คณิตศาสตร์วิศวกรรม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (√(4x² + 4x) − 2x)

f(x) = √(4x² + 4x) − 2xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(5x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(5x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = ln(x² + 4) หา f′(−2)

f(x) = ln(x² + 4)x = −2

f′(−2) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = −x² + 4 ที่ x = 3 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = −x² + 4x = 3

b =

5.อินทิกรัลปานกลาง

บริเวณใต้ y = √(x) จาก x = 0 ถึง x = 3 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (พาราโบลอยด์)

y = √(x)0 ≤ x ≤ 3

V =

6.อินทิกรัลยาก

บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 2x กับพาราโบลา y = 2x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง

y = 2xy = 2x²

V =

7.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

จงหาอาร์กิวเมนต์ θ ของ z = −9 − j8 เป็นองศา เป็นค่าหลักระหว่าง −180° และ 180°

z = −9 − j8

θ = °

8.จำนวนเชิงซ้อนยาก

จงแก้ z² + 6z + 10 = 0 รากคือ a ± jb จงหา b > 0

p = 6q = 10

b =

9.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

จงแก้ y″ + 6y′ + 9y = 0 โดย y(0) = 5 และ y′(0) = -1 จงหา y(1)

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = -1

y(1) =

10.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ถังบรรจุน้ำ 1000 L ซึ่งมีเกลือละลายอยู่ 20 kg น้ำเกลือที่มีเกลือ 0.25 kg ต่อลิตรไหลเข้าด้วยอัตรา 4 L/min และสารละลายที่ผสมเข้ากันดีไหลออกด้วยอัตราเท่ากัน หลังผ่านไป 100 min จะมีเกลือในถังเท่าใด m

V = 1000 Lm₀ = 20 kgc = 0.25 kg/Lr = 4 L/min

m = kg

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

ให้ C = AB สำหรับเมทริกซ์ที่แสดง หาสมาชิก c₂₂ (แถว 2 หลัก 2)

A = [0 4; 5 4]B = [5 6; −1 −3]

c₂₂ =

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

หาค่าเฉพาะที่มากกว่า λ ของเมทริกซ์ A ที่แสดง

A = [0 2; 3 −1]

λ =

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหาโพรเจกชันสเกลาร์ comp_b a ของ a = (4, 1, 2) บน b = (3, −1, −6) คือองค์ประกอบของ a ในทิศของ b

a = (4, 1, 2)b = (3, −1, −6)

comp_b a =

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

จงหาปริมาตร V ของทรงหกหน้าขนานที่มีขอบจากมุมหนึ่งเป็น a = (−5, −1, −1), b = (−3, 2, 3) และ c = (−5, 5, −4)

a = (−5, −1, −1)b = (−3, 2, 3)c = (−5, 5, −4)

V =

15.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.3, 0.3, 0.3

σ =

16.ความน่าจะเป็นยาก

X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = 10X + 1 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ_Y ของ Y

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.25, 0.15, 0.3, 0.05Y = 10X + 1

σ_Y =

17.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 60, 36, 22, 53, 54

n = 5

s =

18.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 60 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 82.5

μ = 60σ = 15x = 82.5

z =

19.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวาของ z เป็น 0.3409 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.3409

z =

20.การแจกแจงปกติยาก

เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.05 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.02 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.015 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

รู: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mmเพลา: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 1

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = 4x/(√(4x² + 4x) + 2x)

หารด้วย x

f(x) = 4/(√(4 + 4/x) + 2)

ให้ x → ∞

L = 4/(2 + 2) = 1

คำตอบ

L = 1

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.4

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[5·cos 5x]

แทนค่า x = 0

L = 2/5 = 0.4

คำตอบ

L = 0.4

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(−2) = −0.5

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่สำหรับลอการิทึม

f′(x) = 2x/(x² + 4)

แทนค่า

f′(−2) = −4/8 = −0.5

คำตอบ

f′(−2) = −0.5

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = 13

จุดและความชัน

f(3) = −5

f′(x) = −2x → f′(3) = −6

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5 − (−6)·3 = 13

คำตอบ

b = 13

5.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 14.14

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

วิธีจาน

V = π∫₀³ x dx

อินทิเกรต

V = π·1·3²/2 = 14.14

คำตอบ

V = 14.14

6.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 1.676

จุดตัด

2x = 2x² → x = 0, x = 1

วิธีวงแหวน

V = π∫₀¹ ((2x)² − (2x²)²) dx

อินทิเกรต

V = π(4·1³/3 − 4·1⁵/5) = π·0.5333 = 1.676

คำตอบ

V = 1.676

7.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: θ = −138.4 °

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

จตุภาค

a = −9, b = −8 → III

มุมอ้างอิง

α = atan(8/9) = 41.63°

อาร์กิวเมนต์

θ = −(180° − α) = −138.4°

คำตอบ

θ = −138.4°

ในรูปเชิงขั้ว z = 12.04∠−138.4°

8.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: b = 1

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

ตัวจำแนก

p² − 4q = 36 − 40 = −4 < 0

สูตรกำลังสอง

z = (−6 ± j√4)/2 = −3 + j, −3 − j

คำตอบ

b = 1

คำตอบ

b = 1

9.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1) = 0.946

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากซ้ำ

(r + 3)² = 0 → r = −3

ค่าคงที่

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 3A → B = -1 + 15 = 14

คำนวณค่า

y(1) = (5 + 14·1)·e⁻³ = 0.946

คำตอบ

y(1) = 0.946

10.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: m = 95.83 kg

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ตั้งสมการ

dm/dt = 4·0.25 − (4/1000)·m = 1 − 0.004·m

แก้สมการ

ตัวคูณอินทิเกรตคือ e^rt/V คำตอบเข้าใกล้ค่าสมดุล c·V

m(t) = 250 + (−230)·e^−t/250

แทนค่า t

m(100) = 250 + (−230)·0.6703 = 95.83 kg

คำตอบ

m = 95.83 kg

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: c₂₂ = 18

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

แถวคูณหลัก

c₂₂ = 5·6 + 4·(−3) = 18

คำตอบ

c₂₂ = 18

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: λ = 2

สมการลักษณะเฉพาะ

λ² − (−1)λ + (−6) = 0

แก้สมการ

λ = (−1 ± √(25))/2 → λ = −3, 2

λ = 2

คำตอบ

λ = 2

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: comp_b a = −0.1474

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

ผลคูณจุด

a·b = 4·3 + 1·(−1) + 2·(−6) = −1

ความยาวของ b

|b| = √(3² + (−1)² + (−6)²) = 6.782

โพรเจกชันสเกลาร์

comp_b a = a·b/|b| = −1/6.782 = −0.1474

คำตอบ

comp_b a = −0.1474

เป็นลบ: a มีองค์ประกอบที่ชี้ตรงข้ามกับ b

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: V = 147

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

ผลคูณไขว้ b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 2·(−4) − 3·5 = −23

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 3·(−5) − (−3)·(−4) = −27

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−3)·5 − 2·(−5) = −5

ผลคูณจุดกับ a

a·(b × c) = (−5)·(−23) + (−1)·(−27) + (−1)·(−5) = 147

V = |147| = 147

คำตอบ

V = 147

15.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ = 0.9798

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 1·0.1 + 2·0.3 + 3·0.3 + 4·0.3 = 2.8

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 1·0.1 + 4·0.3 + 9·0.3 + 16·0.3 = 8.8

ความแปรปรวน

Var(X) = 8.8 − 2.8² = 0.96

σ = √0.96 = 0.9798

คำตอบ

σ = 0.9798

16.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ_Y = 12.76

การกระจายของ X

μ = 1.65, Var(X) = 1.627, σ_X = 1.276

การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

σ_Y = |10|·1.276 = 12.76

คำตอบ

σ_Y = 12.76

ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = 10·1.65 + 1 = 17.5

17.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 15.65

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 225/5 = 45

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 15² + (−9)² + (−23)² + 8² + 9² = 980

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(980/4) = 15.65

คำตอบ

s = 15.65

18.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = 1.5

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (82.5 − 60)/15 = 1.5

คำตอบ

z = 1.5

19.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 0.41

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = 1 − 0.3409 = 0.6591

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.6591 ในตารางและอ่านค่า z

z = 0.41

คำตอบ

z = 0.41

20.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.9772

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.025 mm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 0.05)/0.025 = −2

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−2) = 0.9772

คำตอบ

P = 0.9772

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics