คณิตศาสตร์วิศวกรรม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง
ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์
หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
กฎของโลปีตาล
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ
(uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

  1. ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
  2. ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
  3. ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
  4. ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

อินทิกรัล

กฎกำลัง
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต
∫ab f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
∫ab (f − g) dx

วิธีการ

  1. เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
  2. ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
  3. ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
  4. สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
การหาร
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

  1. เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
  2. คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
  3. แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
  4. สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R1/n∠((φ + 360°k)/n)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
dy/dt = ky → y = y0ekt
ครึ่งชีวิต
k = ln 2 / t½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
ถังผสม
dm/dt = r·c − (r/V)·m

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2
det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์
(AB)ij = Σk AikBkj
ค่าเฉพาะ
det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์
xi = det(Ai)/det(A)

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด
|a| = √(ax² + ay² + az²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
ผลคูณจุด
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b
a·b/|b|
งาน
W = F·d
ผลคูณไขว้
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
พื้นที่
สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O
MO = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน
V = |a·(b × c)|

วิธีการ

  1. เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
  2. สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
  3. ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
  4. ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม
P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย
x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน
ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ
68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x
P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง
Φ(z2) − Φ(z1)
เปอร์เซ็นไทล์
x = μ + z·σ

วิธีการ

  1. แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
  3. สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
  4. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง
xyy = L

จงหาลิมิต L = limx→∞ (√(9x2 + 2x) − 3x)

f(x) = √(9x2 + 2x) − 3xx → ∞
L =
2.ลิมิตยาก
xyx = 0

จงหาลิมิต L = limx→0 (e3x − 1 − 3x)/x²

f(x) = (e3x − 1 − 3x)/x²x → 0
L =
3.อนุพันธ์ปานกลาง
xyx = 0.5

ให้ f(x) = x·ex หา f′(0.5)

f(x) = x·exx = 0.5
f′(0.5) =
4.อนุพันธ์ยาก
xyx = 3

เส้นสัมผัสของ f(x) = −x2 − 5x − 1 ที่ x = 3 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = −x2 − 5x − 1x = 3
b =
5.อินทิกรัลปานกลาง
xy14

คำนวณ I = ∫14 3/x dx

f(x) = 3/x[1, 4]
I =
6.อินทิกรัลยาก
xy−22

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 4 − x² กับแกน x

y = 4 − x²
A =
7.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง
ReIm22−2−244−4−4θz

จงเขียน z = 5∠125° ในรูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb และให้ส่วนจินตภาพ b

r = 5θ = 125°
b =
8.จำนวนเชิงซ้อนยาก
ReIm22−2−244−4−4ABCD

มีเพียงหนึ่งจุดจาก A–D เท่านั้นที่เป็นรากของ z⁴ = 81∠90° ให้คลิกจุดนั้น

w = 81∠90°n = 4
  1. 1A (3∠67.5°)
  2. 2B (3∠−22.5°)
  3. 3C (3∠22.5°)
  4. 4D (5.4∠67.5°)
9.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
tyy(0) = 2y(1.5) = ?

จงแก้ y″ + 4y′ + 3y = 0 โดย y(0) = 2 และ y′(0) = -4 จงหา y(1.5)

y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 2y′(0) = -4
y(1.5) =
10.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
tyy(0) = 5y(0.5) = ?

จงแก้ y″ + y′ + 9.25y = 0 โดย y(0) = 5 และ y′(0) = 0 (ปล่อยจากหยุดนิ่ง) จงหา y(0.5) มุมเป็นเรเดียน

y″ + y′ + 9.25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.5) =
11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง
A =3−2−3−2−2−34−4−5

หาดีเทอร์มินันต์ det A ของเมทริกซ์ 3×3 A ที่แสดง

A = [3 −2 −3; −2 −2 −3; 4 −4 −5]
det A =
12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก
A =2−63−5b =−49

แก้ระบบสมการ 2x − 6y = −4 และ 3x − 5y = 9 หา x

2x − 6y = −43x − 5y = 9
x =
13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง
xyzab

จงหาผลคูณจุด a·b ของ a = (4, −7, −5) และ b = (6, 1, 2)

a = (4, −7, −5)b = (6, 1, 2)
a·b =
14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก
xyzabc

จงหาปริมาตร V ของทรงหกหน้าขนานที่มีขอบจากมุมหนึ่งเป็น a = (3, −1, −4), b = (5, 2, −1) และ c = (2, 5, −2)

a = (3, −1, −4)b = (5, 2, −1)c = (2, 5, −2)
V =
15.ความน่าจะเป็นปานกลาง
n = 14k = 4N = ?

เลือกคณะกรรมการ 4 คนจากกลุ่ม 14 คนได้กี่วิธี N ลำดับไม่สำคัญ

n = 14k = 4
N =
16.ความน่าจะเป็นยาก
n = 10, p = 0.2: P(X ≤ 1) = ?k012345678910

ทดสอบชิ้นส่วน 10 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.2 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด

n = 10p = 0.2
P =
17.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
2025303540455055

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 16, 55, 30, 56, 29, 42

n = 6
s =
18.สถิติเชิงพรรณนายาก
z −2−1012

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 60 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 45.6 คือเท่าใด

μ = 60σ = 12x = 45.6
P =
19.การแจกแจงปกติปานกลาง
400 kg398 kgT = X₁ + … + X₁₆?

มวลของถุงปูนซีเมนต์เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 kg และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.5 kg จงหาความน่าจะเป็น P ที่มวลรวมของ 16 ชิ้นต่ำกว่า 398 kg ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 16< 398 kg
P =
20.การแจกแจงปกติยาก
557085100115130145คะแนนล่าง 85%

คะแนน IQ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 100 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 คะแนน ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 85% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x

μ = 100 คะแนนσ = 15 คะแนน85%
x = คะแนน

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.3333

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = 2x/(√(9x2 + 2x) + 3x)

หารด้วย x

f(x) = 2/(√(9 + 2/x) + 3)

ให้ x → ∞

L = 2/(3 + 3) = 0.3333

คำตอบ

L = 0.3333
2.ลิมิต

คำตอบ: L = 4.5

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

ใช้ครั้งแรก

(3·e3x − 3)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

9·e3x/2

แทนค่า x = 0

L = 9·1/2 = 4.5

คำตอบ

L = 4.5
3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0.5) = 2.473

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = ex·(1 + 1·x)

แทนค่า

f′(0.5) = 1.649·(1 + 0.5) = 2.473

คำตอบ

f′(0.5) = 2.473
4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = 8

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

จุดและความชัน

f(3) = −25
f′(x) = −2x − 5 → f′(3) = −11

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −25 − (−11)·3 = 8

คำตอบ

b = 8
5.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 4.159

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = 3·ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = 3·(ln 4 − ln 1) = 3·ln 4 = 4.159

คำตอบ

I = 4.159
6.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 10.67

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ค่าศูนย์

4 − x² = 0 → x = ±2

อินทิเกรต

A = [4x − x³/3]−22 = 5.333 − (−5.333) = 10.67

คำตอบ

A = 10.67
7.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: b = 4.096

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

องค์ประกอบ

a = 5·cos(125°) = −2.868
b = 5·sin(125°) = 4.096

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

z = −2.868 + j4.096
b = 4.096

คำตอบ

b = 4.096
8.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: C (3∠22.5°)

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของราก

|z| = 3
θ = 22.5°, 112.5°, −157.5°, −67.5°

จุด

C = 3∠22.5°

คำตอบ

C (3∠22.5°)
9.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1.5) = 0.2342

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากลักษณะเฉพาะ

(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

A + B = 2, −1A − 3B = -4
A = 1, B = 1

คำนวณค่า

y(1.5) = 1·e−1.5 + 1·e−4.5 = 0.2342

คำตอบ

y(1.5) = 0.2342
10.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.5) = 0.9228

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากเชิงซ้อน

r = −0.5 ± 3j

ค่าคงที่

A = 5, B = 0.5·5/3 = 0.8333

คำนวณค่า

y(0.5) = e−0.25(5·cos 1.5 + 0.8333·sin 1.5) = 0.9228

คำตอบ

y(0.5) = 0.9228
11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: det A = −10

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ไมเนอร์ 2×2 ของแถวแรก

M₁₁ = −2, M₁₂ = 22, M₁₃ = 16

การกระจายโคแฟกเตอร์

det A = 3·(−2) − (−2)·22 + (−3)·16 = −10

คำตอบ

det A = −10
12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: x = 9.25

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

det A = 2·(−5) − (−6)·3 = 8

แทนหลัก x

det Aₓ = (−4)·(−5) − (−6)·9 = 74
x = 74/8 = 9.25

คำตอบ

x = 9.25
y = 3.75
13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: a·b = 7

ผลคูณจุด: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ เป็นสเกลาร์ มันให้มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว cos θ = a·b/(|a|·|b|) และเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b คือ a·b/|b| และแรงคงที่ F ที่เคลื่อนผ่านการกระจัด d ทำงาน W = F·d

คูณองค์ประกอบที่ตรงกันแล้วบวก

a·b = 4·6 + (−7)·1 + (−5)·2 = 24 + (−7) + (−10) = 7

คำตอบ

a·b = 7

เป็นบวก: มุมระหว่างเวกเตอร์น้อยกว่า 90°

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: V = 89

ผลคูณไขว้: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง และ |a × b| = |a|·|b|·sin θ คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองขึง (สามเหลี่ยมมีครึ่งหนึ่งของมัน) ลำดับมีผล: b × a = −(a × b) โมเมนต์ของแรง F ที่กระทำที่จุด A รอบจุด O คือ MO = r × F โดย r = A − O

ผลคูณไขว้ b × c

(b × c)x = bycz − bzcy = 2·(−2) − (−1)·5 = 1
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−1)·2 − 5·(−2) = 8
(b × c)z = bxcy − bycx = 5·5 − 2·2 = 21

ผลคูณจุดกับ a

a·(b × c) = 3·1 + (−1)·8 + (−4)·21 = −89
V = |−89| = 89

คำตอบ

V = 89
15.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: N = 1001

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

การจัดหมู่

C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001

คำตอบ

N = 1001
16.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.3758

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น

P(X = 0) = 0.810 = 0.1074
P(X = 1) = 10·0.2·0.89 = 0.2684

บวกเข้าด้วยกัน

P = 0.1074 + 0.2684 = 0.3758

คำตอบ

P = 0.3758
17.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 15.86

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 228/6 = 38

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−22)² + 17² + (−8)² + 18² + (−9)² + 4² = 1258

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1258/5) = 15.86

คำตอบ

s = 15.86
18.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.8849

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −1.2

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849

คำตอบ

P = 0.8849
19.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.1587

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μT = 400 kg, σT = 0.5·√16 = 2 kg

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (398 − 400)/2 = −1

ความน่าจะเป็น

P = Φ(−1) = 0.1587

คำตอบ

P = 0.1587
20.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 115.6 คะแนน

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.85

z จากตาราง

z ≈ 1.04

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 100 + 1.04·15 = 115.6 คะแนน

คำตอบ

x = 115.6 คะแนน

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics