คณิตศาสตร์วิศวกรรม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 − 2/x)^xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(4x²) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(2)

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 7.5x² + 12x − 6 หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 7.5x² + 12x − 6

x =

5.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₁³ 4/x dx

f(x) = 4/x[1, 3]

I =

6.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 9 − x² กับแกน x

y = 9 − x²

A =

7.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

จงเขียน z = 6∠160° ในรูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb และให้ส่วนจริง a

r = 6θ = 160°

a =

8.จำนวนเชิงซ้อนยาก

รากของ zⁿ = w ที่ n = 5 และ w = 243∠60° คือ z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 4 จงหาส่วนจริงของ z₁

w = 243∠60°n = 5k = 1

Re(z₁) =

9.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

จงแก้ y″ + 8y′ + 16y = 0 โดย y(0) = 3 และ y′(0) = 1 จงหา y(0.5)

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 1

y(0.5) =

10.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 4y′ + 29y = 290 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหา y(0.75) มุมเป็นเรเดียน

y″ + 4y′ + 29y = 290y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

ให้ C = AB สำหรับเมทริกซ์ที่แสดง หาสมาชิก c₁₁ (แถว 1 หลัก 1)

A = [1 3; −4 4]B = [−6 −5; 3 5]

c₁₁ =

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

หาค่าเฉพาะที่มากกว่า λ ของเมทริกซ์ A ที่แสดง

A = [3 1; −4 −2]

λ =

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหาโพรเจกชันสเกลาร์ comp_b a ของ a = (−5, 1, −2) บน b = (2, 3, 5) คือองค์ประกอบของ a ในทิศของ b

a = (−5, 1, −2)b = (2, 3, 5)

comp_b a =

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

สำหรับ a = (−4, −1, 4) และ b = (6, 4, 4) จงหาองค์ประกอบ x ซึ่งคือ (a × b)_x ของผลคูณไขว้ a × b

a = (−4, −1, 4)b = (6, 4, 4)

(a × b)_x =

15.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.25, 0.1, 0.15, 0.3

Var(X) =

16.ความน่าจะเป็นยาก

เกมหนึ่งมีค่าเล่น €1 คุณชนะ €5 ด้วยความน่าจะเป็น 0.2 และ €10 ด้วยความน่าจะเป็น 0.05 นอกนั้นไม่ได้อะไร เงินที่จ่ายไปไม่ถูกคืน จงหากำไรสุทธิที่คาดหมาย E(G) ต่อเกม

ค่าเล่น = €1€5: p = 0.2€10: p = 0.05

E(G) = €

17.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 40, 29, 35, 32, 11, 60

n = 6

s =

18.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 100 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 106

μ = 100σ = 10x = 106

z =

19.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวาของ z เป็น 0.9131 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.9131

z =

20.การแจกแจงปกติยาก

เวลาจัดส่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 32 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 min หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 75% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 75)

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.1353

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 2/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 1·(−2) = −2

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e⁻² = 0.1353

คำตอบ

L = 0.1353

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

ใช้ครั้งแรก

4·sin 4x/(8x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

16·cos 4x/8

แทนค่า x = 0

L = 16/8 = 2

คำตอบ

L = 2

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(2) = 0.077

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

แทนค่า

f′(2) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

คำตอบ

f′(2) = 0.077

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 1

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 15x + 12 = 3·(x² − 5x + 4)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 1 หรือ x = 4

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 15: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(1) = −9, f″(4) = 9

x = 1

คำตอบ

x = 1

5.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 4.394

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = 4·ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = 4·(ln 3 − ln 1) = 4·ln 3 = 4.394

คำตอบ

I = 4.394

6.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 36

ค่าศูนย์

9 − x² = 0 → x = ±3

อินทิเกรต

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

คำตอบ

A = 36

7.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: a = −5.638

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

องค์ประกอบ

a = 6·cos(160°) = −5.638

b = 6·sin(160°) = 2.052

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

z = −5.638 + j2.052

a = −5.638

คำตอบ

a = −5.638

8.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: Re(z₁) = 0.3136

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

มอดูลัสของราก

243^1/5 = 3

อาร์กิวเมนต์ของราก

θ₁ = (60° + 360°·1)/5 = 84°

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

z₁ = 3·(cos 84° + j sin 84°) = 0.3136 + j2.984

Re(z₁) = 0.3136

คำตอบ

Re(z₁) = 0.3136

ราก 5 รากอยู่บนวงกลมรัศมี 3 ห่างกัน 72°

9.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.5) = 1.286

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากซ้ำ

(r + 4)² = 0 → r = −4

ค่าคงที่

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 4A → B = 1 + 12 = 13

คำนวณค่า

y(0.5) = (3 + 13·0.5)·e⁻² = 1.286

คำตอบ

y(0.5) = 1.286

10.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.75) = 12.34

ค่าคงตัวและราก

y_ss = 10, r = −2 ± 5j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −2A + 5B = 0 → B = −4

คำนวณค่า

y(0.75) = 10·(1 − e^−1.5(cos 3.75 + 0.4·sin 3.75)) = 12.34

คำตอบ

y(0.75) = 12.34

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: c₁₁ = 3

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

แถวคูณหลัก

c₁₁ = 1·(−6) + 3·3 = 3

คำตอบ

c₁₁ = 3

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: λ = 2

สมการลักษณะเฉพาะ

λ² − (1)λ + (−2) = 0

แก้สมการ

λ = (1 ± √(9))/2 → λ = −1, 2

λ = 2

คำตอบ

λ = 2

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: comp_b a = −2.758

ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ เป็นสเกลาร์ มันให้มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว cos θ = a·b/(|a|·|b|) และเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b คือ a·b/|b| และแรงคงที่ F ที่เคลื่อนผ่านการกระจัด d ทำงาน W = F·d

ผลคูณจุด

a·b = (−5)·2 + 1·3 + (−2)·5 = −17

ความยาวของ b

|b| = √(2² + 3² + 5²) = 6.164

โพรเจกชันสเกลาร์

comp_b a = a·b/|b| = −17/6.164 = −2.758

คำตอบ

comp_b a = −2.758

เป็นลบ: a มีองค์ประกอบที่ชี้ตรงข้ามกับ b

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: (a × b)_x = −20

ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง และ |a × b| = |a|·|b|·sin θ คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองขึง (สามเหลี่ยมมีครึ่งหนึ่งของมัน) ลำดับมีผล: b × a = −(a × b) โมเมนต์ของแรง F ที่กระทำที่จุด A รอบจุด O คือ M_O = r × F โดย r = A − O

ผลคูณไขว้ทีละองค์ประกอบ

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·4 − 4·4 = −20

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·6 − (−4)·4 = 40

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·4 − (−1)·6 = −10

องค์ประกอบที่ถาม

(a × b)_x = −20

คำตอบ

(a × b)_x = −20

ตรวจสอบ: a × b ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณจุดของมันกับ a และกับ b จึงเป็นศูนย์

15.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 2.39

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 1·0.2 + 2·0.25 + 3·0.1 + 4·0.15 + 5·0.3 = 3.1

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.25 + 9·0.1 + 16·0.15 + 25·0.3 = 12

ความแปรปรวน

Var(X) = 12 − 3.1² = 2.39

คำตอบ

Var(X) = 2.39

16.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: E(G) = 0.5 €

ผลลัพธ์สุทธิ

G: 4 (p = 0.2), 9 (p = 0.05), −1 (p = 0.75)

ค่าคาดหมาย

E(G) = 4·0.2 + 9·0.05 − 1·0.75 = 0.5 €

คำตอบ

E(G) = 0.5 €

ค่าบวกหมายความว่าโดยเฉลี่ยคุณได้เงิน

17.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 15.93

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 207/6 = 34.5

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 5.5² + (−5.5)² + 0.5² + (−2.5)² + (−23.5)² + 25.5² = 1270

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1270/5) = 15.93

คำตอบ

s = 15.93

18.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = 0.6

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (106 − 100)/10 = 0.6

คำตอบ

z = 0.6

19.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = −1.36

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = 1 − 0.9131 = 0.0869

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.0869 ในตารางและอ่านค่า z

z = −1.36

คำตอบ

z = −1.36

20.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 36.05 min

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

กลับไปเป็น x

x = 32 + 0.6745·6 = 36.05 min

คำตอบ

x = 36.05 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics