คณิตศาสตร์วิศวกรรม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (√(4x² + 8x) − 2x)

f(x) = √(4x² + 8x) − 2xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x³·e^0.5x หา f′(1)

f(x) = x³·e^0.5xx = 1

f′(1) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = 0.5x² − x + 3 ที่ x = 2 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = 0.5x² − x + 3x = 2

b =

5.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

6.อินทิกรัลยาก

จงหาค่าของ I = ∫₀^2.5 x²·eˣ dx

∫₀^2.5 x²eˣ dx

I =

7.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

แผนภาพแสดง z = −3 − j เมื่อ w = 0.5∠90° ให้คลิกจุดที่แทน z/w

z = −3 − jw = 0.5∠90°

1A (−6 − j2)
2B (2 − j6)
3C (−1 + j3)
4D (−2 + j6)

8.จำนวนเชิงซ้อนยาก

ใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์เพื่อหาส่วนจินตภาพของ z⁹ สำหรับ z = −√3 + j

z = −√3 + jn = 9

Im(z⁹) =

9.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

จงแก้ y″ + 4y′ + 4y = 0 โดย y(0) = 1 และ y′(0) = -1 จงหา y(1)

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = -1

y(1) =

10.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

จงแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น y′ + 2y/x = 3x² สำหรับ x > 0 โดย y(1) = −2 จงหา y(2)

y′ + 2y/x = 3x²y(1) = −2

y(2) =

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

หาดีเทอร์มินันต์ det A ของเมทริกซ์ 3×3 A ที่แสดง

A = [−4 −3 −2; −2 2 −3; −4 0 −1]

det A =

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

แก้ระบบสมการ −x − 5y = −10 และ 2x − 2y = 2 หา x

−x − 5y = −102x − 2y = 2

x =

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหามุม θ ระหว่างเวกเตอร์ a = (−3, −5, 2) และ b = (1, 4, −2) ในหน่วยองศา

a = (−3, −5, 2)b = (1, 4, −2)

θ = °

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย n̂ ตั้งฉากกับทั้ง a = (3, −1, −2) และ b = (−2, 1, 5) และมีองค์ประกอบ z เป็นบวก จงหาองค์ประกอบ x ซึ่งคือ n̂_x ของมัน

a = (3, −1, −2)b = (−2, 1, 5)n̂_z > 0

n̂_x =

15.ความน่าจะเป็นปานกลาง

ในถุงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและสีน้ำเงิน 4 ลูก หยิบสองลูกโดยไม่ใส่ลูกแรกคืน ความน่าจะเป็น P ที่ทั้งสองลูกเป็นสีแดงคือเท่าใด

3 / 4

P =

16.ความน่าจะเป็นยาก

ข้อสอบมีคำถามปรนัย 11 ข้อ นักเรียนที่เดาจะตอบถูกแต่ละข้อด้วยความน่าจะเป็น 0.5 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่จะตอบถูกพอดี 1 ข้อคือเท่าใด

n = 11p = 0.5k = 1

P =

17.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 27, 13, 28, 54, 47

n = 5

s =

18.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 68.75

μ = 50σ = 15x = 68.75

z =

19.การแจกแจงปกติปานกลาง

มวลของสลักเกลียวเป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 40 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.2 g จงหาความน่าจะเป็น P ที่มวลรวมของ 16 ชิ้นเกิน 632.8 g ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 16> 632.8 g

P =

20.การแจกแจงปกติยาก

เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.05 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.01 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.02 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

รู: μ = 25.05 mm, σ = 0.01 mmเพลา: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = 8x/(√(4x² + 8x) + 2x)

หารด้วย x

f(x) = 8/(√(4 + 8/x) + 2)

ให้ x → ∞

L = 8/(2 + 2) = 2

คำตอบ

L = 2

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 5

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[cos x]

แทนค่า x = 0

L = 5/1 = 5

คำตอบ

L = 5

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1) = 5.771

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e^0.5x·(3x² + 0.5·x³)

แทนค่า

f′(1) = 1.649·(3 + 0.5) = 5.771

คำตอบ

f′(1) = 5.771

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = 1

จุดและความชัน

f(2) = 3

f′(x) = x − 1 → f′(2) = 1

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 3 − 1·2 = 1

คำตอบ

b = 1

5.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 12

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

การแทนค่า

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

อินทิเกรตและคำนวณค่า

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

คำตอบ

I = 12

6.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 37.59

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

รอบแรก

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

รอบที่สอง

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

ลิมิต

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

คำตอบ

I = 37.59

7.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: D (−2 + j6)

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

ผลของ w

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − 90°

จุด

z/w = −2 + j6 → D

คำตอบ

D (−2 + j6)

8.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: Im(z⁹) = −512

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

รูปเชิงขั้ว

z = −√3 + j = 2∠150°

เดอมัวฟร์

z⁹ = (2)⁹∠1350° = 512∠−90°

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

z⁹ = 512·(cos −90° + j sin −90°) = −j512

Im(z⁹) = −512

คำตอบ

Im(z⁹) = −512

9.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1) = 0.2707

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากซ้ำ

(r + 2)² = 0 → r = −2

ค่าคงที่

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 2A → B = -1 + 2 = 1

คำนวณค่า

y(1) = (1 + 1·1)·e⁻² = 0.2707

คำตอบ

y(1) = 0.2707

10.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(2) = 4.15

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ตัวประกอบอินทิเกรต

μ = e^{∫2/x dx} = x²

อินทิเกรต

(x²y)′ = 3x⁴ → x²y = 3x⁵/5 + C

เงื่อนไขเริ่มต้น

−2 = 3/5 + C → C = −2.6

คำนวณค่า

y(2) = (3·2⁵/5 + (−2.6))/2² = 4.15

คำตอบ

y(2) = 4.15

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: det A = −38

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ไมเนอร์ 2×2 ของแถวแรก

M₁₁ = −2, M₁₂ = −10, M₁₃ = 8

การกระจายโคแฟกเตอร์

det A = (−4)·(−2) − (−3)·(−10) + (−2)·8 = −38

คำตอบ

det A = −38

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: x = 2.5

ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

det A = (−1)·(−2) − (−5)·2 = 12

แทนหลัก x

det Aₓ = (−10)·(−2) − (−5)·2 = 30

x = 30/12 = 2.5

คำตอบ

x = 2.5

y = 1.5

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: θ = 162.9 °

ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ เป็นสเกลาร์ มันให้มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว cos θ = a·b/(|a|·|b|) และเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b คือ a·b/|b| และแรงคงที่ F ที่เคลื่อนผ่านการกระจัด d ทำงาน W = F·d

ผลคูณจุด

a·b = (−3)·1 + (−5)·4 + 2·(−2) = −27

ขนาด

|a| = √((−3)² + (−5)² + 2²) = 6.164

|b| = √(1² + 4² + (−2)²) = 4.583

มุม

cos θ = −27/(6.164·4.583) = −0.9558

θ = arccos(−0.9558) = 162.9°

คำตอบ

θ = 162.9°

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: n̂_x = −0.2621

ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง และ |a × b| = |a|·|b|·sin θ คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองขึง (สามเหลี่ยมมีครึ่งหนึ่งของมัน) ลำดับมีผล: b × a = −(a × b) โมเมนต์ของแรง F ที่กระทำที่จุด A รอบจุด O คือ M_O = r × F โดย r = A − O

ผลคูณไขว้

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·5 − (−2)·1 = −3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−2) − 3·5 = −11

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·1 − (−1)·(−2) = 1

ทำให้เป็นหนึ่งหน่วย

องค์ประกอบ z ของ a × b เป็นบวกอยู่แล้ว

|a × b| = √((−3)² + (−11)² + 1²) = 11.45

n̂ = (−3, −11, 1)/11.45 = (−0.2621, −0.9611, 0.08737)

n̂_x = −0.2621

คำตอบ

n̂_x = −0.2621

15.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.1429

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

การหยิบครั้งแรกและครั้งที่สอง

P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0.1429

คำตอบ

P = 0.1429

16.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.005371

สูตรทวินาม

P(X = 1) = 11·0.5¹·0.5¹⁰ = 11·0.5·0.0009766 = 0.005371

คำตอบ

P = 0.005371

17.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 16.54

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 169/5 = 33.8

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−6.8)² + (−20.8)² + (−5.8)² + 20.2² + 13.2² = 1095

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1095/4) = 16.54

คำตอบ

s = 16.54

18.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = 1.25

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (68.75 − 50)/15 = 1.25

คำตอบ

z = 1.25

19.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.9332

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ_T = 640 g, σ_T = 1.2·√16 = 4.8 g

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (632.8 − 640)/4.8 = −1.5

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332

คำตอบ

P = 0.9332

20.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.9875

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02236 mm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 0.05)/0.02236 = −2.24

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−2.24) = 0.9875

คำตอบ

P = 0.9875

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics