คณิตศาสตร์วิศวกรรม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (√(x² − 8x) − x)

f(x) = √(x² − 8x) − xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²

f(x) = (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = ln(2x² + 2) หา f′(3)

f(x) = ln(2x² + 2)x = 3

f′(3) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = 0.5x² − 3x ที่ x = 1 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = 0.5x² − 3xx = 1

b =

5.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀¹ e^−0.5x dx

f(x) = e^−0.5x[0, 1]

I =

6.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 2x² และ y = 4x

y = 2x²y = 4x

A =

7.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

จำนวน z = 2·e^−j0.5 มีมุมเป็นเรเดียน หาส่วนจริงของมัน a

r = 2θ = −0.5 rad

a =

8.จำนวนเชิงซ้อนยาก

รากหนึ่งของ z³ − 2z² + 5z + 26 = 0 คือ z₁ = 2 + j3 สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จงหารากจริง r

z₁ = 2 + j3

r =

9.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 88 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 20 °C หลังผ่านไป 12 min อุณหภูมิเท่ากับ 36 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) จงหาค่าคงที่ k ในหน่วย min⁻¹

T₀ = 88 °CT_a = 20 °CT(12) = 36 °C

k = min⁻¹

10.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

จงแก้ y′ + 3y = 2e^−t โดย y(0) = 2 จงหา y(0.5)

y′ + 3y = 2e^−ty(0) = 2

y(0.5) =

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

หาดีเทอร์มินันต์ det A ของเมทริกซ์ 3×3 A ที่แสดง

A = [1 4 2; −3 1 −5; 2 −5 2]

det A =

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

หาค่าเฉพาะที่มากกว่า λ ของเมทริกซ์ A ที่แสดง

A = [−1 1; 7 5]

λ =

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหาค่าของ k ที่ทำให้เวกเตอร์ a = (−3, −5, −4) และ b = (k, 3, −6) ตั้งฉากกัน

a = (−3, −5, −4)b = (k, 3, −6)

k =

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

สำหรับ a = (4, 1, −1) และ b = (1, 1, −5) จงหาองค์ประกอบ x ซึ่งคือ (a × b)_x ของผลคูณไขว้ a × b

a = (4, 1, −1)b = (1, 1, −5)

(a × b)_x =

15.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.1, 0.25, 0.1, 0.25

σ =

16.ความน่าจะเป็นยาก

X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = 10X + 4 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ_Y ของ Y

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.3, 0.35, 0.1Y = 10X + 4

σ_Y =

17.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 18, 52, 59, 20, 33, 28, 54

n = 7

s =

18.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 70 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 58 คือเท่าใด

μ = 70σ = 8x = 58

P =

19.การแจกแจงปกติปานกลาง

X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 12 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.5 min Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 20 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 min จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 29.5 min ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 29.5 min

P =

20.การแจกแจงปกติยาก

อายุการใช้งานของแบตเตอรี่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 5% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 5)

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = −4

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = −8x/(√(x² − 8x) + x)

หารด้วย x

f(x) = −8/(√(1 + (−8)/x) + 1)

ให้ x → ∞

L = −8/(1 + 1) = −4

คำตอบ

L = −4

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.125

ใช้ครั้งแรก

(0.5·e^0.5x − 0.5)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

0.25·e^0.5x/2

แทนค่า x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

คำตอบ

L = 0.125

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(3) = 0.6

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่สำหรับลอการิทึม

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

แทนค่า

f′(3) = 12/20 = 0.6

คำตอบ

f′(3) = 0.6

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −0.5

จุดและความชัน

f(1) = −2.5

f′(x) = x − 3 → f′(1) = −2

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2.5 − (−2)·1 = −0.5

คำตอบ

b = −0.5

5.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.7869

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = (e^−0.5 − 1)/(−0.5) = (0.6065 − 1)/(−0.5) = 0.7869

คำตอบ

I = 0.7869

6.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 2.667

จุดตัด

2x² = 4x → x = 0, x = 2

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [2x² − 0.6667x³]₀² = 2.667

คำตอบ

A = 2.667

7.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: a = 1.755

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

สูตรของออยเลอร์

z = 2·(cos −0.5 + j sin −0.5)

องค์ประกอบ (เรเดียน)

a = 2·cos −0.5 = 1.755

b = 2·sin −0.5 = −0.9589

a = 1.755

คำตอบ

a = 1.755

8.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: r = −2

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

คู่สังยุค

z₂ = 2 − j3

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·2·z + (2² + 3²) = z² − 4z + 13

แยกตัวประกอบกำลังสอง

z³ − 2z² + 5z + 26 = (z² − 4z + 13)(z + 2)

รากจริง

r = −2

คำตอบ

r = −2

ตรวจสอบด้วยผลบวกของราก: z₁ + z₂ + r = 4 + (−2) = 2 = −(−2)

9.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: k = 0.1206 min⁻¹

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

อัตราส่วนของผลต่างอุณหภูมิ

e^−12k = 16/68

แก้หา k

k = ln(68/16)/12 = 0.1206 min⁻¹

คำตอบ

k = 0.1206 min⁻¹

10.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.5) = 0.8297

ตัวประกอบอินทิเกรต

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 2e^2t

คำตอบทั่วไป

y = 2/2·e^−t + C·e^−3t = 1·e^−t + C·e^−3t

เงื่อนไขเริ่มต้น

2 = 1 + C → C = 1

คำนวณค่า

y(0.5) = 1·0.6065 + 1·0.2231 = 0.8297

คำตอบ

y(0.5) = 0.8297

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: det A = −13

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ไมเนอร์ 2×2 ของแถวแรก

M₁₁ = −23, M₁₂ = 4, M₁₃ = 13

การกระจายโคแฟกเตอร์

det A = 1·(−23) − 4·4 + 2·13 = −13

คำตอบ

det A = −13

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: λ = 6

สมการลักษณะเฉพาะ

λ² − (4)λ + (−12) = 0

แก้สมการ

λ = (4 ± √(64))/2 → λ = −2, 6

λ = 6

คำตอบ

λ = 6

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: k = 3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

ผลคูณจุดเท่ากับศูนย์

a·b = (−3)·k + (−5)·3 + (−4)·(−6) = 0

9 + (−3)·k = 0

แก้หา k

k = −9/(−3) = 3

คำตอบ

k = 3

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: (a × b)_x = −4

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

ผลคูณไขว้ทีละองค์ประกอบ

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·(−5) − (−1)·1 = −4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·1 − 4·(−5) = 19

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·1 − 1·1 = 3

องค์ประกอบที่ถาม

(a × b)_x = −4

คำตอบ

(a × b)_x = −4

ตรวจสอบ: a × b ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณจุดของมันกับ a และกับ b จึงเป็นศูนย์

15.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ = 1.546

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 0·0.3 + 1·0.1 + 2·0.25 + 3·0.1 + 4·0.25 = 1.9

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.1 + 4·0.25 + 9·0.1 + 16·0.25 = 6

ความแปรปรวน

Var(X) = 6 − 1.9² = 2.39

σ = √2.39 = 1.546

คำตอบ

σ = 1.546

16.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ_Y = 9.539

การกระจายของ X

μ = 2.3, Var(X) = 0.91, σ_X = 0.9539

การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

σ_Y = |10|·0.9539 = 9.539

คำตอบ

σ_Y = 9.539

ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = 10·2.3 + 4 = 27

17.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 17.04

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 264/7 = 37.71

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−19.71)² + 14.29² + 21.29² + (−17.71)² + (−4.714)² + (−9.714)² + 16.29² = 1741

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1741/6) = 17.04

คำตอบ

s = 17.04

18.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.9332

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −1.5

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 1 − 0.06681 = 0.9332

คำตอบ

P = 0.9332

19.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.8413

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (29.5 − 32)/2.5 = −1

หางด้านบน

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

คำตอบ

P = 0.8413

20.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 434.2 h

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

กลับไปเป็น x

x = 500 + −1.645·40 = 434.2 h

คำตอบ

x = 434.2 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics