

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.025 mm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 0.04)/0.025 = −1.6

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−1.6) = 0.9452

คำตอบ

P = 0.9452

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics